MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemul12b Unicode version

Theorem lemul12b 9613
Description: Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
lemul12b  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( ( A  <_  B  /\  C  <_  D )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  D
) ) )

Proof of Theorem lemul12b
StepHypRef Expression
1 lemul2a 9611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)  /\  C  <_  D )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( A  x.  D )
)
21ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  -> 
( C  <_  D  ->  ( A  x.  C
)  <_  ( A  x.  D ) ) )
323comr 1159 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( C  <_  D  ->  ( A  x.  C )  <_  ( A  x.  D )
) )
433expb 1152 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  ->  ( C  <_  D  ->  ( A  x.  C )  <_  ( A  x.  D )
) )
54adantrrr 705 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D )
) )  ->  ( C  <_  D  ->  ( A  x.  C )  <_  ( A  x.  D
) ) )
65adantlr 695 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( C  <_  D  ->  ( A  x.  C )  <_  ( A  x.  D )
) )
7 lemul1a 9610 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D )
)  /\  A  <_  B )  ->  ( A  x.  D )  <_  ( B  x.  D )
)
87ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) )  -> 
( A  <_  B  ->  ( A  x.  D
)  <_  ( B  x.  D ) ) )
983expa 1151 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) )  -> 
( A  <_  B  ->  ( A  x.  D
)  <_  ( B  x.  D ) ) )
109adantllr 699 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) )  -> 
( A  <_  B  ->  ( A  x.  D
)  <_  ( B  x.  D ) ) )
1110adantrl 696 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( A  <_  B  ->  ( A  x.  D )  <_  ( B  x.  D )
) )
126, 11anim12d 546 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( ( C  <_  D  /\  A  <_  B )  ->  (
( A  x.  C
)  <_  ( A  x.  D )  /\  ( A  x.  D )  <_  ( B  x.  D
) ) ) )
1312ancomsd 440 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( ( A  <_  B  /\  C  <_  D )  ->  (
( A  x.  C
)  <_  ( A  x.  D )  /\  ( A  x.  D )  <_  ( B  x.  D
) ) ) )
14 remulcl 8822 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  x.  C
)  e.  RR )
1514adantlr 695 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  x.  C )  e.  RR )
1615ad2ant2r 727 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( A  x.  C )  e.  RR )
17 remulcl 8822 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( A  x.  D
)  e.  RR )
1817ad2ant2r 727 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D )
)  ->  ( A  x.  D )  e.  RR )
1918ad2ant2rl 729 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( A  x.  D )  e.  RR )
20 remulcl 8822 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( B  x.  D
)  e.  RR )
2120adantrr 697 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D )
)  ->  ( B  x.  D )  e.  RR )
2221ad2ant2l 726 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( B  x.  D )  e.  RR )
23 letr 8914 . . 3  |-  ( ( ( A  x.  C
)  e.  RR  /\  ( A  x.  D
)  e.  RR  /\  ( B  x.  D
)  e.  RR )  ->  ( ( ( A  x.  C )  <_  ( A  x.  D )  /\  ( A  x.  D )  <_  ( B  x.  D
) )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  D
) ) )
2416, 19, 22, 23syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  C )  <_  ( A  x.  D )  /\  ( A  x.  D )  <_  ( B  x.  D
) )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  D
) ) )
2513, 24syld 40 1  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( ( A  <_  B  /\  C  <_  D )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  D
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1684   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737    x. cmul 8742    <_ cle 8868
This theorem is referenced by:  lemul12a  9614  lemul12bd  9700  lo1mul  12101  pntibndlem2  20740  stoweidlem51  27800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040
  Copyright terms: Public domain W3C validator