MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemul12b Unicode version

Theorem lemul12b 9827
Description: Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
lemul12b  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( ( A  <_  B  /\  C  <_  D )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  D
) ) )

Proof of Theorem lemul12b
StepHypRef Expression
1 lemul2a 9825 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)  /\  C  <_  D )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( A  x.  D )
)
21ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  -> 
( C  <_  D  ->  ( A  x.  C
)  <_  ( A  x.  D ) ) )
323comr 1161 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( C  <_  D  ->  ( A  x.  C )  <_  ( A  x.  D )
) )
433expb 1154 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  ->  ( C  <_  D  ->  ( A  x.  C )  <_  ( A  x.  D )
) )
54adantrrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D )
) )  ->  ( C  <_  D  ->  ( A  x.  C )  <_  ( A  x.  D
) ) )
65adantlr 696 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( C  <_  D  ->  ( A  x.  C )  <_  ( A  x.  D )
) )
7 lemul1a 9824 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D )
)  /\  A  <_  B )  ->  ( A  x.  D )  <_  ( B  x.  D )
)
87ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) )  -> 
( A  <_  B  ->  ( A  x.  D
)  <_  ( B  x.  D ) ) )
983expa 1153 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) )  -> 
( A  <_  B  ->  ( A  x.  D
)  <_  ( B  x.  D ) ) )
109adantllr 700 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) )  -> 
( A  <_  B  ->  ( A  x.  D
)  <_  ( B  x.  D ) ) )
1110adantrl 697 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( A  <_  B  ->  ( A  x.  D )  <_  ( B  x.  D )
) )
126, 11anim12d 547 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( ( C  <_  D  /\  A  <_  B )  ->  (
( A  x.  C
)  <_  ( A  x.  D )  /\  ( A  x.  D )  <_  ( B  x.  D
) ) ) )
1312ancomsd 441 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( ( A  <_  B  /\  C  <_  D )  ->  (
( A  x.  C
)  <_  ( A  x.  D )  /\  ( A  x.  D )  <_  ( B  x.  D
) ) ) )
14 remulcl 9035 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  x.  C
)  e.  RR )
1514adantlr 696 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  x.  C )  e.  RR )
1615ad2ant2r 728 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( A  x.  C )  e.  RR )
17 remulcl 9035 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( A  x.  D
)  e.  RR )
1817ad2ant2r 728 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D )
)  ->  ( A  x.  D )  e.  RR )
1918ad2ant2rl 730 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( A  x.  D )  e.  RR )
20 remulcl 9035 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( B  x.  D
)  e.  RR )
2120adantrr 698 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D )
)  ->  ( B  x.  D )  e.  RR )
2221ad2ant2l 727 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( B  x.  D )  e.  RR )
23 letr 9127 . . 3  |-  ( ( ( A  x.  C
)  e.  RR  /\  ( A  x.  D
)  e.  RR  /\  ( B  x.  D
)  e.  RR )  ->  ( ( ( A  x.  C )  <_  ( A  x.  D )  /\  ( A  x.  D )  <_  ( B  x.  D
) )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  D
) ) )
2416, 19, 22, 23syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  C )  <_  ( A  x.  D )  /\  ( A  x.  D )  <_  ( B  x.  D
) )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  D
) ) )
2513, 24syld 42 1  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( ( A  <_  B  /\  C  <_  D )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  D
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1721   class class class wbr 4176  (class class class)co 6044   RRcr 8949   0cc0 8950    x. cmul 8955    <_ cle 9081
This theorem is referenced by:  lemul12a  9828  lemul12bd  9914  lo1mul  12380  pntibndlem2  21242
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-riota 6512  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254
  Copyright terms: Public domain W3C validator