Theorem lemul12itOLD 5843

Description: Comparison of product of two nonnegative numbers.

Assertion

Ref	Expression
lemul12itOLD	|- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) /\ ((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 <_ C /\ C <_ D))) -> (A x. C) <_ (B x. D))

Proof of Theorem lemul12itOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axmulrcl 5274	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ C e. RR) -> (A x. C) e. RR)
2	1	ad2ant2r 409	. . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) -> (A x. C) e. RR)
3	2	adantr 389	. . 3 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) /\ ((0 <_ A /\ A <_ B) /\ (0 <_ C /\ C <_ D))) -> (A x. C) e. RR)
4		axmulrcl 5274	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ D e. RR) -> (A x. D) e. RR)
5	4	ad2ant2rl 411	. . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) -> (A x. D) e. RR)
6	5	adantr 389	. . 3 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) /\ ((0 <_ A /\ A <_ B) /\ (0 <_ C /\ C <_ D))) -> (A x. D) e. RR)
7		axmulrcl 5274	. . . . 5 |- ((B e. RR /\ D e. RR) -> (B x. D) e. RR)
8	7	ad2ant2l 408	. . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) -> (B x. D) e. RR)
9	8	adantr 389	. . 3 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) /\ ((0 <_ A /\ A <_ B) /\ (0 <_ C /\ C <_ D))) -> (B x. D) e. RR)
10		lemul2itOLD 5840	. . . . . . . . 9 |- (((C e. RR /\ D e. RR /\ A e. RR) /\ (0 <_ A /\ C <_ D)) -> (A x. C) <_ (A x. D))
11	10	ex 373	. . . . . . . 8 |- ((C e. RR /\ D e. RR /\ A e. RR) -> ((0 <_ A /\ C <_ D) -> (A x. C) <_ (A x. D)))
12	11	3expa 833	. . . . . . 7 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ A e. RR) -> ((0 <_ A /\ C <_ D) -> (A x. C) <_ (A x. D)))
13	12	ancoms 436	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ (C e. RR /\ D e. RR)) -> ((0 <_ A /\ C <_ D) -> (A x. C) <_ (A x. D)))
14		pm3.26 319	. . . . . 6 |- ((0 <_ A /\ A <_ B) -> 0 <_ A)
15		pm3.27 323	. . . . . 6 |- ((0 <_ C /\ C <_ D) -> C <_ D)
16	13, 14, 15	syl2ani 466	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ (C e. RR /\ D e. RR)) -> (((0 <_ A /\ A <_ B) /\ (0 <_ C /\ C <_ D)) -> (A x. C) <_ (A x. D)))
17	16	adantlr 393	. . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) -> (((0 <_ A /\ A <_ B) /\ (0 <_ C /\ C <_ D)) -> (A x. C) <_ (A x. D)))
18	17	imp 350	. . 3 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) /\ ((0 <_ A /\ A <_ B) /\ (0 <_ C /\ C <_ D))) -> (A x. C) <_ (A x. D))
19		pm3.27 323	. . . . . . 7 |- ((0 <_ A /\ A <_ B) -> A <_ B)
20	19	a1i 8	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((0 <_ A /\ A <_ B) -> A <_ B))
21		0re 5440	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
22		letrt 5525	. . . . . . 7 |- ((0 e. RR /\ C e. RR /\ D e. RR) -> ((0 <_ C /\ C <_ D) -> 0 <_ D))
23	21, 22	mp3an1 903	. . . . . 6 |- ((C e. RR /\ D e. RR) -> ((0 <_ C /\ C <_ D) -> 0 <_ D))
24	20, 23	im2anan9 563	. . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) -> (((0 <_ A /\ A <_ B) /\ (0 <_ C /\ C <_ D)) -> (A <_ B /\ 0 <_ D)))
25		lemul1itOLD 5838	. . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ D e. RR) /\ (0 <_ D /\ A <_ B)) -> (A x. D) <_ (B x. D))
26	25	ex 373	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ D e. RR) -> ((0 <_ D /\ A <_ B) -> (A x. D) <_ (B x. D)))
27	26	ancomsd 437	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ D e. RR) -> ((A <_ B /\ 0 <_ D) -> (A x. D) <_ (B x. D)))
28	27	3expa 833	. . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ D e. RR) -> ((A <_ B /\ 0 <_ D) -> (A x. D) <_ (B x. D)))
29	28	adantrl 394	. . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) -> ((A <_ B /\ 0 <_ D) -> (A x. D) <_ (B x. D)))
30	24, 29	syld 27	. . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) -> (((0 <_ A /\ A <_ B) /\ (0 <_ C /\ C <_ D)) -> (A x. D) <_ (B x. D)))
31	30	imp 350	. . 3 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) /\ ((0 <_ A /\ A <_ B) /\ (0 <_ C /\ C <_ D))) -> (A x. D) <_ (B x. D))
32	3, 6, 9, 18, 31	letrd 5526	. 2 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) /\ ((0 <_ A /\ A <_ B) /\ (0 <_ C /\ C <_ D))) -> (A x. C) <_ (B x. D))
33	32	an4s 508	1 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) /\ ((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 <_ C /\ C <_ D))) -> (A x. C) <_ (B x. D))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   e. wcel 958   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  RRcr 5233  0cc0 5234   x. cmul 5239   <_ cle 5295

This theorem is referenced by:  lediv12it 5896  expmwordit 6606  faclbnd 6945  faclbnd6 6954  fsumabs2mul 7044  efaddlem11 7348

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491

Copyright terms: Public domain