MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemul1ad Unicode version

Theorem lemul1ad 9882
Description: The square of a nonnegative number is a one-to-one function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltp1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
divgt0d.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
lemul1ad.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
lemul1ad.4  |-  ( ph  ->  0  <_  C )
lemul1ad.5  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Assertion
Ref Expression
lemul1ad  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  <_  ( B  x.  C ) )

Proof of Theorem lemul1ad
StepHypRef Expression
1 ltp1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 divgt0d.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 lemul1ad.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
4 lemul1ad.4 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  C )
53, 4jca 519 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)
6 lemul1ad.5 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
7 lemul1a 9796 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)  /\  A  <_  B )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C )
)
81, 2, 5, 6, 7syl31anc 1187 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  <_  ( B  x.  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1717   class class class wbr 4153  (class class class)co 6020   RRcr 8922   0cc0 8923    x. cmul 8928    <_ cle 9054
This theorem is referenced by:  bernneq  11432  o1fsum  12519  cvgrat  12587  prmreclem3  13213  nlmvscnlem2  18592  nghmcn  18650  ipcnlem2  19069  dvlip  19744  dvlipcn  19745  dvfsumlem4  19780  dvfsum2  19785  aalioulem3  20118  radcnvlem1  20196  radcnvlem2  20197  abelthlem5  20218  abelthlem7  20221  logtayllem  20417  abscxpbnd  20504  efrlim  20675  chpub  20871  2sqlem8  21023  rplogsumlem1  21045  rpvmasumlem  21048  dchrisumlem3  21052  dchrvmasumlem3  21060  mulog2sumlem2  21096  selberglem2  21107  selberg2lem  21111  pntrlog2bndlem3  21140  pntrlog2bndlem5  21142  pntlemj  21164  ostth2lem2  21195  smcnlem  22041  htthlem  22268  lnconi  23384  cnlnadjlem7  23424  lgamgulmlem5  24596  axpaschlem  25593  bfplem2  26223  jm2.24nn  26715  fmul01lt1lem2  27383
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226
  Copyright terms: Public domain W3C validator