Theorem lemul1it 5837

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number.

Assertion

Ref	Expression
lemul1it	|- (((A e. RR /\ B e. RR /\ (C e. RR /\ 0 <_ C)) /\ A <_ B) -> (A x. C) <_ (B x. C))

Proof of Theorem lemul1it

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 5440	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
2		leloet 5518	. . . . . . 7 |- ((0 e. RR /\ C e. RR) -> (0 <_ C <-> (0 < C \/ 0 = C)))
3	1, 2	mpan 695	. . . . . 6 |- (C e. RR -> (0 <_ C <-> (0 < C \/ 0 = C)))
4	3	3ad2ant3 802	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (0 <_ C <-> (0 < C \/ 0 = C)))
5		lemul1t 5832	. . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < C) -> (A <_ B <-> (A x. C) <_ (B x. C)))
6	5	biimpd 153	. . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < C) -> (A <_ B -> (A x. C) <_ (B x. C)))
7	6	ex 373	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (0 < C -> (A <_ B -> (A x. C) <_ (B x. C))))
8		opreq2 3969	. . . . . . . . . 10 |- (0 = C -> (A x. 0) = (A x. C))
9		opreq2 3969	. . . . . . . . . 10 |- (0 = C -> (B x. 0) = (B x. C))
10	8, 9	breq12d 2631	. . . . . . . . 9 |- (0 = C -> ((A x. 0) <_ (B x. 0) <-> (A x. C) <_ (B x. C)))
11	1	leid 5610	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 0
12		mul01t 5443	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. CC -> (A x. 0) = 0)
13		mul01t 5443	. . . . . . . . . . . 12 |- (B e. CC -> (B x. 0) = 0)
14	12, 13	breqan12d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. 0) <_ (B x. 0) <-> 0 <_ 0))
15		recnt 5313	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. RR -> A e. CC)
16		recnt 5313	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. RR -> B e. CC)
17	14, 15, 16	syl2an 454	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((A x. 0) <_ (B x. 0) <-> 0 <_ 0))
18	11, 17	mpbiri 194	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A x. 0) <_ (B x. 0))
19	10, 18	syl5cbi 209	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (0 = C -> (A x. C) <_ (B x. C)))
20	19	3adant3 799	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (0 = C -> (A x. C) <_ (B x. C)))
21	20	a1dd 42	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (0 = C -> (A <_ B -> (A x. C) <_ (B x. C))))
22	7, 21	jaod 424	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((0 < C \/ 0 = C) -> (A <_ B -> (A x. C) <_ (B x. C))))
23	4, 22	sylbid 203	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (0 <_ C -> (A <_ B -> (A x. C) <_ (B x. C))))
24	23	3exp 832	. . 3 |- (A e. RR -> (B e. RR -> (C e. RR -> (0 <_ C -> (A <_ B -> (A x. C) <_ (B x. C))))))
25	24	imp4a 364	. 2 |- (A e. RR -> (B e. RR -> ((C e. RR /\ 0 <_ C) -> (A <_ B -> (A x. C) <_ (B x. C)))))
26	25	3imp1 846	1 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ (C e. RR /\ 0 <_ C)) /\ A <_ B) -> (A x. C) <_ (B x. C))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234   x. cmul 5239   <_ cle 5295   < clt 5486

This theorem is referenced by:  lemul2it 5839  ltmul12it 5841  lemul12ait 5842  bernneq 6652  faclbnd4lem1 6948  nmoub3i 8436  siilem1 8511  htthlem8 8627

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491

Copyright terms: Public domain