MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemul2 Unicode version

Theorem lemul2 9852
Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by NM, 16-Mar-2005.)
Assertion
Ref Expression
lemul2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( A  <_  B  <->  ( C  x.  A )  <_  ( C  x.  B ) ) )

Proof of Theorem lemul2
StepHypRef Expression
1 lemul1 9851 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( A  <_  B  <->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C ) ) )
2 recn 9069 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
3 recn 9069 . . . . . 6  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  CC )
4 mulcom 9065 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  x.  C
)  =  ( C  x.  A ) )
52, 3, 4syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  x.  C
)  =  ( C  x.  A ) )
653adant2 976 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  x.  C )  =  ( C  x.  A ) )
7 recn 9069 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
8 mulcom 9065 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( B  x.  C
)  =  ( C  x.  B ) )
97, 3, 8syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  x.  C
)  =  ( C  x.  B ) )
1093adant1 975 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  x.  C )  =  ( C  x.  B ) )
116, 10breq12d 4217 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  x.  C
)  <_  ( B  x.  C )  <->  ( C  x.  A )  <_  ( C  x.  B )
) )
12113adant3r 1181 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C )  <->  ( C  x.  A )  <_  ( C  x.  B ) ) )
131, 12bitrd 245 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( A  <_  B  <->  ( C  x.  A )  <_  ( C  x.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204  (class class class)co 6072   CCcc 8977   RRcr 8978   0cc0 8979    x. cmul 8984    < clt 9109    <_ cle 9110
This theorem is referenced by:  lediv2  9889  lemul2i  9923  lemul2d  10677  nnlesq  11472  sqrlem6  12041  sqrlem7  12042  climcndslem2  12618  climcnds  12619  qexpz  13258  vdwlem3  13339  vdwlem9  13345  iihalf2  18946  tchcphlem1  19180  minveclem2  19315  itg2monolem1  19630  itg2monolem3  19632  itgabs  19714  abelthlem2  20336  pilem2  20356  logdivlti  20503  atans2  20759  leibpi  20770  log2tlbnd  20773  jensenlem2  20814  basellem1  20851  basellem2  20852  basellem3  20853  chtub  20984  logfaclbnd  20994  bpos1lem  21054  bposlem2  21057  bposlem3  21058  bposlem4  21059  bposlem5  21060  bposlem6  21061  lgsquadlem1  21126  chebbnd1lem1  21151  chebbnd1lem3  21153  dchrisumlem1  21171  dchrisum0lem3  21201  mulog2sumlem1  21216  mulog2sumlem2  21217  chpdifbndlem1  21235  pntlemj  21285  pntlemo  21289  ostth2lem2  21316  ostth2lem3  21317  ostth3  21320  minvecolem2  22365  cdj3lem1  23925  zetacvg  24787  subfaclim  24862  itgabsnc  26220  fzmul  26381  csbrn  26393  trirn  26394  bfp  26470  irrapxlem1  26822  irrapxlem3  26824  pellfundex  26886  jm2.17b  26963  jm2.17c  26964  stoweidlem11  27674  stoweidlem26  27689  stoweidlem38  27701
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-riota 6540  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283
  Copyright terms: Public domain W3C validator