MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemuldiv2 Structured version   Unicode version

Theorem lemuldiv2 9890
Description: 'Less than or equal' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
lemuldiv2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( ( C  x.  A )  <_  B  <->  A  <_  ( B  /  C ) ) )

Proof of Theorem lemuldiv2
StepHypRef Expression
1 recn 9080 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2 recn 9080 . . . . . 6  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  CC )
3 mulcom 9076 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  x.  C
)  =  ( C  x.  A ) )
41, 2, 3syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  x.  C
)  =  ( C  x.  A ) )
54adantrr 698 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  ->  ( A  x.  C )  =  ( C  x.  A ) )
653adant2 976 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( A  x.  C
)  =  ( C  x.  A ) )
76breq1d 4222 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( ( A  x.  C )  <_  B  <->  ( C  x.  A )  <_  B ) )
8 lemuldiv 9889 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( ( A  x.  C )  <_  B  <->  A  <_  ( B  /  C ) ) )
97, 8bitr3d 247 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( ( C  x.  A )  <_  B  <->  A  <_  ( B  /  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    / cdiv 9677
This theorem is referenced by:  lemuldiv2d  10694  intfracq  11240  modge0  11257  amgm2  12173  bl2in  18430  iihalf1  18956  minveclem4  19333  ovolunlem1a  19392  log2ub  20789  fsumharmonic  20850  ftalem5  20859  dvdsflf1o  20972  fsumfldivdiaglem  20974  bcmono  21061  lgseisenlem1  21133  lgseisenlem2  21134  lgseisenlem3  21135  lgsquadlem1  21138  lgsquadlem2  21139  chebbnd1lem3  21165  dchrisum0lem2  21212  logdivbnd  21250  pntlemh  21293  pntlemj  21297  pntlemk  21300  minvecolem4  22382  nmophmi  23534
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678
  Copyright terms: Public domain W3C validator