MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemulge11 Structured version   Unicode version

Theorem lemulge11 9862
Description: Multiplication by a number greater than or equal to 1. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
lemulge11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  1  <_  B
) )  ->  A  <_  ( A  x.  B
) )

Proof of Theorem lemulge11
StepHypRef Expression
1 ax-1rid 9050 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
21ad2antrr 707 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  1  <_  B
) )  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
3 simpll 731 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  1  <_  B
) )  ->  A  e.  RR )
4 simprl 733 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  1  <_  B
) )  ->  0  <_  A )
53, 4jca 519 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  1  <_  B
) )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
6 simplr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  1  <_  B
) )  ->  B  e.  RR )
7 1re 9080 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
8 0le1 9541 . . . . . 6  |-  0  <_  1
97, 8pm3.2i 442 . . . . 5  |-  ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )
106, 9jctil 524 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  1  <_  B
) )  ->  (
( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  B  e.  RR ) )
115, 3, 10jca31 521 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  1  <_  B
) )  ->  (
( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  A  e.  RR )  /\  (
( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  B  e.  RR ) ) )
12 leid 9159 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  A )
1312ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  1  <_  B
) )  ->  A  <_  A )
14 simprr 734 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  1  <_  B
) )  ->  1  <_  B )
1513, 14jca 519 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  1  <_  B
) )  ->  ( A  <_  A  /\  1  <_  B ) )
16 lemul12a 9858 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  A  e.  RR )  /\  (
( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  B  e.  RR ) )  ->  (
( A  <_  A  /\  1  <_  B )  ->  ( A  x.  1 )  <_  ( A  x.  B )
) )
1711, 15, 16sylc 58 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  1  <_  B
) )  ->  ( A  x.  1 )  <_  ( A  x.  B ) )
182, 17eqbrtrrd 4226 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  1  <_  B
) )  ->  A  <_  ( A  x.  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   RRcr 8979   0cc0 8980   1c1 8981    x. cmul 8985    <_ cle 9111
This theorem is referenced by:  lemulge12  9863  lemulge11d  9938  faclbnd  11571  divalglem1  12904
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284
  Copyright terms: Public domain W3C validator