MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lencl Structured version   Unicode version

Theorem lencl 11727
Description: The length of a word is a nonnegative integer. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
lencl  |-  ( W  e. Word  S  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )

Proof of Theorem lencl
StepHypRef Expression
1 wrdfin 11726 . 2  |-  ( W  e. Word  S  ->  W  e.  Fin )
2 hashcl 11631 . 2  |-  ( W  e.  Fin  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
31, 2syl 16 1  |-  ( W  e. Word  S  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   ` cfv 5446   Fincfn 7101   NN0cn0 10213   #chash 11610  Word cword 11709
This theorem is referenced by:  ccatlen  11736  ccatval3  11739  ccatlid  11740  ccatrid  11741  ccatass  11742  swrdid  11764  swrdccat1  11766  swrdccat2  11767  ccatopth2  11769  spllen  11775  splval2  11778  cats1un  11782  wrdind  11783  revcl  11785  revlen  11786  revccat  11790  revrev  11791  revco  11795  ccatco  11796  cats1fvn  11814  cats1fv  11815  efginvrel2  15351  efgsdmi  15356  efgsval2  15357  efgsp1  15361  efgsfo  15363  efgredlemf  15365  efgredlemg  15366  efgredleme  15367  efgredlemd  15368  efgredlemc  15369  efgredlem  15371  efgred  15372  efgcpbllemb  15379  frgpuplem  15396  frgpnabllem1  15476  pgpfaclem1  15631  wlkbprop  21526  wlkonwlk  21527  pthdepisspth  21566  spthonepeq  21579  redwlklem  21597  nvnencycllem  21622  psgnuni  27390  psgnghm  27405  wrdsymb0  28147  wrdeq0  28149  elfzelfzccat  28150  ccatsymb  28152  swrdnd  28154  swrdrlen  28156  addlenrevswrd  28157  swrdvalodm2  28160  swrdvalodm  28161  swrdccatin1  28171  swrdccatin2  28176  swrdccatin12lem3  28178  swrdccatin12lem4  28179  swrdccatin12  28180  swrdccat3  28181  swrdccat  28182  swrdccat3a  28183  swrdccat3blem  28184  swrdccat3b  28185  cshwoor  28203  cshwn  28205  cshwlen  28207  cshwidx  28208  2cshw1lem1  28214  2cshw2lem2  28219  2cshw  28222  2cshwmod  28223  lswrdn0  28226  lswrd0  28227  cshw1  28238
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-hash 11611  df-word 11715
  Copyright terms: Public domain W3C validator