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Theorem lenegsq 12126
Description: Comparison to a nonnegative number based on comparison to squares. (Contributed by NM, 16-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
lenegsq  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <_  B )  ->  (
( A  <_  B  /\  -u A  <_  B
)  <->  ( A ^
2 )  <_  ( B ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem lenegsq
StepHypRef Expression
1 recn 9082 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2 abscl 12085 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
3 absge0 12094 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
42, 3jca 520 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) ) )
51, 4syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) ) )
6 le2sq 11458 . . . 4  |-  ( ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  -> 
( ( abs `  A
)  <_  B  <->  ( ( abs `  A ) ^
2 )  <_  ( B ^ 2 ) ) )
75, 6sylan 459 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( abs `  A )  <_  B 
<->  ( ( abs `  A
) ^ 2 )  <_  ( B ^
2 ) ) )
8 absle 12121 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  <_  B  <->  ( -u B  <_  A  /\  A  <_  B ) ) )
9 ancom 439 . . . . . 6  |-  ( (
-u A  <_  B  /\  A  <_  B )  <-> 
( A  <_  B  /\  -u A  <_  B
) )
10 lenegcon1 9534 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u A  <_  B 
<-> 
-u B  <_  A
) )
1110anbi1d 687 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B )  <->  ( -u B  <_  A  /\  A  <_  B ) ) )
129, 11syl5rbbr 253 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( -u B  <_  A  /\  A  <_  B )  <->  ( A  <_  B  /\  -u A  <_  B ) ) )
138, 12bitrd 246 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  <_  B  <->  ( A  <_  B  /\  -u A  <_  B ) ) )
1413adantrr 699 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( abs `  A )  <_  B 
<->  ( A  <_  B  /\  -u A  <_  B
) ) )
15 absresq 12109 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( A ^
2 ) )
1615breq1d 4224 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( abs `  A
) ^ 2 )  <_  ( B ^
2 )  <->  ( A ^ 2 )  <_ 
( B ^ 2 ) ) )
1716adantr 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( (
( abs `  A
) ^ 2 )  <_  ( B ^
2 )  <->  ( A ^ 2 )  <_ 
( B ^ 2 ) ) )
187, 14, 173bitr3d 276 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  <_  B  /\  -u A  <_  B )  <->  ( A ^ 2 )  <_ 
( B ^ 2 ) ) )
19183impb 1150 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <_  B )  ->  (
( A  <_  B  /\  -u A  <_  B
)  <->  ( A ^
2 )  <_  ( B ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    e. wcel 1726   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992    <_ cle 9123   -ucneg 9294   2c2 10051   ^cexp 11384   abscabs 12041
This theorem is referenced by:  sinbnd  12783  cosbnd  12784  4sqlem7  13314
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043
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