MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lenlt Structured version   Unicode version

Theorem lenlt 9146
Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. (Contributed by NM, 13-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
lenlt  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )

Proof of Theorem lenlt
StepHypRef Expression
1 rexr 9122 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 9122 . 2  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 xrlenlt 9135 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
41, 2, 3syl2an 464 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   RRcr 8981   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113
This theorem is referenced by:  ltnle  9147  letri3  9152  leloe  9153  eqlelt  9154  ne0gt0  9170  lelttric  9172  lenlti  9185  lenltd  9211  ltaddsub  9494  leord1  9546  lediv1  9867  suprleub  9964  dfinfmr  9977  infmrgelb  9980  nnge1  10018  nnnlt1  10022  avgle1  10199  avgle2  10200  nn0nlt0  10240  recnz  10337  btwnnz  10338  prime  10342  indstr  10537  uzsupss  10560  zbtwnre  10564  rpneg  10633  fzn  11063  fllt  11207  om2uzlt2i  11283  leexp2  11426  discr  11508  bcval4  11590  sqrneglem  12064  harmonic  12630  efle  12711  dvdsle  12887  infpnlem1  13270  pgpssslw  15240  dvferm1  19861  dvferm2  19863  dgrlt  20176  logleb  20490  argrege0  20498  ellogdm  20522  dvlog2lem  20535  cxple  20578  cxple3  20584  asinneg  20718  birthdaylem3  20784  ppieq0  20951  chpeq0  20984  chteq0  20985  lgsval2lem  21082  lgsneg  21095  lgsdilem  21098  ostth2lem1  21304  ostth3  21324  nmounbi  22269  nmlno0lem  22286  nmlnop0iALT  23490  supfz  25191  inffz  25192  fz0n  25194  leceifl  26232  lxflflp1  26233  ftc1anclem1  26270  nn0prpw  26317  nninfnub  26446  ellz1  26816  rencldnfilem  26872  subsubelfzo0  28118  modifeq2int  28139  wrdsymb0  28147  ccatsymb  28152  swrdnd  28154  swrdvalodm2  28160  2cshwmod  28223
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-br 4205  df-opab 4259  df-xp 4876  df-cnv 4878  df-xr 9116  df-le 9118
  Copyright terms: Public domain W3C validator