MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lenlt Unicode version

Theorem lenlt 8917
Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. (Contributed by NM, 13-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
lenlt  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )

Proof of Theorem lenlt
StepHypRef Expression
1 rexr 8893 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 8893 . 2  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 xrlenlt 8906 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
41, 2, 3syl2an 463 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   RRcr 8752   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884
This theorem is referenced by:  ltnle  8918  letri3  8923  leloe  8924  eqlelt  8925  ne0gt0  8941  lelttric  8943  lenlti  8954  lenltd  8981  ltaddsub  9264  leord1  9316  lediv1  9637  suprleub  9734  dfinfmr  9747  infmrgelb  9750  nnge1  9788  nnnlt1  9792  avgle1  9967  avgle2  9968  nn0nlt0  10008  recnz  10103  btwnnz  10104  prime  10108  indstr  10303  uzsupss  10326  zbtwnre  10330  rpneg  10399  fzn  10826  fllt  10954  om2uzlt2i  11030  leexp2  11172  discr  11254  bcval4  11336  sqrneglem  11768  harmonic  12333  efle  12414  dvdsle  12590  infpnlem1  12973  pgpssslw  14941  dvferm1  19348  dvferm2  19350  dgrlt  19663  logleb  19973  argrege0  19981  ellogdm  20002  dvlog2lem  20015  cxple  20058  cxple3  20064  asinneg  20198  birthdaylem3  20264  ppieq0  20430  chpeq0  20463  chteq0  20464  lgsval2lem  20561  lgsneg  20574  lgsdilem  20577  ostth2lem1  20783  ostth3  20803  nmounbi  21370  nmlno0lem  21387  nmlnop0iALT  22591  supfz  24109  inffz  24110  fz0n  24112  leceifl  24999  lxflflp1  25000  nn0prpw  26342  nninfnub  26564  ellz1  26949  rencldnfilem  27006  stoweidlem14  27866  stoweidlem52  27904
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-cnv 4713  df-xr 8887  df-le 8889
  Copyright terms: Public domain W3C validator