MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lenlt Unicode version

Theorem lenlt 9088
Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. (Contributed by NM, 13-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
lenlt  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )

Proof of Theorem lenlt
StepHypRef Expression
1 rexr 9064 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 9064 . 2  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 xrlenlt 9077 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
41, 2, 3syl2an 464 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1717   class class class wbr 4154   RRcr 8923   RR*cxr 9053    < clt 9054    <_ cle 9055
This theorem is referenced by:  ltnle  9089  letri3  9094  leloe  9095  eqlelt  9096  ne0gt0  9112  lelttric  9114  lenlti  9125  lenltd  9152  ltaddsub  9435  leord1  9487  lediv1  9808  suprleub  9905  dfinfmr  9918  infmrgelb  9921  nnge1  9959  nnnlt1  9963  avgle1  10140  avgle2  10141  nn0nlt0  10181  recnz  10278  btwnnz  10279  prime  10283  indstr  10478  uzsupss  10501  zbtwnre  10505  rpneg  10574  fzn  11004  fllt  11143  om2uzlt2i  11219  leexp2  11362  discr  11444  bcval4  11526  sqrneglem  12000  harmonic  12566  efle  12647  dvdsle  12823  infpnlem1  13206  pgpssslw  15176  dvferm1  19737  dvferm2  19739  dgrlt  20052  logleb  20366  argrege0  20374  ellogdm  20398  dvlog2lem  20411  cxple  20454  cxple3  20460  asinneg  20594  birthdaylem3  20660  ppieq0  20827  chpeq0  20860  chteq0  20861  lgsval2lem  20958  lgsneg  20971  lgsdilem  20974  ostth2lem1  21180  ostth3  21200  nmounbi  22126  nmlno0lem  22143  nmlnop0iALT  23347  supfz  24979  inffz  24980  fz0n  24982  leceifl  25952  lxflflp1  25953  nn0prpw  26018  nninfnub  26147  ellz1  26517  rencldnfilem  26573
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pr 4345
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-br 4155  df-opab 4209  df-xp 4825  df-cnv 4827  df-xr 9058  df-le 9060
  Copyright terms: Public domain W3C validator