MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lenltd Unicode version

Theorem lenltd 8965
Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
lenltd  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )

Proof of Theorem lenltd
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 lenlt 8901 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   RRcr 8736    < clt 8867    <_ cle 8868
This theorem is referenced by:  ltnsymd  8968  leadd1  9242  leord1  9300  prodge0  9603  lediv1  9621  lemuldiv  9635  lerec  9638  le2msq  9656  lbinfm  9707  suprub  9715  suprleub  9718  supmul1  9719  infmrlb  9735  zsupss  10307  suprzub  10309  rpnnen1lem5  10346  fzdisj  10817  uzdisj  10856  fzouzdisj  10902  seqf1olem1  11085  seqf1olem2  11086  leexp2  11156  hashf1  11395  seqcoll  11401  seqcoll2  11402  rlimcld2  12052  rlimno1  12127  isercoll  12141  ruclem3  12511  bitsfzolem  12625  bitsmod  12627  sadcaddlem  12648  smupvallem  12674  pcfac  12947  4sqlem11  13002  ramcl2lem  13056  sylow1lem1  14909  recld2  18320  reconnlem2  18332  nmoleub2lem3  18596  ivthlem2  18812  ivthlem3  18813  ovolicopnf  18883  ioombl1lem4  18918  ioorcl2  18927  itg1ge0a  19066  mbfi1fseqlem4  19073  itg2monolem1  19105  itg2cnlem1  19116  dvferm1lem  19331  dvferm2lem  19333  mdegmullem  19464  dgrub  19616  dgrlb  19618  dgreq0  19646  quotcan  19689  aaliou3lem9  19730  radcnvle  19796  abelthlem2  19808  logdivle  19973  cxple  20042  lgsval2lem  20545  pntlem3  20758  padicabv  20779  ballotlemodife  23056  ssnnssfz  23277  esumpcvgval  23446  dstfrvunirn  23675  erdszelem7  23728  erdszelem8  23729  dedekind  24082  areacirc  24931  rencldnfilem  26903  irrapxlem1  26907  monotoddzzfi  27027
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-cnv 4697  df-xr 8871  df-le 8873
  Copyright terms: Public domain W3C validator