MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lenltd Unicode version

Theorem lenltd 8981
Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
lenltd  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )

Proof of Theorem lenltd
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 lenlt 8917 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   RRcr 8752    < clt 8883    <_ cle 8884
This theorem is referenced by:  ltnsymd  8984  leadd1  9258  leord1  9316  prodge0  9619  lediv1  9637  lemuldiv  9651  lerec  9654  le2msq  9672  lbinfm  9723  suprub  9731  suprleub  9734  supmul1  9735  infmrlb  9751  zsupss  10323  suprzub  10325  rpnnen1lem5  10362  fzdisj  10833  uzdisj  10872  fzouzdisj  10918  seqf1olem1  11101  seqf1olem2  11102  leexp2  11172  hashf1  11411  seqcoll  11417  seqcoll2  11418  rlimcld2  12068  rlimno1  12143  isercoll  12157  ruclem3  12527  bitsfzolem  12641  bitsmod  12643  sadcaddlem  12664  smupvallem  12690  pcfac  12963  4sqlem11  13018  ramcl2lem  13072  sylow1lem1  14925  recld2  18336  reconnlem2  18348  nmoleub2lem3  18612  ivthlem2  18828  ivthlem3  18829  ovolicopnf  18899  ioombl1lem4  18934  ioorcl2  18943  itg1ge0a  19082  mbfi1fseqlem4  19089  itg2monolem1  19121  itg2cnlem1  19132  dvferm1lem  19347  dvferm2lem  19349  mdegmullem  19480  dgrub  19632  dgrlb  19634  dgreq0  19662  quotcan  19705  aaliou3lem9  19746  radcnvle  19812  abelthlem2  19824  logdivle  19989  cxple  20058  lgsval2lem  20561  pntlem3  20774  padicabv  20795  ballotlemodife  23072  ssnnssfz  23292  esumpcvgval  23461  dstfrvunirn  23690  erdszelem7  23743  erdszelem8  23744  dedekind  24097  supaddc  24995  itg2addnc  25005  areacirc  25034  rencldnfilem  27006  irrapxlem1  27010  monotoddzzfi  27130
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-cnv 4713  df-xr 8887  df-le 8889
  Copyright terms: Public domain W3C validator