Theorem leopg 10055

Description: Ordering relation for positive operators. Definition of positive operator ordering in [Kreyszig] p. 470.

Assertion

Ref	Expression
leopg	|- ((T e. A /\ U e. B) -> (T <_op U <-> ((U -op T) e. HrmOp /\ A.x e. H~ 0 <_ (((U -op T)` x) .ih x))))

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,T   x,U

Proof of Theorem leopg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3969	. . . 4 |- (t = T -> (u -op t) = (u -op T))
2	1	eleq1d 1540	. . 3 |- (t = T -> ((u -op t) e. HrmOp <-> (u -op T) e. HrmOp))
3	1	fveq1d 3726	. . . . . 6 |- (t = T -> ((u -op t)` x) = ((u -op T)` x))
4	3	opreq1d 3975	. . . . 5 |- (t = T -> (((u -op t)` x) .ih x) = (((u -op T)` x) .ih x))
5	4	breq2d 2630	. . . 4 |- (t = T -> (0 <_ (((u -op t)` x) .ih x) <-> 0 <_ (((u -op T)` x) .ih x)))
6	5	ralbidv 1663	. . 3 |- (t = T -> (A.x e. H~ 0 <_ (((u -op t)` x) .ih x) <-> A.x e. H~ 0 <_ (((u -op T)` x) .ih x)))
7	2, 6	anbi12d 628	. 2 |- (t = T -> (((u -op t) e. HrmOp /\ A.x e. H~ 0 <_ (((u -op t)` x) .ih x)) <-> ((u -op T) e. HrmOp /\ A.x e. H~ 0 <_ (((u -op T)` x) .ih x))))
8		opreq1 3968	. . . 4 |- (u = U -> (u -op T) = (U -op T))
9	8	eleq1d 1540	. . 3 |- (u = U -> ((u -op T) e. HrmOp <-> (U -op T) e. HrmOp))
10	8	fveq1d 3726	. . . . . 6 |- (u = U -> ((u -op T)` x) = ((U -op T)` x))
11	10	opreq1d 3975	. . . . 5 |- (u = U -> (((u -op T)` x) .ih x) = (((U -op T)` x) .ih x))
12	11	breq2d 2630	. . . 4 |- (u = U -> (0 <_ (((u -op T)` x) .ih x) <-> 0 <_ (((U -op T)` x) .ih x)))
13	12	ralbidv 1663	. . 3 |- (u = U -> (A.x e. H~ 0 <_ (((u -op T)` x) .ih x) <-> A.x e. H~ 0 <_ (((U -op T)` x) .ih x)))
14	9, 13	anbi12d 628	. 2 |- (u = U -> (((u -op T) e. HrmOp /\ A.x e. H~ 0 <_ (((u -op T)` x) .ih x)) <-> ((U -op T) e. HrmOp /\ A.x e. H~ 0 <_ (((U -op T)` x) .ih x))))
15		df-leop 9778	. 2 |- <_op = {<.t, u>. | ((u -op t) e. HrmOp /\ A.x e. H~ 0 <_ (((u -op t)` x) .ih x))}
16	7, 14, 15	brabg 2818	1 |- ((T e. A /\ U e. B) -> (T <_op U <-> ((U -op T) e. HrmOp /\ A.x e. H~ 0 <_ (((U -op T)` x) .ih x))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  0cc0 5234   <_ cle 5295  H~chil 8788   .ih csp 8793   -op chod 8809  HrmOpcho 8819   <_op cleo 8827

This theorem is referenced by:  leopt 10056  leoprf2t 10060

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fv 3198  df-opr 3965  df-leop 9778

Copyright terms: Public domain