Theorem leoptr 12539

Description: The positive operator ordering relation is transitive. Exercise 1(iv) of [Retherford] p. 49.

Assertion

Ref	Expression
leoptr	|- (((S e. HrmOp /\ T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ (S <_op T /\ T <_op U)) -> S <_op U)

Proof of Theorem leoptr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.26 2467	. . . 4 |- (A.x e. ~H (((S` x) .ih x) <_ ((T` x) .ih x) /\ ((T` x) .ih x) <_ ((U` x) .ih x)) <-> (A.x e. ~H ((S` x) .ih x) <_ ((T` x) .ih x) /\ A.x e. ~H ((T` x) .ih x) <_ ((U` x) .ih x)))
2		hmopre 12316	. . . . . . 7 |- ((S e. HrmOp /\ x e. ~H) -> ((S` x) .ih x) e. RR)
3		hmopre 12316	. . . . . . 7 |- ((T e. HrmOp /\ x e. ~H) -> ((T` x) .ih x) e. RR)
4		hmopre 12316	. . . . . . 7 |- ((U e. HrmOp /\ x e. ~H) -> ((U` x) .ih x) e. RR)
5		letr 6884	. . . . . . 7 |- ((((S` x) .ih x) e. RR /\ ((T` x) .ih x) e. RR /\ ((U` x) .ih x) e. RR) -> ((((S` x) .ih x) <_ ((T` x) .ih x) /\ ((T` x) .ih x) <_ ((U` x) .ih x)) -> ((S` x) .ih x) <_ ((U` x) .ih x)))
6	2, 3, 4, 5	syl3an 1391	. . . . . 6 |- (((S e. HrmOp /\ x e. ~H) /\ (T e. HrmOp /\ x e. ~H) /\ (U e. HrmOp /\ x e. ~H)) -> ((((S` x) .ih x) <_ ((T` x) .ih x) /\ ((T` x) .ih x) <_ ((U` x) .ih x)) -> ((S` x) .ih x) <_ ((U` x) .ih x)))
7	6	3anandirs 1472	. . . . 5 |- (((S e. HrmOp /\ T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ x e. ~H) -> ((((S` x) .ih x) <_ ((T` x) .ih x) /\ ((T` x) .ih x) <_ ((U` x) .ih x)) -> ((S` x) .ih x) <_ ((U` x) .ih x)))
8	7	ralimdva 2421	. . . 4 |- ((S e. HrmOp /\ T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) -> (A.x e. ~H (((S` x) .ih x) <_ ((T` x) .ih x) /\ ((T` x) .ih x) <_ ((U` x) .ih x)) -> A.x e. ~H ((S` x) .ih x) <_ ((U` x) .ih x)))
9	1, 8	syl5bir 251	. . 3 |- ((S e. HrmOp /\ T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) -> ((A.x e. ~H ((S` x) .ih x) <_ ((T` x) .ih x) /\ A.x e. ~H ((T` x) .ih x) <_ ((U` x) .ih x)) -> A.x e. ~H ((S` x) .ih x) <_ ((U` x) .ih x)))
10		leop2 12526	. . . . 5 |- ((S e. HrmOp /\ T e. HrmOp) -> (S <_op T <-> A.x e. ~H ((S` x) .ih x) <_ ((T` x) .ih x)))
11	10	3adant3 1140	. . . 4 |- ((S e. HrmOp /\ T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) -> (S <_op T <-> A.x e. ~H ((S` x) .ih x) <_ ((T` x) .ih x)))
12		leop2 12526	. . . . 5 |- ((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) -> (T <_op U <-> A.x e. ~H ((T` x) .ih x) <_ ((U` x) .ih x)))
13	12	3adant1 1138	. . . 4 |- ((S e. HrmOp /\ T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) -> (T <_op U <-> A.x e. ~H ((T` x) .ih x) <_ ((U` x) .ih x)))
14	11, 13	anbi12d 763	. . 3 |- ((S e. HrmOp /\ T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) -> ((S <_op T /\ T <_op U) <-> (A.x e. ~H ((S` x) .ih x) <_ ((T` x) .ih x) /\ A.x e. ~H ((T` x) .ih x) <_ ((U` x) .ih x))))
15		leop2 12526	. . . 4 |- ((S e. HrmOp /\ U e. HrmOp) -> (S <_op U <-> A.x e. ~H ((S` x) .ih x) <_ ((U` x) .ih x)))
16	15	3adant2 1139	. . 3 |- ((S e. HrmOp /\ T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) -> (S <_op U <-> A.x e. ~H ((S` x) .ih x) <_ ((U` x) .ih x)))
17	9, 14, 16	3imtr4d 330	. 2 |- ((S e. HrmOp /\ T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) -> ((S <_op T /\ T <_op U) -> S <_op U))
18	17	imp 393	1 |- (((S e. HrmOp /\ T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ (S <_op T /\ T <_op U)) -> S <_op U)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 219   /\ wa 337   /\ w3a 1102   e. wcel 1588  A.wral 2355   class class class wbr 3507  ` cfv 4131  (class class class)co 4981  RRcr 6751   <_ cle 6841  ~Hchil 11258   .ih csp 11263  HrmOpcho 11289   <_op cleo 11297

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1590  ax-7 1592  ax-gen 1593  ax-8 1594  ax-9 1595  ax-10 1596  ax-11 1597  ax-12 1598  ax-13 1599  ax-14 1600  ax-17 1605  ax-4 1608  ax-5o 1610  ax-6o 1613  ax-9o 1763  ax-10o 1781  ax-16 1854  ax-11o 1864  ax-ext 2123  ax-rep 3596  ax-sep 3606  ax-nul 3613  ax-pow 3649  ax-pr 3687  ax-un 3929  ax-reg 5928  ax-inf2 5964  ax-ac 6314  ax-hilex 11339  ax-hfvadd 11340  ax-hvcom 11341  ax-hvass 11342  ax-hv0cl 11343  ax-hvaddid 11344  ax-hfvmul 11345  ax-hvmulid 11346  ax-hvmulass 11347  ax-hvdistr1 11348  ax-hvdistr2 11349  ax-hvmul0 11350  ax-hfi 11416  ax-his1 11419  ax-his2 11420  ax-his3 11421  ax-his4 11422  ax-hcompl 11540

This theorem depends on definitions:  df-bi 220  df-or 338  df-an 339  df-3or 1103  df-3an 1104  df-ex 1616  df-sb 1816  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2129  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-ne 2268  df-nel 2269  df-ral 2359  df-rex 2360  df-reu 2361  df-rab 2362  df-v 2540  df-sbc 2700  df-csb 2774  df-dif 2830  df-un 2832  df-in 2834  df-ss 2836  df-pss 2838  df-nul 3083  df-if 3181  df-pw 3229  df-sn 3242  df-pr 3243  df-tp 3245  df-op 3246  df-uni 3367  df-int 3401  df-iun 3438  df-iin 3439  df-br 3508  df-opab 3566  df-tr 3580  df-eprel 3744  df-id 3747  df-po 3752  df-so 3764  df-fr 3782  df-we 3798  df-ord 3814  df-on 3815  df-lim 3816  df-suc 3817  df-om 4086  df-xp 4133  df-rel 4134  df-cnv 4135  df-co 4136  df-dm 4137  df-rn 4138  df-res 4139  df-ima 4140  df-fun 4141  df-fn 4142  df-f 4143  df-f1 4144  df-fo 4145  df-f1o 4146  df-fv 4147  df-opr 4983  df-oprab 4984  df-mpt 5099  df-1st 5126  df-2nd 5127  df-iota 5219  df-rdg 5304  df-1o 5344  df-oadd 5346  df-omul 5347  df-er 5479  df-ec 5481  df-qs 5484  df-map 5544  df-en 5588  df-dom 5589  df-sdom 5590  df-undef 5725  df-riota 5729  df-sup 5888  df-r1 5986  df-rank 5987  df-ni 6518  df-pli 6519  df-mi 6520  df-lti 6521  df-plpq 6553  df-mpq 6554  df-enq 6555  df-nq 6556  df-plq 6557  df-mq 6558  df-rq 6559  df-ltq 6560  df-1q 6561  df-np 6604  df-1p 6605  df-plp 6606  df-mp 6607  df-ltp 6608  df-plpr 6682  df-mpr 6683  df-enr 6684  df-nr 6685  df-plr 6686  df-mr 6687  df-ltr 6688  df-0r 6689  df-1r 6690  df-m1r 6691  df-c 6758  df-0 6759  df-1 6760  df-i 6761  df-r 6762  df-plus 6763  df-mul 6764  df-lt 6765  df-pnf 6846  df-mnf 6847  df-xr 6848  df-ltxr 6849  df-le 6850  df-sub 7009  df-neg 7011  df-div 7223  df-n 7441  df-2 7487  df-3 7488  df-4 7489  df-n0 7649  df-z 7686  df-q 7782  df-fl 7809  df-ioo 7874  df-uz 7934  df-fz 7999  df-seq1 8094  df-shft 8129  df-seqz 8151  df-exp 8196  df-sqr 8304  df-re 8385  df-im 8386  df-cj 8387  df-abs 8388  df-clim 8631  df-sum 8636  df-top 9692  df-bases 9694  df-topgen 9695  df-cld 9800  df-ntr 9801  df-cls 9802  df-cn 9896  df-cnp 9897  df-haus 9925  df-met 9936  df-bl 9938  df-opn 9939  df-lm 10066  df-grpo 10182  df-gid 10183  df-ginv 10184  df-gdiv 10185  df-ablo 10277  df-vc 10366  df-nv 10412  df-va 10415  df-ba 10416  df-sm 10417  df-0v 10418  df-vs 10419  df-nm 10420  df-ims 10421  df-ip 10558  df-ph 10682  df-hnorm 11307  df-hvsub 11310  df-hlim 11311  df-hcau 11312  df-sh 11545  df-ch 11559  df-oc 11591  df-ch0 11592  df-pj 11704  df-hosum 11973  df-homul 11974  df-hodif 11975  df-h0op 12143  df-hmop 12239  df-leop 12247

Copyright terms: Public domain