Theorem leoptri 23600

Description: The positive operator ordering relation satisfies trichotomy. Exercise 1(iii) of [Retherford] p. 49. (Contributed by NM, 25-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
leoptri	|- ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp ) -> ( ( T <_op U /\ U <_op T ) <-> T = U ) )

Proof of Theorem leoptri

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leop2 23588	. . 3 |- ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp ) -> ( T <_op U <-> A. x e. ~H ( ( T ` x ) .ih x ) <_ ( ( U ` x ) .ih x ) ) )
2		leop2 23588	. . . 4 |- ( ( U e. HrmOp /\ T e. HrmOp ) -> ( U <_op T <-> A. x e. ~H ( ( U ` x ) .ih x ) <_ ( ( T ` x ) .ih x ) ) )
3	2	ancoms 440	. . 3 |- ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp ) -> ( U <_op T <-> A. x e. ~H ( ( U ` x ) .ih x ) <_ ( ( T ` x ) .ih x ) ) )
4	1, 3	anbi12d 692	. 2 |- ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp ) -> ( ( T <_op U /\ U <_op T ) <-> ( A. x e. ~H ( ( T ` x ) .ih x ) <_ ( ( U ` x ) .ih x ) /\ A. x e. ~H ( ( U ` x ) .ih x ) <_ ( ( T ` x ) .ih x ) ) ) )
5		hmopre 23387	. . . . . 6 |- ( ( T e. HrmOp /\ x e. ~H ) -> ( ( T ` x ) .ih x ) e. RR )
6	5	adantlr 696	. . . . 5 |- ( ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp ) /\ x e. ~H ) -> ( ( T ` x ) .ih x ) e. RR )
7		hmopre 23387	. . . . . 6 |- ( ( U e. HrmOp /\ x e. ~H ) -> ( ( U ` x ) .ih x ) e. RR )
8	7	adantll 695	. . . . 5 |- ( ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp ) /\ x e. ~H ) -> ( ( U ` x ) .ih x ) e. RR )
9	6, 8	letri3d 9179	. . . 4 |- ( ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( T ` x ) .ih x ) = ( ( U ` x ) .ih x ) <-> ( ( ( T ` x ) .ih x ) <_ ( ( U ` x ) .ih x ) /\ ( ( U ` x ) .ih x ) <_ ( ( T ` x ) .ih x ) ) ) )
10	9	ralbidva 2690	. . 3 |- ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp ) -> ( A. x e. ~H ( ( T ` x ) .ih x ) = ( ( U ` x ) .ih x ) <-> A. x e. ~H ( ( ( T ` x ) .ih x ) <_ ( ( U ` x ) .ih x ) /\ ( ( U ` x ) .ih x ) <_ ( ( T ` x ) .ih x ) ) ) )
11		r19.26 2806	. . 3 |- ( A. x e. ~H ( ( ( T ` x ) .ih x ) <_ ( ( U ` x ) .ih x ) /\ ( ( U ` x ) .ih x ) <_ ( ( T ` x ) .ih x ) ) <-> ( A. x e. ~H ( ( T ` x ) .ih x ) <_ ( ( U ` x ) .ih x ) /\ A. x e. ~H ( ( U ` x ) .ih x ) <_ ( ( T ` x ) .ih x ) ) )
12	10, 11	syl6rbb 254	. 2 |- ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp ) -> ( ( A. x e. ~H ( ( T ` x ) .ih x ) <_ ( ( U ` x ) .ih x ) /\ A. x e. ~H ( ( U ` x ) .ih x ) <_ ( ( T ` x ) .ih x ) ) <-> A. x e. ~H ( ( T ` x ) .ih x ) = ( ( U ` x ) .ih x ) ) )
13		hmoplin 23406	. . 3 |- ( T e. HrmOp -> T e. LinOp )
14		hmoplin 23406	. . 3 |- ( U e. HrmOp -> U e. LinOp )
15		lnopeq 23473	. . 3 |- ( ( T e. LinOp /\ U e. LinOp ) -> ( A. x e. ~H ( ( T ` x ) .ih x ) = ( ( U ` x ) .ih x ) <-> T = U ) )
16	13, 14, 15	syl2an 464	. 2 |- ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp ) -> ( A. x e. ~H ( ( T ` x ) .ih x ) = ( ( U ` x ) .ih x ) <-> T = U ) )
17	4, 12, 16	3bitrd 271	1 |- ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp ) -> ( ( T <_op U /\ U <_op T ) <-> T = U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2674   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   RRcr 8953   <_ cle 9085   ~Hchil 22383   .ih csp 22386   LinOpclo 22411   HrmOpcho 22414   <_op cleo 22422

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cc 8279  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034  ax-hilex 22463  ax-hfvadd 22464  ax-hvcom 22465  ax-hvass 22466  ax-hv0cl 22467  ax-hvaddid 22468  ax-hfvmul 22469  ax-hvmulid 22470  ax-hvmulass 22471  ax-hvdistr1 22472  ax-hvdistr2 22473  ax-hvmul0 22474  ax-hfi 22542  ax-his1 22545  ax-his2 22546  ax-his3 22547  ax-his4 22548  ax-hcompl 22665

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-acn 7793  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-sum 12443  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-lm 17255  df-haus 17341  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-cfil 19169  df-cau 19170  df-cmet 19171  df-grpo 21740  df-gid 21741  df-ginv 21742  df-gdiv 21743  df-ablo 21831  df-subgo 21851  df-vc 21986  df-nv 22032  df-va 22035  df-ba 22036  df-sm 22037  df-0v 22038  df-vs 22039  df-nmcv 22040  df-ims 22041  df-dip 22158  df-ssp 22182  df-ph 22275  df-cbn 22326  df-hnorm 22432  df-hba 22433  df-hvsub 22435  df-hlim 22436  df-hcau 22437  df-sh 22670  df-ch 22685  df-oc 22715  df-ch0 22716  df-shs 22771  df-pjh 22858  df-hosum 23194  df-homul 23195  df-hodif 23196  df-h0op 23212  df-lnop 23305  df-hmop 23308  df-leop 23316