MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leordtval Structured version   Unicode version

Theorem leordtval 17269
Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leordtval.1  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] 
+oo ) )
leordtval.2  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) )
leordtval.3  |-  C  =  ran  (,)
Assertion
Ref Expression
leordtval  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( ( A  u.  B )  u.  C
) )

Proof of Theorem leordtval
Dummy variables  a 
b  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 leordtval.1 . . 3  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] 
+oo ) )
2 leordtval.2 . . 3  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) )
31, 2leordtval2 17268 . 2  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
4 letsr 14664 . . . 4  |-  <_  e.  TosetRel
5 ledm 14661 . . . . 5  |-  RR*  =  dom  <_
61leordtvallem1 17266 . . . . 5  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  -.  y  <_  x } )
71, 2leordtvallem2 17267 . . . . 5  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  -.  x  <_  y } )
8 leordtval.3 . . . . . 6  |-  C  =  ran  (,)
9 df-ioo 10912 . . . . . . . 8  |-  (,)  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { y  e.  RR*  |  (
a  <  y  /\  y  <  b ) } )
10 xrltnle 9136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
a  <  y  <->  -.  y  <_  a ) )
1110adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  ( a  <  y  <->  -.  y  <_  a )
)
12 xrltnle 9136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
y  <  b  <->  -.  b  <_  y ) )
1312ancoms 440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y  <  b  <->  -.  b  <_  y ) )
1413adantll 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  ( y  <  b  <->  -.  b  <_  y )
)
1511, 14anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  ( ( a  < 
y  /\  y  <  b )  <->  ( -.  y  <_  a  /\  -.  b  <_  y ) ) )
1615rabbidva 2939 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  { y  e.  RR*  |  (
a  <  y  /\  y  <  b ) }  =  { y  e. 
RR*  |  ( -.  y  <_  a  /\  -.  b  <_  y ) } )
1716mpt2eq3ia 6131 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  RR* ,  b  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  ( a  <  y  /\  y  < 
b ) } )  =  ( a  e. 
RR* ,  b  e.  RR*  |->  { y  e.  RR*  |  ( -.  y  <_ 
a  /\  -.  b  <_  y ) } )
189, 17eqtri 2455 . . . . . . 7  |-  (,)  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { y  e.  RR*  |  ( -.  y  <_  a  /\  -.  b  <_  y ) } )
1918rneqi 5088 . . . . . 6  |-  ran  (,)  =  ran  ( a  e. 
RR* ,  b  e.  RR*  |->  { y  e.  RR*  |  ( -.  y  <_ 
a  /\  -.  b  <_  y ) } )
208, 19eqtri 2455 . . . . 5  |-  C  =  ran  ( a  e. 
RR* ,  b  e.  RR*  |->  { y  e.  RR*  |  ( -.  y  <_ 
a  /\  -.  b  <_  y ) } )
215, 6, 7, 20ordtbas2 17247 . . . 4  |-  (  <_  e. 
TosetRel  ->  ( fi `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( A  u.  B
)  u.  C ) )
224, 21ax-mp 8 . . 3  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  =  ( ( A  u.  B )  u.  C
)
2322fveq2i 5723 . 2  |-  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )  =  (
topGen `  ( ( A  u.  B )  u.  C ) )
243, 23eqtri 2455 1  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( ( A  u.  B )  u.  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701    u. cun 3310   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ran crn 4871   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075   ficfi 7407    +oocpnf 9109    -oocmnf 9110   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113   (,)cioo 10908   (,]cioc 10909   [,)cico 10910   topGenctg 13657  ordTopcordt 13713    TosetRel ctsr 14617
This theorem is referenced by:  iocpnfordt  17271  icomnfordt  17272  iooordt  17273  pnfnei  17276  mnfnei  17277  xrtgioo  18829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-topgen 13659  df-ordt 13717  df-ps 14621  df-tsr 14622  df-top 16955  df-bases 16957
  Copyright terms: Public domain W3C validator