MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leordtval Unicode version

Theorem leordtval 16943
Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leordtval.1  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] 
+oo ) )
leordtval.2  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) )
leordtval.3  |-  C  =  ran  (,)
Assertion
Ref Expression
leordtval  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( ( A  u.  B )  u.  C
) )

Proof of Theorem leordtval
Dummy variables  a 
b  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 leordtval.1 . . 3  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] 
+oo ) )
2 leordtval.2 . . 3  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) )
31, 2leordtval2 16942 . 2  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
4 letsr 14349 . . . 4  |-  <_  e.  TosetRel
5 ledm 14346 . . . . 5  |-  RR*  =  dom  <_
61leordtvallem1 16940 . . . . 5  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  -.  y  <_  x } )
71, 2leordtvallem2 16941 . . . . 5  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  -.  x  <_  y } )
8 leordtval.3 . . . . . 6  |-  C  =  ran  (,)
9 df-ioo 10660 . . . . . . . 8  |-  (,)  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { y  e.  RR*  |  (
a  <  y  /\  y  <  b ) } )
10 xrltnle 8891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
a  <  y  <->  -.  y  <_  a ) )
1110adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  ( a  <  y  <->  -.  y  <_  a )
)
12 xrltnle 8891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
y  <  b  <->  -.  b  <_  y ) )
1312ancoms 439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y  <  b  <->  -.  b  <_  y ) )
1413adantll 694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  ( y  <  b  <->  -.  b  <_  y )
)
1511, 14anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  ( ( a  < 
y  /\  y  <  b )  <->  ( -.  y  <_  a  /\  -.  b  <_  y ) ) )
1615rabbidva 2779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  { y  e.  RR*  |  (
a  <  y  /\  y  <  b ) }  =  { y  e. 
RR*  |  ( -.  y  <_  a  /\  -.  b  <_  y ) } )
1716mpt2eq3ia 5913 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  RR* ,  b  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  ( a  <  y  /\  y  < 
b ) } )  =  ( a  e. 
RR* ,  b  e.  RR*  |->  { y  e.  RR*  |  ( -.  y  <_ 
a  /\  -.  b  <_  y ) } )
189, 17eqtri 2303 . . . . . . 7  |-  (,)  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { y  e.  RR*  |  ( -.  y  <_  a  /\  -.  b  <_  y ) } )
1918rneqi 4905 . . . . . 6  |-  ran  (,)  =  ran  ( a  e. 
RR* ,  b  e.  RR*  |->  { y  e.  RR*  |  ( -.  y  <_ 
a  /\  -.  b  <_  y ) } )
208, 19eqtri 2303 . . . . 5  |-  C  =  ran  ( a  e. 
RR* ,  b  e.  RR*  |->  { y  e.  RR*  |  ( -.  y  <_ 
a  /\  -.  b  <_  y ) } )
215, 6, 7, 20ordtbas2 16921 . . . 4  |-  (  <_  e. 
TosetRel  ->  ( fi `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( A  u.  B
)  u.  C ) )
224, 21ax-mp 8 . . 3  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  =  ( ( A  u.  B )  u.  C
)
2322fveq2i 5528 . 2  |-  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )  =  (
topGen `  ( ( A  u.  B )  u.  C ) )
243, 23eqtri 2303 1  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( ( A  u.  B )  u.  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547    u. cun 3150   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   ficfi 7164    +oocpnf 8864    -oocmnf 8865   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   (,)cioo 10656   (,]cioc 10657   [,)cico 10658   topGenctg 13342  ordTopcordt 13398    TosetRel ctsr 14302
This theorem is referenced by:  iocpnfordt  16945  icomnfordt  16946  iooordt  16947  pnfnei  16950  mnfnei  16951  xrtgioo  18312
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-topgen 13344  df-ordt 13402  df-ps 14306  df-tsr 14307  df-top 16636  df-bases 16638
  Copyright terms: Public domain W3C validator