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Theorem leordtval2 16958
Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leordtval.1  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] 
+oo ) )
leordtval.2  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) )
Assertion
Ref Expression
leordtval2  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )

Proof of Theorem leordtval2
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letsr 14365 . . 3  |-  <_  e.  TosetRel
2 ledm 14362 . . . 4  |-  RR*  =  dom  <_
3 leordtval.1 . . . . 5  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] 
+oo ) )
43leordtvallem1 16956 . . . 4  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  -.  y  <_  x } )
5 leordtval.2 . . . . 5  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) )
63, 5leordtvallem2 16957 . . . 4  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  -.  x  <_  y } )
72, 4, 6ordtval 16935 . . 3  |-  (  <_  e. 
TosetRel  ->  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) ) ) )
81, 7ax-mp 8 . 2  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B )
) ) )
9 snex 4232 . . . . 5  |-  { RR* }  e.  _V
10 xrex 10367 . . . . . . 7  |-  RR*  e.  _V
1110pwex 4209 . . . . . 6  |-  ~P RR*  e.  _V
12 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  =  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )
13 iocssxr 10749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x (,]  +oo )  C_  RR*
1410elpw2 4191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x (,]  +oo )  e.  ~P RR*  <->  ( x (,] 
+oo )  C_  RR* )
1513, 14mpbir 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x (,]  +oo )  e.  ~P RR*
1615a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x (,]  +oo )  e.  ~P RR* )
1712, 16fmpti 5699 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) ) :
RR* --> ~P RR*
18 frn 5411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) ) :
RR* --> ~P RR*  ->  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  C_  ~P RR* )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  C_  ~P RR*
203, 19eqsstri 3221 . . . . . . 7  |-  A  C_  ~P RR*
21 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) )  =  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) )
22 icossxr 10750 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  -oo [,) x )  C_  RR*
2310elpw2 4191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 
-oo [,) x )  e. 
~P RR*  <->  (  -oo [,) x )  C_  RR* )
2422, 23mpbir 200 . . . . . . . . . . 11  |-  (  -oo [,) x )  e.  ~P RR*
2524a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  ->  (  -oo [,) x )  e.  ~P RR* )
2621, 25fmpti 5699 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) :
RR* --> ~P RR*
27 frn 5411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) :
RR* --> ~P RR*  ->  ran  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) )  C_  ~P RR* )
2826, 27ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) )  C_  ~P RR*
295, 28eqsstri 3221 . . . . . . 7  |-  B  C_  ~P RR*
3020, 29unssi 3363 . . . . . 6  |-  ( A  u.  B )  C_  ~P RR*
3111, 30ssexi 4175 . . . . 5  |-  ( A  u.  B )  e. 
_V
329, 31unex 4534 . . . 4  |-  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
)  e.  _V
33 ssun2 3352 . . . 4  |-  ( A  u.  B )  C_  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) )
34 fiss 7193 . . . 4  |-  ( ( ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) )  e.  _V  /\  ( A  u.  B
)  C_  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) )  ->  ( fi `  ( A  u.  B
) )  C_  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) )
3532, 33, 34mp2an 653 . . 3  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  C_  ( fi `  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
) )
36 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )  e.  _V
37 ovex 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 (,]  +oo )  e.  _V
38 ovex 5899 . . . . . . . . . 10  |-  (  -oo [,) 1 )  e.  _V
3937, 38unipr 3857 . . . . . . . . 9  |-  U. {
( 0 (,]  +oo ) ,  (  -oo [,) 1 ) }  =  ( ( 0 (,] 
+oo )  u.  (  -oo [,) 1 ) )
40 iocssxr 10749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 (,]  +oo )  C_  RR*
41 icossxr 10750 . . . . . . . . . . 11  |-  (  -oo [,) 1 )  C_  RR*
4240, 41unssi 3363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 (,]  +oo )  u.  (  -oo [,) 1
) )  C_  RR*
43 mnfxr 10472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -oo  e.  RR*
44 0xr 8894 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR*
45 pnfxr 10471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  +oo  e.  RR*
46 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
47 mnflt 10480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  e.  RR  ->  -oo  <  0 )
4846, 47ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -oo  <  0
49 pnfge 10485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_  +oo )
5044, 49ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  +oo
51 df-icc 10679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
52 df-ioc 10677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <_  y ) } )
53 xrltnle 8907 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  (
0  <  w  <->  -.  w  <_  0 ) )
54 xrletr 10505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( (
w  <_  0  /\  0  <_  +oo )  ->  w  <_  +oo ) )
55 xrlttr 10490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
(  -oo  <  0  /\  0  <  w )  ->  -oo  <  w ) )
56 xrltle 10499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  (  -oo  <  w  ->  -oo  <_  w ) )
57563adant2 974 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (  -oo  <  w  ->  -oo  <_  w ) )
5855, 57syld 40 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
(  -oo  <  0  /\  0  <  w )  ->  -oo  <_  w ) )
5951, 52, 53, 51, 54, 58ixxun 10688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  /\  (  -oo  <  0  /\  0  <_  +oo ) )  -> 
( (  -oo [,] 0 )  u.  (
0 (,]  +oo ) )  =  (  -oo [,]  +oo ) )
6048, 50, 59mpanr12 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( (  -oo [,] 0 )  u.  ( 0 (,]  +oo ) )  =  ( 
-oo [,]  +oo ) )
6143, 44, 45, 60mp3an 1277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 
-oo [,] 0 )  u.  ( 0 (,]  +oo ) )  =  ( 
-oo [,]  +oo )
62 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
63 rexr 8893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  e.  RR* )
6462, 63ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR*
65 0lt1 9312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  1
66 df-ico 10678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
67 xrlelttr 10503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  1  e. 
RR* )  ->  (
( w  <_  0  /\  0  <  1
)  ->  w  <  1 ) )
6866, 51, 67ixxss2 10691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  0  <  1 )  ->  (  -oo [,] 0 )  C_  (  -oo [,) 1 ) )
6964, 65, 68mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  -oo [,] 0 )  C_  (  -oo [,) 1 )
70 unss1 3357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
-oo [,] 0 )  C_  (  -oo [,) 1 )  ->  ( (  -oo [,] 0 )  u.  (
0 (,]  +oo ) ) 
C_  ( (  -oo [,) 1 )  u.  (
0 (,]  +oo ) ) )
7169, 70ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 
-oo [,] 0 )  u.  ( 0 (,]  +oo ) )  C_  (
(  -oo [,) 1 )  u.  ( 0 (,] 
+oo ) )
7261, 71eqsstr3i 3222 . . . . . . . . . . 11  |-  (  -oo [,] 
+oo )  C_  (
(  -oo [,) 1 )  u.  ( 0 (,] 
+oo ) )
73 iccmax 10741 . . . . . . . . . . 11  |-  (  -oo [,] 
+oo )  =  RR*
74 uncom 3332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 
-oo [,) 1 )  u.  ( 0 (,]  +oo ) )  =  ( ( 0 (,]  +oo )  u.  (  -oo [,) 1 ) )
7572, 73, 743sstr3i 3229 . . . . . . . . . 10  |-  RR*  C_  (
( 0 (,]  +oo )  u.  (  -oo [,) 1 ) )
7642, 75eqssi 3208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0 (,]  +oo )  u.  (  -oo [,) 1
) )  =  RR*
7739, 76eqtri 2316 . . . . . . . 8  |-  U. {
( 0 (,]  +oo ) ,  (  -oo [,) 1 ) }  =  RR*
78 fvex 5555 . . . . . . . . 9  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  e. 
_V
79 ssun1 3351 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
80 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 (,]  +oo )  =  ( 0 (,]  +oo )
81 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  0  ->  (
x (,]  +oo )  =  ( 0 (,]  +oo ) )
8281eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  0  ->  (
( 0 (,]  +oo )  =  ( x (,]  +oo )  <->  ( 0 (,]  +oo )  =  ( 0 (,]  +oo )
) )
8382rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
0 (,]  +oo )  =  ( 0 (,]  +oo ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( 0 (,] 
+oo )  =  ( x (,]  +oo )
)
8444, 80, 83mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E. x  e.  RR*  ( 0 (,] 
+oo )  =  ( x (,]  +oo )
85 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x (,]  +oo )  e.  _V
8612, 85elrnmpti 4946 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0 (,]  +oo )  e.  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] 
+oo ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( 0 (,] 
+oo )  =  ( x (,]  +oo )
)
8784, 86mpbir 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,]  +oo )  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )
8887, 3eleqtrri 2369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,]  +oo )  e.  A
8979, 88sselii 3190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 (,]  +oo )  e.  ( A  u.  B )
90 ssun2 3352 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
91 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  -oo [,) 1 )  =  ( 
-oo [,) 1 )
92 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  1  ->  (  -oo [,) x )  =  (  -oo [,) 1
) )
9392eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  (
(  -oo [,) 1 )  =  (  -oo [,) x )  <->  (  -oo [,) 1 )  =  ( 
-oo [,) 1 ) ) )
9493rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  (  -oo [,) 1 )  =  (  -oo [,) 1
) )  ->  E. x  e.  RR*  (  -oo [,) 1 )  =  ( 
-oo [,) x ) )
9564, 91, 94mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E. x  e.  RR*  (  -oo [,) 1 )  =  ( 
-oo [,) x )
96 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  -oo [,) x )  e.  _V
9721, 96elrnmpti 4946 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 
-oo [,) 1 )  e. 
ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) )  <->  E. x  e.  RR*  (  -oo [,) 1 )  =  ( 
-oo [,) x ) )
9895, 97mpbir 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  -oo [,) 1 )  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) )
9998, 5eleqtrri 2369 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  -oo [,) 1 )  e.  B
10090, 99sselii 3190 . . . . . . . . . . 11  |-  (  -oo [,) 1 )  e.  ( A  u.  B )
101 prssi 3787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0 (,]  +oo )  e.  ( A  u.  B )  /\  (  -oo [,) 1 )  e.  ( A  u.  B
) )  ->  { ( 0 (,]  +oo ) ,  (  -oo [,) 1
) }  C_  ( A  u.  B )
)
10289, 100, 101mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  { ( 0 (,]  +oo ) ,  (  -oo [,) 1
) }  C_  ( A  u.  B )
103 ssfii 7188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  ( A  u.  B )  C_  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
10431, 103ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  u.  B )  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) )
105102, 104sstri 3201 . . . . . . . . 9  |-  { ( 0 (,]  +oo ) ,  (  -oo [,) 1
) }  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) )
106 eltg3i 16715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( fi `  ( A  u.  B )
)  e.  _V  /\  { ( 0 (,]  +oo ) ,  (  -oo [,) 1 ) }  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )  ->  U. { ( 0 (,]  +oo ) ,  (  -oo [,) 1
) }  e.  (
topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
10778, 105, 106mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  U. {
( 0 (,]  +oo ) ,  (  -oo [,) 1 ) }  e.  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
10877, 107eqeltrri 2367 . . . . . . 7  |-  RR*  e.  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
109 snssi 3775 . . . . . . 7  |-  ( RR*  e.  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )  ->  { RR* }  C_  ( topGen `
 ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
110108, 109ax-mp 8 . . . . . 6  |-  { RR* } 
C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
111 bastg 16720 . . . . . . . 8  |-  ( ( fi `  ( A  u.  B ) )  e.  _V  ->  ( fi `  ( A  u.  B ) )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
11278, 111ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
113104, 112sstri 3201 . . . . . 6  |-  ( A  u.  B )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
114110, 113unssi 3363 . . . . 5  |-  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
)  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
115 fiss 7193 . . . . 5  |-  ( ( ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )  e. 
_V  /\  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) 
C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) )  C_  ( fi `  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) ) ) )
11636, 114, 115mp2an 653 . . . 4  |-  ( fi
`  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) 
C_  ( fi `  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
117 fibas 16731 . . . . 5  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  e.  TopBases
118 tgcl 16723 . . . . 5  |-  ( ( fi `  ( A  u.  B ) )  e.  TopBases  ->  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )  e.  Top )
119 fitop 16662 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )  e. 
Top  ->  ( fi `  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )
120117, 118, 119mp2b 9 . . . 4  |-  ( fi
`  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
121116, 120sseqtri 3223 . . 3  |-  ( fi
`  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) 
C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
122 2basgen 16744 . . 3  |-  ( ( ( fi `  ( A  u.  B )
)  C_  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) )  /\  ( fi `  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
) )  C_  ( topGen `
 ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )  ->  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) ) )
12335, 121, 122mp2an 653 . 2  |-  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) ) )
1248, 123eqtr4i 2319 1  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    u. cun 3163    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   {csn 3653   {cpr 3654   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ran crn 4706   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ficfi 7180   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    +oocpnf 8880    -oocmnf 8881   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884   (,]cioc 10673   [,)cico 10674   [,]cicc 10675   topGenctg 13358  ordTopcordt 13414    TosetRel ctsr 14318   Topctop 16647   TopBasesctb 16651
This theorem is referenced by:  leordtval  16959  lecldbas  16965
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-topgen 13360  df-ordt 13418  df-ps 14322  df-tsr 14323  df-top 16652  df-bases 16654
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