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Theorem leordtval2 17277
Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leordtval.1  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] 
+oo ) )
leordtval.2  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) )
Assertion
Ref Expression
leordtval2  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )

Proof of Theorem leordtval2
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letsr 14673 . . 3  |-  <_  e.  TosetRel
2 ledm 14670 . . . 4  |-  RR*  =  dom  <_
3 leordtval.1 . . . . 5  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] 
+oo ) )
43leordtvallem1 17275 . . . 4  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  -.  y  <_  x } )
5 leordtval.2 . . . . 5  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) )
63, 5leordtvallem2 17276 . . . 4  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  -.  x  <_  y } )
72, 4, 6ordtval 17254 . . 3  |-  (  <_  e. 
TosetRel  ->  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) ) ) )
81, 7ax-mp 8 . 2  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B )
) ) )
9 snex 4406 . . . . 5  |-  { RR* }  e.  _V
10 xrex 10610 . . . . . . 7  |-  RR*  e.  _V
1110pwex 4383 . . . . . 6  |-  ~P RR*  e.  _V
12 eqid 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  =  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )
13 iocssxr 10995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x (,]  +oo )  C_  RR*
1410elpw2 4365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x (,]  +oo )  e.  ~P RR*  <->  ( x (,] 
+oo )  C_  RR* )
1513, 14mpbir 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x (,]  +oo )  e.  ~P RR*
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x (,]  +oo )  e.  ~P RR* )
1712, 16fmpti 5893 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) ) :
RR* --> ~P RR*
18 frn 5598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) ) :
RR* --> ~P RR*  ->  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  C_  ~P RR* )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  C_  ~P RR*
203, 19eqsstri 3379 . . . . . . 7  |-  A  C_  ~P RR*
21 eqid 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) )  =  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) )
22 icossxr 10996 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  -oo [,) x )  C_  RR*
2310elpw2 4365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 
-oo [,) x )  e. 
~P RR*  <->  (  -oo [,) x )  C_  RR* )
2422, 23mpbir 202 . . . . . . . . . . 11  |-  (  -oo [,) x )  e.  ~P RR*
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  ->  (  -oo [,) x )  e.  ~P RR* )
2621, 25fmpti 5893 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) :
RR* --> ~P RR*
27 frn 5598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) :
RR* --> ~P RR*  ->  ran  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) )  C_  ~P RR* )
2826, 27ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) )  C_  ~P RR*
295, 28eqsstri 3379 . . . . . . 7  |-  B  C_  ~P RR*
3020, 29unssi 3523 . . . . . 6  |-  ( A  u.  B )  C_  ~P RR*
3111, 30ssexi 4349 . . . . 5  |-  ( A  u.  B )  e. 
_V
329, 31unex 4708 . . . 4  |-  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
)  e.  _V
33 ssun2 3512 . . . 4  |-  ( A  u.  B )  C_  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) )
34 fiss 7430 . . . 4  |-  ( ( ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) )  e.  _V  /\  ( A  u.  B
)  C_  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) )  ->  ( fi `  ( A  u.  B
) )  C_  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) )
3532, 33, 34mp2an 655 . . 3  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  C_  ( fi `  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
) )
36 fvex 5743 . . . . 5  |-  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )  e.  _V
37 ovex 6107 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 (,]  +oo )  e.  _V
38 ovex 6107 . . . . . . . . . 10  |-  (  -oo [,) 1 )  e.  _V
3937, 38unipr 4030 . . . . . . . . 9  |-  U. {
( 0 (,]  +oo ) ,  (  -oo [,) 1 ) }  =  ( ( 0 (,] 
+oo )  u.  (  -oo [,) 1 ) )
40 iocssxr 10995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 (,]  +oo )  C_  RR*
41 icossxr 10996 . . . . . . . . . . 11  |-  (  -oo [,) 1 )  C_  RR*
4240, 41unssi 3523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 (,]  +oo )  u.  (  -oo [,) 1
) )  C_  RR*
43 mnfxr 10715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -oo  e.  RR*
44 0xr 9132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR*
45 pnfxr 10714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  +oo  e.  RR*
46 0re 9092 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
47 mnflt 10723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  e.  RR  ->  -oo  <  0 )
4846, 47ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -oo  <  0
49 pnfge 10728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_  +oo )
5044, 49ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  +oo
51 df-icc 10924 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
52 df-ioc 10922 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <_  y ) } )
53 xrltnle 9145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  (
0  <  w  <->  -.  w  <_  0 ) )
54 xrletr 10749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( (
w  <_  0  /\  0  <_  +oo )  ->  w  <_  +oo ) )
55 xrlttr 10734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
(  -oo  <  0  /\  0  <  w )  ->  -oo  <  w ) )
56 xrltle 10743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  (  -oo  <  w  ->  -oo  <_  w ) )
57563adant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (  -oo  <  w  ->  -oo  <_  w ) )
5855, 57syld 43 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
(  -oo  <  0  /\  0  <  w )  ->  -oo  <_  w ) )
5951, 52, 53, 51, 54, 58ixxun 10933 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  /\  (  -oo  <  0  /\  0  <_  +oo ) )  -> 
( (  -oo [,] 0 )  u.  (
0 (,]  +oo ) )  =  (  -oo [,]  +oo ) )
6048, 50, 59mpanr12 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( (  -oo [,] 0 )  u.  ( 0 (,]  +oo ) )  =  ( 
-oo [,]  +oo ) )
6143, 44, 45, 60mp3an 1280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 
-oo [,] 0 )  u.  ( 0 (,]  +oo ) )  =  ( 
-oo [,]  +oo )
62 1re 9091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
6362rexri 9138 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR*
64 0lt1 9551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  1
65 df-ico 10923 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
66 xrlelttr 10747 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  1  e. 
RR* )  ->  (
( w  <_  0  /\  0  <  1
)  ->  w  <  1 ) )
6765, 51, 66ixxss2 10936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  0  <  1 )  ->  (  -oo [,] 0 )  C_  (  -oo [,) 1 ) )
6863, 64, 67mp2an 655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  -oo [,] 0 )  C_  (  -oo [,) 1 )
69 unss1 3517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
-oo [,] 0 )  C_  (  -oo [,) 1 )  ->  ( (  -oo [,] 0 )  u.  (
0 (,]  +oo ) ) 
C_  ( (  -oo [,) 1 )  u.  (
0 (,]  +oo ) ) )
7068, 69ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 
-oo [,] 0 )  u.  ( 0 (,]  +oo ) )  C_  (
(  -oo [,) 1 )  u.  ( 0 (,] 
+oo ) )
7161, 70eqsstr3i 3380 . . . . . . . . . . 11  |-  (  -oo [,] 
+oo )  C_  (
(  -oo [,) 1 )  u.  ( 0 (,] 
+oo ) )
72 iccmax 10987 . . . . . . . . . . 11  |-  (  -oo [,] 
+oo )  =  RR*
73 uncom 3492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 
-oo [,) 1 )  u.  ( 0 (,]  +oo ) )  =  ( ( 0 (,]  +oo )  u.  (  -oo [,) 1 ) )
7471, 72, 733sstr3i 3387 . . . . . . . . . 10  |-  RR*  C_  (
( 0 (,]  +oo )  u.  (  -oo [,) 1 ) )
7542, 74eqssi 3365 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0 (,]  +oo )  u.  (  -oo [,) 1
) )  =  RR*
7639, 75eqtri 2457 . . . . . . . 8  |-  U. {
( 0 (,]  +oo ) ,  (  -oo [,) 1 ) }  =  RR*
77 fvex 5743 . . . . . . . . 9  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  e. 
_V
78 ssun1 3511 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
79 eqid 2437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 (,]  +oo )  =  ( 0 (,]  +oo )
80 oveq1 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  0  ->  (
x (,]  +oo )  =  ( 0 (,]  +oo ) )
8180eqeq2d 2448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  0  ->  (
( 0 (,]  +oo )  =  ( x (,]  +oo )  <->  ( 0 (,]  +oo )  =  ( 0 (,]  +oo )
) )
8281rspcev 3053 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
0 (,]  +oo )  =  ( 0 (,]  +oo ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( 0 (,] 
+oo )  =  ( x (,]  +oo )
)
8344, 79, 82mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E. x  e.  RR*  ( 0 (,] 
+oo )  =  ( x (,]  +oo )
84 ovex 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x (,]  +oo )  e.  _V
8512, 84elrnmpti 5122 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0 (,]  +oo )  e.  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] 
+oo ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( 0 (,] 
+oo )  =  ( x (,]  +oo )
)
8683, 85mpbir 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,]  +oo )  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )
8786, 3eleqtrri 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,]  +oo )  e.  A
8878, 87sselii 3346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 (,]  +oo )  e.  ( A  u.  B )
89 ssun2 3512 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
90 eqid 2437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  -oo [,) 1 )  =  ( 
-oo [,) 1 )
91 oveq2 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  1  ->  (  -oo [,) x )  =  (  -oo [,) 1
) )
9291eqeq2d 2448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  (
(  -oo [,) 1 )  =  (  -oo [,) x )  <->  (  -oo [,) 1 )  =  ( 
-oo [,) 1 ) ) )
9392rspcev 3053 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  (  -oo [,) 1 )  =  (  -oo [,) 1
) )  ->  E. x  e.  RR*  (  -oo [,) 1 )  =  ( 
-oo [,) x ) )
9463, 90, 93mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E. x  e.  RR*  (  -oo [,) 1 )  =  ( 
-oo [,) x )
95 ovex 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  -oo [,) x )  e.  _V
9621, 95elrnmpti 5122 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 
-oo [,) 1 )  e. 
ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) )  <->  E. x  e.  RR*  (  -oo [,) 1 )  =  ( 
-oo [,) x ) )
9794, 96mpbir 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  -oo [,) 1 )  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) )
9897, 5eleqtrri 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  -oo [,) 1 )  e.  B
9989, 98sselii 3346 . . . . . . . . . . 11  |-  (  -oo [,) 1 )  e.  ( A  u.  B )
100 prssi 3955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0 (,]  +oo )  e.  ( A  u.  B )  /\  (  -oo [,) 1 )  e.  ( A  u.  B
) )  ->  { ( 0 (,]  +oo ) ,  (  -oo [,) 1
) }  C_  ( A  u.  B )
)
10188, 99, 100mp2an 655 . . . . . . . . . 10  |-  { ( 0 (,]  +oo ) ,  (  -oo [,) 1
) }  C_  ( A  u.  B )
102 ssfii 7425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  ( A  u.  B )  C_  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
10331, 102ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  u.  B )  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) )
104101, 103sstri 3358 . . . . . . . . 9  |-  { ( 0 (,]  +oo ) ,  (  -oo [,) 1
) }  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) )
105 eltg3i 17027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( fi `  ( A  u.  B )
)  e.  _V  /\  { ( 0 (,]  +oo ) ,  (  -oo [,) 1 ) }  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )  ->  U. { ( 0 (,]  +oo ) ,  (  -oo [,) 1
) }  e.  (
topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
10677, 104, 105mp2an 655 . . . . . . . 8  |-  U. {
( 0 (,]  +oo ) ,  (  -oo [,) 1 ) }  e.  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
10776, 106eqeltrri 2508 . . . . . . 7  |-  RR*  e.  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
108 snssi 3943 . . . . . . 7  |-  ( RR*  e.  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )  ->  { RR* }  C_  ( topGen `
 ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
109107, 108ax-mp 8 . . . . . 6  |-  { RR* } 
C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
110 bastg 17032 . . . . . . . 8  |-  ( ( fi `  ( A  u.  B ) )  e.  _V  ->  ( fi `  ( A  u.  B ) )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
11177, 110ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
112103, 111sstri 3358 . . . . . 6  |-  ( A  u.  B )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
113109, 112unssi 3523 . . . . 5  |-  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
)  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
114 fiss 7430 . . . . 5  |-  ( ( ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )  e. 
_V  /\  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) 
C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) )  C_  ( fi `  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) ) ) )
11536, 113, 114mp2an 655 . . . 4  |-  ( fi
`  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) 
C_  ( fi `  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
116 fibas 17043 . . . . 5  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  e.  TopBases
117 tgcl 17035 . . . . 5  |-  ( ( fi `  ( A  u.  B ) )  e.  TopBases  ->  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )  e.  Top )
118 fitop 16974 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )  e. 
Top  ->  ( fi `  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )
119116, 117, 118mp2b 10 . . . 4  |-  ( fi
`  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
120115, 119sseqtri 3381 . . 3  |-  ( fi
`  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) 
C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
121 2basgen 17056 . . 3  |-  ( ( ( fi `  ( A  u.  B )
)  C_  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) )  /\  ( fi `  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
) )  C_  ( topGen `
 ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )  ->  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) ) )
12235, 120, 121mp2an 655 . 2  |-  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) ) )
1238, 122eqtr4i 2460 1  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2707   _Vcvv 2957    u. cun 3319    C_ wss 3321   ~Pcpw 3800   {csn 3815   {cpr 3816   U.cuni 4016   class class class wbr 4213    e. cmpt 4267   ran crn 4880   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   ficfi 7416   RRcr 8990   0cc0 8991   1c1 8992    +oocpnf 9118    -oocmnf 9119   RR*cxr 9120    < clt 9121    <_ cle 9122   (,]cioc 10918   [,)cico 10919   [,]cicc 10920   topGenctg 13666  ordTopcordt 13722    TosetRel ctsr 14626   Topctop 16959   TopBasesctb 16963
This theorem is referenced by:  leordtval  17278  lecldbas  17284
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-ioc 10922  df-ico 10923  df-icc 10924  df-topgen 13668  df-ordt 13726  df-ps 14630  df-tsr 14631  df-top 16964  df-bases 16966
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