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Theorem leordtvallem2 17275
Description: Lemma for leordtval 17277. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leordtval.1  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] 
+oo ) )
leordtval.2  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) )
Assertion
Ref Expression
leordtvallem2  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  -.  x  <_  y } )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)

Proof of Theorem leordtvallem2
StepHypRef Expression
1 leordtval.2 . 2  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) )
2 icossxr 10995 . . . . . 6  |-  (  -oo [,) x )  C_  RR*
3 dfss1 3545 . . . . . 6  |-  ( ( 
-oo [,) x )  C_  RR*  <->  (
RR*  i^i  (  -oo [,) x ) )  =  (  -oo [,) x
) )
42, 3mpbi 200 . . . . 5  |-  ( RR*  i^i  (  -oo [,) x
) )  =  ( 
-oo [,) x )
5 mnfxr 10714 . . . . . . . 8  |-  -oo  e.  RR*
6 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  x  e.  RR* )
7 elico1 10959 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
y  e.  (  -oo [,) x )  <->  ( y  e.  RR*  /\  -oo  <_  y  /\  y  <  x
) ) )
85, 6, 7sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y  e.  (  -oo [,) x )  <->  ( y  e.  RR*  /\  -oo  <_  y  /\  y  <  x
) ) )
9 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  y  e.  RR* )
10 mnfle 10729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  -oo  <_  y )
1110adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  -oo  <_  y )
129, 11jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y  e.  RR*  /\  -oo  <_  y ) )
1312biantrurd 495 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y  <  x  <->  ( (
y  e.  RR*  /\  -oo  <_  y )  /\  y  <  x ) ) )
14 df-3an 938 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  -oo  <_  y  /\  y  < 
x )  <->  ( (
y  e.  RR*  /\  -oo  <_  y )  /\  y  <  x ) )
1513, 14syl6bbr 255 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y  <  x  <->  ( y  e.  RR*  /\  -oo  <_  y  /\  y  <  x
) ) )
16 xrltnle 9144 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
y  <  x  <->  -.  x  <_  y ) )
1716ancoms 440 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y  <  x  <->  -.  x  <_  y ) )
188, 15, 173bitr2d 273 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y  e.  (  -oo [,) x )  <->  -.  x  <_  y ) )
1918rabbi2dva 3549 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( RR*  i^i  (  -oo [,) x
) )  =  {
y  e.  RR*  |  -.  x  <_  y } )
204, 19syl5eqr 2482 . . . 4  |-  ( x  e.  RR*  ->  (  -oo [,) x )  =  {
y  e.  RR*  |  -.  x  <_  y } )
2120mpteq2ia 4291 . . 3  |-  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) )  =  ( x  e.  RR*  |->  { y  e.  RR*  |  -.  x  <_  y } )
2221rneqi 5096 . 2  |-  ran  (
x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) )  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  -.  x  <_  y } )
231, 22eqtri 2456 1  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  -.  x  <_  y } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709    i^i cin 3319    C_ wss 3320   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   ran crn 4879  (class class class)co 6081    +oocpnf 9117    -oocmnf 9118   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121   (,]cioc 10917   [,)cico 10918
This theorem is referenced by:  leordtval2  17276  leordtval  17277
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-ico 10922
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