MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lesub0 Structured version   Unicode version

Theorem lesub0 9546
Description: Lemma to show a nonnegative number is zero. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
lesub0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_  A  /\  B  <_  ( B  -  A )
)  <->  A  =  0
) )

Proof of Theorem lesub0
StepHypRef Expression
1 0re 9093 . . . 4  |-  0  e.  RR
21a1i 11 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  0  e.  RR )
3 letri3 9162 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A  =  0  <-> 
( A  <_  0  /\  0  <_  A ) ) )
42, 3sylan2 462 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  0  <-> 
( A  <_  0  /\  0  <_  A ) ) )
5 ancom 439 . . 3  |-  ( ( A  <_  0  /\  0  <_  A )  <->  ( 0  <_  A  /\  A  <_  0 ) )
6 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
71a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
8 simpl 445 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
9 lesub2 9525 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  0  <->  ( B  -  0 )  <_ 
( B  -  A
) ) )
106, 7, 8, 9syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  <_  0  <->  ( B  -  0 )  <_  ( B  -  A ) ) )
118recnd 9116 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  B  e.  CC )
1211subid1d 9402 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  -  0 )  =  B )
1312breq1d 4224 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B  - 
0 )  <_  ( B  -  A )  <->  B  <_  ( B  -  A ) ) )
1410, 13bitrd 246 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  <_  0  <->  B  <_  ( B  -  A ) ) )
1514ancoms 441 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  0  <->  B  <_  ( B  -  A ) ) )
1615anbi2d 686 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <_  0
)  <->  ( 0  <_  A  /\  B  <_  ( B  -  A )
) ) )
175, 16syl5bb 250 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <_ 
0  /\  0  <_  A )  <->  ( 0  <_  A  /\  B  <_  ( B  -  A )
) ) )
184, 17bitr2d 247 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_  A  /\  B  <_  ( B  -  A )
)  <->  A  =  0
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4214  (class class class)co 6083   RRcr 8991   0cc0 8992    <_ cle 9123    - cmin 9293
This theorem is referenced by:  lesub0i  9577
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296
  Copyright terms: Public domain W3C validator