MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lesub1dd Structured version   Unicode version

Theorem lesub1dd 9635
Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltadd1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
leadd1dd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Assertion
Ref Expression
lesub1dd  |-  ( ph  ->  ( A  -  C
)  <_  ( B  -  C ) )

Proof of Theorem lesub1dd
StepHypRef Expression
1 leadd1dd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 leidd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltnegd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ltadd1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
52, 3, 4lesub1d 9626 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  -  C )  <_  ( B  -  C ) ) )
61, 5mpbid 202 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  C
)  <_  ( B  -  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   class class class wbr 4205  (class class class)co 6074   RRcr 8982    <_ cle 9114    - cmin 9284
This theorem is referenced by:  modmulnn  11258  rlimrege0  12366  climsqz2  12428  rlimsqz2  12437  isercolllem1  12451  caucvgrlem  12459  climcndslem1  12622  bitsinv1lem  12946  hashdvds  13157  4sqlem6  13304  dvfsumlem2  19904  dvfsumlem4  19906  dvfsum2  19911  isosctrlem1  20655  basellem9  20864  ppiub  20981  chtub  20989  logfaclbnd  20999  bposlem1  21061  bposlem6  21066  selberg2lem  21237  pntpbnd2  21274  pntlemo  21294  lgamgulmlem2  24807  axpaschlem  25872  axcontlem8  25903  itg2addnclem3  26249  iccbnd  26541  icodiamlt  26875  jm2.24nn  27016  fzmaxdif  27038  climinf  27700  stoweidlem13  27730  stoweidlem26  27743  stoweidlem34  27751
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-op 3816  df-uni 4009  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-riota 6542  df-er 6898  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287
  Copyright terms: Public domain W3C validator