MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lesub1dd Unicode version

Theorem lesub1dd 9568
Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltadd1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
leadd1dd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Assertion
Ref Expression
lesub1dd  |-  ( ph  ->  ( A  -  C
)  <_  ( B  -  C ) )

Proof of Theorem lesub1dd
StepHypRef Expression
1 leadd1dd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 leidd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltnegd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ltadd1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
52, 3, 4lesub1d 9559 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  -  C )  <_  ( B  -  C ) ) )
61, 5mpbid 202 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  C
)  <_  ( B  -  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717   class class class wbr 4147  (class class class)co 6014   RRcr 8916    <_ cle 9048    - cmin 9217
This theorem is referenced by:  modmulnn  11186  rlimrege0  12294  climsqz2  12356  rlimsqz2  12365  isercolllem1  12379  caucvgrlem  12387  climcndslem1  12550  bitsinv1lem  12874  hashdvds  13085  4sqlem6  13232  dvfsumlem2  19772  dvfsumlem4  19774  dvfsum2  19779  isosctrlem1  20523  basellem9  20732  ppiub  20849  chtub  20857  logfaclbnd  20867  bposlem1  20929  bposlem6  20934  selberg2lem  21105  pntpbnd2  21142  pntlemo  21162  lgamgulmlem2  24587  axpaschlem  25587  axcontlem8  25618  itg2addnc  25953  iccbnd  26234  icodiamlt  26568  jm2.24nn  26709  fzmaxdif  26731  climinf  27394  stoweidlem13  27424  stoweidlem26  27437  stoweidlem34  27445
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362  ax-sep 4265  ax-nul 4273  ax-pow 4312  ax-pr 4338  ax-un 4635  ax-resscn 8974  ax-1cn 8975  ax-icn 8976  ax-addcl 8977  ax-addrcl 8978  ax-mulcl 8979  ax-mulrcl 8980  ax-mulcom 8981  ax-addass 8982  ax-mulass 8983  ax-distr 8984  ax-i2m1 8985  ax-1ne0 8986  ax-1rid 8987  ax-rnegex 8988  ax-rrecex 8989  ax-cnre 8990  ax-pre-lttri 8991  ax-pre-lttrn 8992  ax-pre-ltadd 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ne 2546  df-nel 2547  df-ral 2648  df-rex 2649  df-reu 2650  df-rab 2652  df-v 2895  df-sbc 3099  df-csb 3189  df-dif 3260  df-un 3262  df-in 3264  df-ss 3271  df-nul 3566  df-if 3677  df-pw 3738  df-sn 3757  df-pr 3758  df-op 3760  df-uni 3952  df-br 4148  df-opab 4202  df-mpt 4203  df-id 4433  df-po 4438  df-so 4439  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5352  df-fun 5390  df-fn 5391  df-f 5392  df-f1 5393  df-fo 5394  df-f1o 5395  df-fv 5396  df-ov 6017  df-oprab 6018  df-mpt2 6019  df-riota 6479  df-er 6835  df-en 7040  df-dom 7041  df-sdom 7042  df-pnf 9049  df-mnf 9050  df-xr 9051  df-ltxr 9052  df-le 9053  df-sub 9219  df-neg 9220
  Copyright terms: Public domain W3C validator