MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lesubadd Unicode version

Theorem lesubadd 9262
Description: 'Less than or equal to' relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
lesubadd  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  -  B
)  <_  C  <->  A  <_  ( C  +  B ) ) )

Proof of Theorem lesubadd
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
2 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
31, 2resubcld 9227 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  -  B )  e.  RR )
4 simp3 957 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  C  e.  RR )
5 leadd1 9258 . . 3  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( A  -  B
)  <_  C  <->  ( ( A  -  B )  +  B )  <_  ( C  +  B )
) )
63, 4, 2, 5syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  -  B
)  <_  C  <->  ( ( A  -  B )  +  B )  <_  ( C  +  B )
) )
71recnd 8877 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
82recnd 8877 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  B  e.  CC )
97, 8npcand 9177 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  -  B
)  +  B )  =  A )
109breq1d 4049 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( ( A  -  B )  +  B
)  <_  ( C  +  B )  <->  A  <_  ( C  +  B ) ) )
116, 10bitrd 244 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  -  B
)  <_  C  <->  A  <_  ( C  +  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    e. wcel 1696   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   RRcr 8752    + caddc 8756    <_ cle 8884    - cmin 9053
This theorem is referenced by:  lesubadd2  9263  ltaddsub  9264  suble  9268  lesub1  9284  lesub2  9285  subge02  9305  lesubaddi  9347  lesubaddd  9385  fzen  10827  seqf1olem1  11101  abs2dif  11832  iihalf2  18447
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056
  Copyright terms: Public domain W3C validator