MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letr Unicode version

Theorem letr 8930
Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)
Assertion
Ref Expression
letr  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )

Proof of Theorem letr
StepHypRef Expression
1 leloe 8924 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C )
) )
213adant1 973 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C ) ) )
32adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  <_  C 
<->  ( B  <  C  \/  B  =  C
) ) )
4 lelttr 8928 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
5 ltle 8926 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  C  ->  A  <_  C )
)
653adant2 974 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  C  ->  A  <_  C ) )
74, 6syld 40 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <_  C
) )
87expdimp 426 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  < 
C  ->  A  <_  C ) )
9 breq2 4043 . . . . . 6  |-  ( B  =  C  ->  ( A  <_  B  <->  A  <_  C ) )
109biimpcd 215 . . . . 5  |-  ( A  <_  B  ->  ( B  =  C  ->  A  <_  C ) )
1110adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  =  C  ->  A  <_  C ) )
128, 11jaod 369 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( ( B  <  C  \/  B  =  C )  ->  A  <_  C ) )
133, 12sylbid 206 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  <_  C  ->  A  <_  C
) )
1413expimpd 586 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   RRcr 8752    < clt 8883    <_ cle 8884
This theorem is referenced by:  letri  8964  letrd  8989  le2add  9272  le2sub  9289  p1le  9615  lemul12b  9629  lemul12a  9630  peano2uz2  10115  uztrn  10260  uzss  10264  flge  10953  monoord  11092  leexp2r  11175  expubnd  11178  le2sq2  11195  facwordi  11318  faclbnd3  11321  facavg  11330  sqrlem1  11744  sqrlem6  11749  sqrlem7  11750  leabs  11800  limsupbnd2  11973  rlim3  11988  lo1bdd2  12014  lo1bddrp  12015  o1lo1  12027  lo1mul  12117  lo1le  12141  isercolllem2  12155  iseraltlem2  12171  fsumabs  12275  cvgrat  12355  ruclem9  12532  algcvga  12765  prmfac1  12813  eulerthlem2  12866  prmreclem1  12979  prmreclem4  12982  4sqlem11  13018  vdwnnlem3  13060  gsumbagdiaglem  16137  zntoslem  16526  cnllycmp  18470  evth  18473  ovoliunlem2  18878  ovolicc2lem3  18894  itg2monolem1  19121  coeaddlem  19646  coemullem  19647  aalioulem5  19732  aalioulem6  19733  sincosq1lem  19881  emcllem6  20310  ftalem3  20328  fsumvma2  20469  chpchtsum  20474  bcmono  20532  bposlem5  20543  lgsquadlem1  20609  dchrisum0lem1  20681  pntrsumbnd2  20732  pntleml  20776  nmoub3i  21367  ubthlem1  21465  ubthlem2  21466  nmopub2tALT  22505  nmfnleub2  22522  lnconi  22629  leoptr  22733  pjnmopi  22744  cdj3lem2b  23033  orvclteinc  23691  eupath2  23919  brbtwn2  24605  axlowdimlem17  24658  axlowdim  24661  ltflcei  24998  lxflflp1  25000  itg2addnclem2  25004  itg2addnc  25005  bddiblnc  25021  incsequz  26561  mettrifi  26576  equivbnd  26617  bfplem1  26649  jm2.17b  27151  fmul01  27813  fmul01lt1lem1  27817  fmul01lt1lem2  27818  stoweidlem1  27853  stoweidlem3  27855  stoweidlem5  27857  stoweidlem11  27863  stoweidlem17  27869  stoweidlem20  27872  stoweidlem26  27878  stoweidlem34  27886  wallispilem3  27919  wallispilem4  27920
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889
  Copyright terms: Public domain W3C validator