MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letr Structured version   Unicode version

Theorem letr 9167
Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)
Assertion
Ref Expression
letr  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )

Proof of Theorem letr
StepHypRef Expression
1 leloe 9161 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C )
) )
213adant1 975 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C ) ) )
32adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  <_  C 
<->  ( B  <  C  \/  B  =  C
) ) )
4 lelttr 9165 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
5 ltle 9163 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  C  ->  A  <_  C )
)
653adant2 976 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  C  ->  A  <_  C ) )
74, 6syld 42 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <_  C
) )
87expdimp 427 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  < 
C  ->  A  <_  C ) )
9 breq2 4216 . . . . . 6  |-  ( B  =  C  ->  ( A  <_  B  <->  A  <_  C ) )
109biimpcd 216 . . . . 5  |-  ( A  <_  B  ->  ( B  =  C  ->  A  <_  C ) )
1110adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  =  C  ->  A  <_  C ) )
128, 11jaod 370 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( ( B  <  C  \/  B  =  C )  ->  A  <_  C ) )
133, 12sylbid 207 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  <_  C  ->  A  <_  C
) )
1413expimpd 587 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4212   RRcr 8989    < clt 9120    <_ cle 9121
This theorem is referenced by:  letri  9202  letrd  9227  le2add  9510  le2sub  9527  p1le  9853  lemul12b  9867  lemul12a  9868  peano2uz2  10357  uztrn  10502  uzss  10506  flge  11214  monoord  11353  leexp2r  11437  expubnd  11440  le2sq2  11457  facwordi  11580  faclbnd3  11583  facavg  11592  brfi1uzind  11715  sqrlem1  12048  sqrlem6  12053  sqrlem7  12054  leabs  12104  limsupbnd2  12277  rlim3  12292  lo1bdd2  12318  lo1bddrp  12319  o1lo1  12331  lo1mul  12421  lo1le  12445  isercolllem2  12459  iseraltlem2  12476  fsumabs  12580  cvgrat  12660  ruclem9  12837  algcvga  13070  prmfac1  13118  eulerthlem2  13171  prmreclem1  13284  prmreclem4  13287  4sqlem11  13323  vdwnnlem3  13365  gsumbagdiaglem  16440  zntoslem  16837  cnllycmp  18981  evth  18984  ovoliunlem2  19399  ovolicc2lem3  19415  itg2monolem1  19642  coeaddlem  20167  coemullem  20168  aalioulem5  20253  aalioulem6  20254  sincosq1lem  20405  emcllem6  20839  ftalem3  20857  fsumvma2  20998  chpchtsum  21003  bcmono  21061  bposlem5  21072  lgsquadlem1  21138  dchrisum0lem1  21210  pntrsumbnd2  21261  pntleml  21305  eupath2  21702  nmoub3i  22274  ubthlem1  22372  ubthlem2  22373  nmopub2tALT  23412  nmfnleub2  23429  lnconi  23536  leoptr  23640  pjnmopi  23651  cdj3lem2b  23940  brbtwn2  25844  axlowdimlem17  25897  axlowdim  25900  ltflcei  26239  lxflflp1  26241  itg2addnclem2  26257  itg2addnclem3  26258  itg2addnc  26259  bddiblnc  26275  incsequz  26452  mettrifi  26463  equivbnd  26499  bfplem1  26531  jm2.17b  27026  fmul01lt1lem2  27691  uzletr  28103  elfz2z  28105  elfzmlbm  28106  elfzmlbp  28107  zletr  28108  elfz0fzfz0  28114  fz0fzelfz0  28118  fz0fzdiffz0  28119  swrdvalodmlem1  28187  swrd0swrd  28197  swrdswrdlem  28198  swrdccat  28216  modprm0  28228  2cshw1lem1  28248  2cshw1lem2  28249  cshweqdif2s  28271
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126
  Copyright terms: Public domain W3C validator