MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letr Unicode version

Theorem letr 8914
Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)
Assertion
Ref Expression
letr  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )

Proof of Theorem letr
StepHypRef Expression
1 leloe 8908 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C )
) )
213adant1 973 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C ) ) )
32adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  <_  C 
<->  ( B  <  C  \/  B  =  C
) ) )
4 lelttr 8912 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
5 ltle 8910 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  C  ->  A  <_  C )
)
653adant2 974 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  C  ->  A  <_  C ) )
74, 6syld 40 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <_  C
) )
87expdimp 426 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  < 
C  ->  A  <_  C ) )
9 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( B  =  C  ->  ( A  <_  B  <->  A  <_  C ) )
109biimpcd 215 . . . . 5  |-  ( A  <_  B  ->  ( B  =  C  ->  A  <_  C ) )
1110adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  =  C  ->  A  <_  C ) )
128, 11jaod 369 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( ( B  <  C  \/  B  =  C )  ->  A  <_  C ) )
133, 12sylbid 206 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  <_  C  ->  A  <_  C
) )
1413expimpd 586 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   RRcr 8736    < clt 8867    <_ cle 8868
This theorem is referenced by:  letri  8948  letrd  8973  le2add  9256  le2sub  9273  p1le  9599  lemul12b  9613  lemul12a  9614  peano2uz2  10099  uztrn  10244  uzss  10248  flge  10937  monoord  11076  leexp2r  11159  expubnd  11162  le2sq2  11179  facwordi  11302  faclbnd3  11305  facavg  11314  sqrlem1  11728  sqrlem6  11733  sqrlem7  11734  leabs  11784  limsupbnd2  11957  rlim3  11972  lo1bdd2  11998  lo1bddrp  11999  o1lo1  12011  lo1mul  12101  lo1le  12125  isercolllem2  12139  iseraltlem2  12155  fsumabs  12259  cvgrat  12339  ruclem9  12516  algcvga  12749  prmfac1  12797  eulerthlem2  12850  prmreclem1  12963  prmreclem4  12966  4sqlem11  13002  vdwnnlem3  13044  gsumbagdiaglem  16121  zntoslem  16510  cnllycmp  18454  evth  18457  ovoliunlem2  18862  ovolicc2lem3  18878  itg2monolem1  19105  coeaddlem  19630  coemullem  19631  aalioulem5  19716  aalioulem6  19717  sincosq1lem  19865  emcllem6  20294  ftalem3  20312  fsumvma2  20453  chpchtsum  20458  bcmono  20516  bposlem5  20527  lgsquadlem1  20593  dchrisum0lem1  20665  pntrsumbnd2  20716  pntleml  20760  nmoub3i  21351  ubthlem1  21449  ubthlem2  21450  nmopub2tALT  22489  nmfnleub2  22506  lnconi  22613  leoptr  22717  pjnmopi  22728  cdj3lem2b  23017  eupath2  23315  brbtwn2  23944  axlowdimlem17  23997  axlowdim  24000  incsequz  25870  mettrifi  25885  equivbnd  25926  bfplem1  25958  jm2.17b  26460  fmul01  27122  fmul01lt1lem1  27126  fmul01lt1lem2  27127  stoweidlem1  27162  stoweidlem3  27164  stoweidlem5  27166  stoweidlem11  27172  stoweidlem17  27178  stoweidlem20  27181  stoweidlem26  27187  stoweidlem34  27195  wallispilem3  27228  wallispilem4  27229
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873
  Copyright terms: Public domain W3C validator