MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letri3 Unicode version

Theorem letri3 8997
Description: Trichotomy law. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
letri3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )

Proof of Theorem letri3
StepHypRef Expression
1 lttri3 8995 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( -.  A  < 
B  /\  -.  B  <  A ) ) )
2 ancom 437 . . 3  |-  ( ( -.  B  <  A  /\  -.  A  <  B
)  <->  ( -.  A  <  B  /\  -.  B  <  A ) )
31, 2syl6bbr 254 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( -.  B  < 
A  /\  -.  A  <  B ) ) )
4 lenlt 8991 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
5 lenlt 8991 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
65ancoms 439 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
74, 6anbi12d 691 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  A
)  <->  ( -.  B  <  A  /\  -.  A  <  B ) ) )
83, 7bitr4d 247 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   class class class wbr 4104   RRcr 8826    < clt 8957    <_ cle 8958
This theorem is referenced by:  eqlelt  8999  letri3i  9024  letri3d  9051  lesub0  9380  eqord1  9391  lbreu  9794  nnle1eq1  9864  nn0le0eq0  10086  nn0lt10b  10170  zextle  10177  uz11  10342  uzin  10352  uzwo  10373  uzwoOLD  10374  qsqueeze  10620  elfz1eq  10899  faclbnd4lem4  11402  sqeqd  11747  max0add  11891  fsum00  12353  reef11  12496  dvdseq  12673  nn0seqcvgd  12837  infpnlem1  13054  psrbaglesupp  16213  gzrngunit  16543  nmoeq0  18347  oprpiece1res2  18554  pcoval2  18618  minveclem7  18903  pjthlem1  18905  iblposlem  19250  dvferm  19439  dveq0  19451  dv11cn  19452  fta1blem  19658  dgrco  19760  aalioulem3  19818  logf1o2  20108  cxpsqrlem  20160  ang180lem3  20220  chpeq0  20559  chteq0  20560  lgsdir  20681  lgsabs1  20685  minvecolem7  21576  pjhthlem1  22084  pjnormssi  22862  hstles  22925  stge1i  22932  stle0i  22933  stlesi  22935  cdj3lem1  23128  derangen  24107  bfplem2  25870  bfp  25871  acongeq  26393  jm2.26lem3  26417  dvconstbi  26874  ubelsupr  27014
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-resscn 8884  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963
  Copyright terms: Public domain W3C validator