MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letri3 Unicode version

Theorem letri3 8907
Description: Trichotomy law. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
letri3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )

Proof of Theorem letri3
StepHypRef Expression
1 lttri3 8905 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( -.  A  < 
B  /\  -.  B  <  A ) ) )
2 ancom 437 . . 3  |-  ( ( -.  B  <  A  /\  -.  A  <  B
)  <->  ( -.  A  <  B  /\  -.  B  <  A ) )
31, 2syl6bbr 254 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( -.  B  < 
A  /\  -.  A  <  B ) ) )
4 lenlt 8901 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
5 lenlt 8901 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
65ancoms 439 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
74, 6anbi12d 691 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  A
)  <->  ( -.  B  <  A  /\  -.  A  <  B ) ) )
83, 7bitr4d 247 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   RRcr 8736    < clt 8867    <_ cle 8868
This theorem is referenced by:  eqlelt  8909  letri3i  8934  letri3d  8961  lesub0  9290  eqord1  9301  lbreu  9704  nnle1eq1  9774  nn0le0eq0  9994  nn0lt10b  10078  zextle  10085  uz11  10250  uzin  10260  uzwo  10281  uzwoOLD  10282  qsqueeze  10528  elfz1eq  10807  faclbnd4lem4  11309  sqeqd  11651  max0add  11795  fsum00  12256  reef11  12399  dvdseq  12576  nn0seqcvgd  12740  infpnlem1  12957  psrbaglesupp  16114  gzrngunit  16437  nmoeq0  18245  oprpiece1res2  18450  pcoval2  18514  minveclem7  18799  pjthlem1  18801  iblposlem  19146  dvferm  19335  dveq0  19347  dv11cn  19348  fta1blem  19554  dgrco  19656  aalioulem3  19714  logf1o2  19997  cxpsqrlem  20049  ang180lem3  20109  chpeq0  20447  chteq0  20448  lgsdir  20569  lgsabs1  20573  minvecolem7  21462  pjhthlem1  21970  pjnormssi  22748  hstles  22811  stge1i  22818  stle0i  22819  stlesi  22821  cdj3lem1  23014  derangen  23703  bfplem2  26547  bfp  26548  acongeq  27070  jm2.26lem3  27094  dvconstbi  27551  ubelsupr  27691
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873
  Copyright terms: Public domain W3C validator