MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letri3d Unicode version

Theorem letri3d 9006
Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
letri3d  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )

Proof of Theorem letri3d
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 letri3 8952 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   class class class wbr 4060   RRcr 8781    <_ cle 8913
This theorem is referenced by:  add20  9331  eqord1  9346  msq11  9702  supmul  9767  suprzcl  10138  uzwo3  10358  flid  10986  flval3  10992  gcd0id  12749  gcdneg  12752  bezoutlem4  12767  gcdeq  12778  qredeq  12832  pcidlem  12971  pcgcd1  12976  4sqlem17  13055  0ram  13114  ram0  13116  mndodconglem  14905  sylow1lem5  14962  zntoslem  16566  cnmpt2pc  18479  ovolsca  18927  ismbl2  18939  voliunlem2  18961  dyadmaxlem  19005  mbflimsup  19074  mbfi1fseqlem4  19126  itg2cnlem1  19169  ditgneg  19260  rolle  19390  dvivthlem1  19408  plyeq0lem  19645  dgreq  19679  coemulhi  19688  dgradd2  19702  dgrmul  19704  plydiveu  19731  vieta1lem2  19744  pilem3  19882  ostth2  20839  nmophmi  22666  leoptri  22771  ballotlemfc0  23924  ballotlemfcc  23925  brbtwn2  24919  axcontlem8  24985  supadd  25310  rmspecfund  26142  wallispilem3  26964
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-resscn 8839  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918
  Copyright terms: Public domain W3C validator