MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letri3d Structured version   Unicode version

Theorem letri3d 9246
Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
letri3d  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )

Proof of Theorem letri3d
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 letri3 9191 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
41, 2, 3syl2anc 644 1  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   class class class wbr 4237   RRcr 9020    <_ cle 9152
This theorem is referenced by:  add20  9571  eqord1  9586  msq11  9942  supmul  10007  suprzcl  10380  uzwo3  10600  flid  11247  flval3  11253  gcd0id  13054  gcdneg  13057  bezoutlem4  13072  gcdeq  13083  qredeq  13137  pcidlem  13276  pcgcd1  13281  4sqlem17  13360  0ram  13419  ram0  13421  mndodconglem  15210  sylow1lem5  15267  zntoslem  16868  cnmpt2pc  18984  ovolsca  19442  ismbl2  19454  voliunlem2  19476  dyadmaxlem  19520  mbflimsup  19587  mbfi1fseqlem4  19639  itg2cnlem1  19682  ditgneg  19775  rolle  19905  dvivthlem1  19923  plyeq0lem  20160  dgreq  20194  coemulhi  20203  dgradd2  20217  dgrmul  20219  plydiveu  20246  vieta1lem2  20259  pilem3  20400  ostth2  21362  nmophmi  23565  leoptri  23670  ballotlemfc0  24781  ballotlemfcc  24782  brbtwn2  25875  axcontlem8  25941  supadd  26270  rmspecfund  27010  ubelsupr  27705  wallispilem3  27830  2ffzoeq  28187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-resscn 9078  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157
  Copyright terms: Public domain W3C validator