Theorem letsr 14349

Description: The "less than or equal to" relationship on the extended reals is a toset. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
letsr	|- <_ e. TosetRel

Proof of Theorem letsr

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lerel 8889	. . 3 |- Rel <_
2		lerelxr 8888	. . . . . . . . . . 11 |- <_ C_ ( RR* X. RR* )
3	2	brel 4737	. . . . . . . . . 10 |- ( x <_ y -> ( x e. RR* /\ y e. RR* ) )
4	3	adantr 451	. . . . . . . . 9 |- ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> ( x e. RR* /\ y e. RR* ) )
5	4	simpld 445	. . . . . . . 8 |- ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> x e. RR* )
6	4	simprd 449	. . . . . . . 8 |- ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> y e. RR* )
7	2	brel 4737	. . . . . . . . . 10 |- ( y <_ z -> ( y e. RR* /\ z e. RR* ) )
8	7	simprd 449	. . . . . . . . 9 |- ( y <_ z -> z e. RR* )
9	8	adantl 452	. . . . . . . 8 |- ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> z e. RR* )
10	5, 6, 9	3jca 1132	. . . . . . 7 |- ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> ( x e. RR* /\ y e. RR* /\ z e. RR* ) )
11		xrletr 10489	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* /\ z e. RR* ) -> ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> x <_ z ) )
12	10, 11	mpcom 32	. . . . . 6 |- ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> x <_ z )
13	12	ax-gen 1533	. . . . 5 |- A. z ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> x <_ z )
14	13	gen2 1534	. . . 4 |- A. x A. y A. z ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> x <_ z )
15		cotr 5055	. . . 4 |- ( ( <_ o. <_ ) C_ <_ <-> A. x A. y A. z ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> x <_ z ) )
16	14, 15	mpbir 200	. . 3 |- ( <_ o. <_ ) C_ <_
17		asymref 5059	. . . 4 |- ( ( <_ i^i `' <_ ) = ( _I |` U. U. <_ ) <-> A. x e. U. U. <_ A. y ( ( x <_ y /\ y <_ x ) <-> x = y ) )
18		simpr 447	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR* /\ ( x <_ y /\ y <_ x ) ) -> ( x <_ y /\ y <_ x ) )
19	2	brel 4737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y <_ x -> ( y e. RR* /\ x e. RR* ) )
20	19	simpld 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( y <_ x -> y e. RR* )
21	20	adantl 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x <_ y /\ y <_ x ) -> y e. RR* )
22		xrletri3 10486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x = y <-> ( x <_ y /\ y <_ x ) ) )
23	21, 22	sylan2 460	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR* /\ ( x <_ y /\ y <_ x ) ) -> ( x = y <-> ( x <_ y /\ y <_ x ) ) )
24	18, 23	mpbird 223	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR* /\ ( x <_ y /\ y <_ x ) ) -> x = y )
25	24	ex 423	. . . . . . 7 |- ( x e. RR* -> ( ( x <_ y /\ y <_ x ) -> x = y ) )
26		xrleid 10484	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR* -> x <_ x )
27	26, 26	jca 518	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR* -> ( x <_ x /\ x <_ x ) )
28		breq2 4027	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x <_ x <-> x <_ y ) )
29		breq1 4026	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x <_ x <-> y <_ x ) )
30	28, 29	anbi12d 691	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( x <_ x /\ x <_ x ) <-> ( x <_ y /\ y <_ x ) ) )
31	27, 30	syl5ibcom 211	. . . . . . 7 |- ( x e. RR* -> ( x = y -> ( x <_ y /\ y <_ x ) ) )
32	25, 31	impbid 183	. . . . . 6 |- ( x e. RR* -> ( ( x <_ y /\ y <_ x ) <-> x = y ) )
33	32	alrimiv 1617	. . . . 5 |- ( x e. RR* -> A. y ( ( x <_ y /\ y <_ x ) <-> x = y ) )
34		lefld 14348	. . . . . 6 |- RR* = U. U. <_
35	34	eqcomi 2287	. . . . 5 |- U. U. <_ = RR*
36	33, 35	eleq2s 2375	. . . 4 |- ( x e. U. U. <_ -> A. y ( ( x <_ y /\ y <_ x ) <-> x = y ) )
37	17, 36	mprgbir 2613	. . 3 |- ( <_ i^i `' <_ ) = ( _I |` U. U. <_ )
38		xrex 10351	. . . . . 6 |- RR* e. _V
39	38, 38	xpex 4801	. . . . 5 |- ( RR* X. RR* ) e. _V
40	39, 2	ssexi 4159	. . . 4 |- <_ e. _V
41		isps 14311	. . . 4 |- ( <_ e. _V -> ( <_ e. PosetRel <-> ( Rel <_ /\ ( <_ o. <_ ) C_ <_ /\ ( <_ i^i `' <_ ) = ( _I |` U. U. <_ ) ) ) )
42	40, 41	ax-mp 8	. . 3 |- ( <_ e. PosetRel <-> ( Rel <_ /\ ( <_ o. <_ ) C_ <_ /\ ( <_ i^i `' <_ ) = ( _I |` U. U. <_ ) ) )
43	1, 16, 37, 42	mpbir3an 1134	. 2 |- <_ e. PosetRel
44		xrletri 10485	. . . 4 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x <_ y \/ y <_ x ) )
45	44	rgen2a 2609	. . 3 |- A. x e. RR* A. y e. RR* ( x <_ y \/ y <_ x )
46		qfto 5064	. . 3 |- ( ( RR* X. RR* ) C_ ( <_ u. `' <_ ) <-> A. x e. RR* A. y e. RR* ( x <_ y \/ y <_ x ) )
47	45, 46	mpbir 200	. 2 |- ( RR* X. RR* ) C_ ( <_ u. `' <_ )
48		ledm 14346	. . 3 |- RR* = dom <_
49	48	istsr 14326	. 2 |- ( <_ e. TosetRel <-> ( <_ e. PosetRel /\ ( RR* X. RR* ) C_ ( <_ u. `' <_ ) ) )
50	43, 47, 49	mpbir2an 886	1 |- <_ e. TosetRel

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   \/ wo 357   /\ wa 358   /\ w3a 934   A.wal 1527   = wceq 1623   e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   u. cun 3150   i^i cin 3151   C_ wss 3152   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   _I cid 4304   X. cxp 4687   `'ccnv 4688   |` cres 4691   o. ccom 4693   Rel wrel 4694   RR*cxr 8866   <_ cle 8868   PosetRelcps 14301   TosetRel ctsr 14302

This theorem is referenced by:  cnfldle  16388  letopon  16935  leordtval2  16942  leordtval  16943  iccordt  16944  ordtrestixx  16952  xrge0tsms  18339  icopnfhmeo  18441  iccpnfhmeo  18443  xrhmeo  18444  xrhaus  23257  cnvordtrestixx  23297  xrmulc1cn  23303  xrge0iifhmeo  23318  xrge0haus  23326  xrge0tsmsd  23382  supnuf  25629  supexr  25631

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-ps 14306  df-tsr 14307