Theorem letsr 14635

Description: The "less than or equal to" relationship on the extended reals is a toset. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
letsr	|- <_ e. TosetRel

Proof of Theorem letsr

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lerel 9106	. . 3 |- Rel <_
2		lerelxr 9105	. . . . . . . . . . 11 |- <_ C_ ( RR* X. RR* )
3	2	brel 4893	. . . . . . . . . 10 |- ( x <_ y -> ( x e. RR* /\ y e. RR* ) )
4	3	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> ( x e. RR* /\ y e. RR* ) )
5	4	simpld 446	. . . . . . . 8 |- ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> x e. RR* )
6	4	simprd 450	. . . . . . . 8 |- ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> y e. RR* )
7	2	brel 4893	. . . . . . . . . 10 |- ( y <_ z -> ( y e. RR* /\ z e. RR* ) )
8	7	simprd 450	. . . . . . . . 9 |- ( y <_ z -> z e. RR* )
9	8	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> z e. RR* )
10	5, 6, 9	3jca 1134	. . . . . . 7 |- ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> ( x e. RR* /\ y e. RR* /\ z e. RR* ) )
11		xrletr 10712	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* /\ z e. RR* ) -> ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> x <_ z ) )
12	10, 11	mpcom 34	. . . . . 6 |- ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> x <_ z )
13	12	ax-gen 1552	. . . . 5 |- A. z ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> x <_ z )
14	13	gen2 1553	. . . 4 |- A. x A. y A. z ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> x <_ z )
15		cotr 5213	. . . 4 |- ( ( <_ o. <_ ) C_ <_ <-> A. x A. y A. z ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> x <_ z ) )
16	14, 15	mpbir 201	. . 3 |- ( <_ o. <_ ) C_ <_
17		asymref 5217	. . . 4 |- ( ( <_ i^i `' <_ ) = ( _I |` U. U. <_ ) <-> A. x e. U. U. <_ A. y ( ( x <_ y /\ y <_ x ) <-> x = y ) )
18		simpr 448	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR* /\ ( x <_ y /\ y <_ x ) ) -> ( x <_ y /\ y <_ x ) )
19	2	brel 4893	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y <_ x -> ( y e. RR* /\ x e. RR* ) )
20	19	simpld 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( y <_ x -> y e. RR* )
21	20	adantl 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x <_ y /\ y <_ x ) -> y e. RR* )
22		xrletri3 10709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x = y <-> ( x <_ y /\ y <_ x ) ) )
23	21, 22	sylan2 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR* /\ ( x <_ y /\ y <_ x ) ) -> ( x = y <-> ( x <_ y /\ y <_ x ) ) )
24	18, 23	mpbird 224	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR* /\ ( x <_ y /\ y <_ x ) ) -> x = y )
25	24	ex 424	. . . . . . 7 |- ( x e. RR* -> ( ( x <_ y /\ y <_ x ) -> x = y ) )
26		xrleid 10707	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR* -> x <_ x )
27	26, 26	jca 519	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR* -> ( x <_ x /\ x <_ x ) )
28		breq2 4184	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x <_ x <-> x <_ y ) )
29		breq1 4183	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x <_ x <-> y <_ x ) )
30	28, 29	anbi12d 692	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( x <_ x /\ x <_ x ) <-> ( x <_ y /\ y <_ x ) ) )
31	27, 30	syl5ibcom 212	. . . . . . 7 |- ( x e. RR* -> ( x = y -> ( x <_ y /\ y <_ x ) ) )
32	25, 31	impbid 184	. . . . . 6 |- ( x e. RR* -> ( ( x <_ y /\ y <_ x ) <-> x = y ) )
33	32	alrimiv 1638	. . . . 5 |- ( x e. RR* -> A. y ( ( x <_ y /\ y <_ x ) <-> x = y ) )
34		lefld 14634	. . . . . 6 |- RR* = U. U. <_
35	34	eqcomi 2416	. . . . 5 |- U. U. <_ = RR*
36	33, 35	eleq2s 2504	. . . 4 |- ( x e. U. U. <_ -> A. y ( ( x <_ y /\ y <_ x ) <-> x = y ) )
37	17, 36	mprgbir 2744	. . 3 |- ( <_ i^i `' <_ ) = ( _I |` U. U. <_ )
38		xrex 10573	. . . . . 6 |- RR* e. _V
39	38, 38	xpex 4957	. . . . 5 |- ( RR* X. RR* ) e. _V
40	39, 2	ssexi 4316	. . . 4 |- <_ e. _V
41		isps 14597	. . . 4 |- ( <_ e. _V -> ( <_ e. PosetRel <-> ( Rel <_ /\ ( <_ o. <_ ) C_ <_ /\ ( <_ i^i `' <_ ) = ( _I |` U. U. <_ ) ) ) )
42	40, 41	ax-mp 8	. . 3 |- ( <_ e. PosetRel <-> ( Rel <_ /\ ( <_ o. <_ ) C_ <_ /\ ( <_ i^i `' <_ ) = ( _I |` U. U. <_ ) ) )
43	1, 16, 37, 42	mpbir3an 1136	. 2 |- <_ e. PosetRel
44		xrletri 10708	. . . 4 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x <_ y \/ y <_ x ) )
45	44	rgen2a 2740	. . 3 |- A. x e. RR* A. y e. RR* ( x <_ y \/ y <_ x )
46		qfto 5222	. . 3 |- ( ( RR* X. RR* ) C_ ( <_ u. `' <_ ) <-> A. x e. RR* A. y e. RR* ( x <_ y \/ y <_ x ) )
47	45, 46	mpbir 201	. 2 |- ( RR* X. RR* ) C_ ( <_ u. `' <_ )
48		ledm 14632	. . 3 |- RR* = dom <_
49	48	istsr 14612	. 2 |- ( <_ e. TosetRel <-> ( <_ e. PosetRel /\ ( RR* X. RR* ) C_ ( <_ u. `' <_ ) ) )
50	43, 47, 49	mpbir2an 887	1 |- <_ e. TosetRel

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   /\ w3a 936   A.wal 1546   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2674   _Vcvv 2924   u. cun 3286   i^i cin 3287   C_ wss 3288   U.cuni 3983   class class class wbr 4180   _I cid 4461   X. cxp 4843   `'ccnv 4844   |` cres 4847   o. ccom 4849   Rel wrel 4850   RR*cxr 9083   <_ cle 9085   PosetRelcps 14587   TosetRel ctsr 14588

This theorem is referenced by:  cnfldle  16675  letopon  17231  leordtval2  17238  leordtval  17239  iccordt  17240  ordtrestixx  17248  xrge0tsms  18826  icopnfhmeo  18929  iccpnfhmeo  18931  xrhmeo  18932  xrhaus  24089  xrge0tsmsd  24184  cnvordtrestixx  24272  xrmulc1cn  24277  xrge0iifhmeo  24283

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-ps 14592  df-tsr 14593