Theorem letsr 14703

Description: The "less than or equal to" relationship on the extended reals is a toset. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
letsr	|- <_ e. TosetRel

Proof of Theorem letsr

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lerel 9173	. . 3 |- Rel <_
2		lerelxr 9172	. . . . . . . . . . 11 |- <_ C_ ( RR* X. RR* )
3	2	brel 4955	. . . . . . . . . 10 |- ( x <_ y -> ( x e. RR* /\ y e. RR* ) )
4	3	adantr 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> ( x e. RR* /\ y e. RR* ) )
5	4	simpld 447	. . . . . . . 8 |- ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> x e. RR* )
6	4	simprd 451	. . . . . . . 8 |- ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> y e. RR* )
7	2	brel 4955	. . . . . . . . . 10 |- ( y <_ z -> ( y e. RR* /\ z e. RR* ) )
8	7	simprd 451	. . . . . . . . 9 |- ( y <_ z -> z e. RR* )
9	8	adantl 454	. . . . . . . 8 |- ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> z e. RR* )
10	5, 6, 9	3jca 1135	. . . . . . 7 |- ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> ( x e. RR* /\ y e. RR* /\ z e. RR* ) )
11		xrletr 10779	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* /\ z e. RR* ) -> ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> x <_ z ) )
12	10, 11	mpcom 35	. . . . . 6 |- ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> x <_ z )
13	12	ax-gen 1556	. . . . 5 |- A. z ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> x <_ z )
14	13	gen2 1557	. . . 4 |- A. x A. y A. z ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> x <_ z )
15		cotr 5275	. . . 4 |- ( ( <_ o. <_ ) C_ <_ <-> A. x A. y A. z ( ( x <_ y /\ y <_ z ) -> x <_ z ) )
16	14, 15	mpbir 202	. . 3 |- ( <_ o. <_ ) C_ <_
17		asymref 5279	. . . 4 |- ( ( <_ i^i `' <_ ) = ( _I |` U. U. <_ ) <-> A. x e. U. U. <_ A. y ( ( x <_ y /\ y <_ x ) <-> x = y ) )
18		simpr 449	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR* /\ ( x <_ y /\ y <_ x ) ) -> ( x <_ y /\ y <_ x ) )
19	2	brel 4955	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y <_ x -> ( y e. RR* /\ x e. RR* ) )
20	19	simpld 447	. . . . . . . . . . 11 |- ( y <_ x -> y e. RR* )
21	20	adantl 454	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x <_ y /\ y <_ x ) -> y e. RR* )
22		xrletri3 10776	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x = y <-> ( x <_ y /\ y <_ x ) ) )
23	21, 22	sylan2 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR* /\ ( x <_ y /\ y <_ x ) ) -> ( x = y <-> ( x <_ y /\ y <_ x ) ) )
24	18, 23	mpbird 225	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR* /\ ( x <_ y /\ y <_ x ) ) -> x = y )
25	24	ex 425	. . . . . . 7 |- ( x e. RR* -> ( ( x <_ y /\ y <_ x ) -> x = y ) )
26		xrleid 10774	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR* -> x <_ x )
27	26, 26	jca 520	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR* -> ( x <_ x /\ x <_ x ) )
28		breq2 4241	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x <_ x <-> x <_ y ) )
29		breq1 4240	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x <_ x <-> y <_ x ) )
30	28, 29	anbi12d 693	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( x <_ x /\ x <_ x ) <-> ( x <_ y /\ y <_ x ) ) )
31	27, 30	syl5ibcom 213	. . . . . . 7 |- ( x e. RR* -> ( x = y -> ( x <_ y /\ y <_ x ) ) )
32	25, 31	impbid 185	. . . . . 6 |- ( x e. RR* -> ( ( x <_ y /\ y <_ x ) <-> x = y ) )
33	32	alrimiv 1642	. . . . 5 |- ( x e. RR* -> A. y ( ( x <_ y /\ y <_ x ) <-> x = y ) )
34		lefld 14702	. . . . . 6 |- RR* = U. U. <_
35	34	eqcomi 2446	. . . . 5 |- U. U. <_ = RR*
36	33, 35	eleq2s 2534	. . . 4 |- ( x e. U. U. <_ -> A. y ( ( x <_ y /\ y <_ x ) <-> x = y ) )
37	17, 36	mprgbir 2782	. . 3 |- ( <_ i^i `' <_ ) = ( _I |` U. U. <_ )
38		xrex 10640	. . . . . 6 |- RR* e. _V
39	38, 38	xpex 5019	. . . . 5 |- ( RR* X. RR* ) e. _V
40	39, 2	ssexi 4377	. . . 4 |- <_ e. _V
41		isps 14665	. . . 4 |- ( <_ e. _V -> ( <_ e. PosetRel <-> ( Rel <_ /\ ( <_ o. <_ ) C_ <_ /\ ( <_ i^i `' <_ ) = ( _I |` U. U. <_ ) ) ) )
42	40, 41	ax-mp 5	. . 3 |- ( <_ e. PosetRel <-> ( Rel <_ /\ ( <_ o. <_ ) C_ <_ /\ ( <_ i^i `' <_ ) = ( _I |` U. U. <_ ) ) )
43	1, 16, 37, 42	mpbir3an 1137	. 2 |- <_ e. PosetRel
44		xrletri 10775	. . . 4 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x <_ y \/ y <_ x ) )
45	44	rgen2a 2778	. . 3 |- A. x e. RR* A. y e. RR* ( x <_ y \/ y <_ x )
46		qfto 5284	. . 3 |- ( ( RR* X. RR* ) C_ ( <_ u. `' <_ ) <-> A. x e. RR* A. y e. RR* ( x <_ y \/ y <_ x ) )
47	45, 46	mpbir 202	. 2 |- ( RR* X. RR* ) C_ ( <_ u. `' <_ )
48		ledm 14700	. . 3 |- RR* = dom <_
49	48	istsr 14680	. 2 |- ( <_ e. TosetRel <-> ( <_ e. PosetRel /\ ( RR* X. RR* ) C_ ( <_ u. `' <_ ) ) )
50	43, 47, 49	mpbir2an 888	1 |- <_ e. TosetRel

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 178   \/ wo 359   /\ wa 360   /\ w3a 937   A.wal 1550   = wceq 1653   e. wcel 1727   A.wral 2711   _Vcvv 2962   u. cun 3304   i^i cin 3305   C_ wss 3306   U.cuni 4039   class class class wbr 4237   _I cid 4522   X. cxp 4905   `'ccnv 4906   |` cres 4909   o. ccom 4911   Rel wrel 4912   RR*cxr 9150   <_ cle 9152   PosetRelcps 14655   TosetRel ctsr 14656

This theorem is referenced by:  cnfldle  16743  letopon  17300  leordtval2  17307  leordtval  17308  iccordt  17309  ordtrestixx  17317  xrge0tsms  18896  icopnfhmeo  18999  iccpnfhmeo  19001  xrhmeo  19002  xrhaus  24159  xrge0tsmsd  24254  cnvordtrestixx  24342  xrmulc1cn  24347  xrge0iifhmeo  24353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-ps 14660  df-tsr 14661