Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl0 Unicode version

Theorem lfl0 29877
Description: A linear functional is zero at the zero vector. (lnfn0i 22638 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl0.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lfl0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
lfl0.z  |-  Z  =  ( 0g `  W
)
lfl0.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
Assertion
Ref Expression
lfl0  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  Z )  =  .0.  )

Proof of Theorem lfl0
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  W  e.  LMod )
2 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  G  e.  F )
3 lfl0.d . . . . . . 7  |-  D  =  (Scalar `  W )
4 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
5 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  D )  =  ( 1r `  D
)
63, 4, 5lmod1cl 15673 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 1r
`  D )  e.  ( Base `  D
) )
76adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( 1r `  D )  e.  ( Base `  D
) )
8 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
9 lfl0.z . . . . . . 7  |-  Z  =  ( 0g `  W
)
108, 9lmod0vcl 15675 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  Z  e.  ( Base `  W
) )
1110adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  Z  e.  ( Base `  W
) )
12 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
13 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
14 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
15 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
16 lfl0.f . . . . . 6  |-  F  =  (LFnl `  W )
178, 12, 3, 13, 4, 14, 15, 16lfli 29873 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
( 1r `  D
)  e.  ( Base `  D )  /\  Z  e.  ( Base `  W
)  /\  Z  e.  ( Base `  W )
) )  ->  ( G `  ( (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z ) ( +g  `  W
) Z ) )  =  ( ( ( 1r `  D ) ( .r `  D
) ( G `  Z ) ) ( +g  `  D ) ( G `  Z
) ) )
181, 2, 7, 11, 11, 17syl113anc 1194 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  ( (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z ) ( +g  `  W
) Z ) )  =  ( ( ( 1r `  D ) ( .r `  D
) ( G `  Z ) ) ( +g  `  D ) ( G `  Z
) ) )
198, 3, 13, 4lmodvscl 15660 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( 1r `  D )  e.  ( Base `  D
)  /\  Z  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( ( 1r `  D ) ( .s `  W ) Z )  e.  (
Base `  W )
)
201, 7, 11, 19syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z )  e.  ( Base `  W
) )
218, 12, 9lmod0vrid 15677 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z )  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( ( 1r `  D ) ( .s
`  W ) Z ) ( +g  `  W
) Z )  =  ( ( 1r `  D ) ( .s
`  W ) Z ) )
2220, 21syldan 456 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( ( 1r `  D ) ( .s
`  W ) Z ) ( +g  `  W
) Z )  =  ( ( 1r `  D ) ( .s
`  W ) Z ) )
238, 3, 13, 5lmodvs1 15674 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z )  =  Z )
2411, 23syldan 456 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z )  =  Z )
2522, 24eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( ( 1r `  D ) ( .s
`  W ) Z ) ( +g  `  W
) Z )  =  Z )
2625fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  ( (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z ) ( +g  `  W
) Z ) )  =  ( G `  Z ) )
273lmodrng 15651 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Ring )
2827adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  D  e.  Ring )
293, 4, 8, 16lflcl 29876 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  Z  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( G `  Z )  e.  ( Base `  D
) )
3011, 29mpd3an3 1278 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  Z )  e.  ( Base `  D
) )
314, 15, 5rnglidm 15380 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  Ring  /\  ( G `  Z )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1r `  D
) ( .r `  D ) ( G `
 Z ) )  =  ( G `  Z ) )
3228, 30, 31syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( 1r `  D
) ( .r `  D ) ( G `
 Z ) )  =  ( G `  Z ) )
3332oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( ( 1r `  D ) ( .r
`  D ) ( G `  Z ) ) ( +g  `  D
) ( G `  Z ) )  =  ( ( G `  Z ) ( +g  `  D ) ( G `
 Z ) ) )
3418, 26, 333eqtr3d 2336 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  Z )  =  ( ( G `
 Z ) ( +g  `  D ) ( G `  Z
) ) )
3534oveq1d 5889 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( G `  Z
) ( -g `  D
) ( G `  Z ) )  =  ( ( ( G `
 Z ) ( +g  `  D ) ( G `  Z
) ) ( -g `  D ) ( G `
 Z ) ) )
36 rnggrp 15362 . . . 4  |-  ( D  e.  Ring  ->  D  e. 
Grp )
3728, 36syl 15 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  D  e.  Grp )
38 lfl0.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
39 eqid 2296 . . . 4  |-  ( -g `  D )  =  (
-g `  D )
404, 38, 39grpsubid 14566 . . 3  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( G `  Z )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( G `  Z
) ( -g `  D
) ( G `  Z ) )  =  .0.  )
4137, 30, 40syl2anc 642 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( G `  Z
) ( -g `  D
) ( G `  Z ) )  =  .0.  )
424, 14, 39grppncan 14572 . . 3  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( G `  Z )  e.  ( Base `  D
)  /\  ( G `  Z )  e.  (
Base `  D )
)  ->  ( (
( G `  Z
) ( +g  `  D
) ( G `  Z ) ) (
-g `  D )
( G `  Z
) )  =  ( G `  Z ) )
4337, 30, 30, 42syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( ( G `  Z ) ( +g  `  D ) ( G `
 Z ) ) ( -g `  D
) ( G `  Z ) )  =  ( G `  Z
) )
4435, 41, 433eqtr3rd 2337 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  Z )  =  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378   -gcsg 14381   Ringcrg 15353   1rcur 15355   LModclmod 15643  LFnlclfn 29869
This theorem is referenced by:  lflmul  29880  lkrlss  29907  dochkr1  32290  lcfrlem28  32382  hdmapip0  32730
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-lmod 15645  df-lfl 29870
  Copyright terms: Public domain W3C validator