Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl0 Structured version   Unicode version

Theorem lfl0 29863
Description: A linear functional is zero at the zero vector. (lnfn0i 23545 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl0.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lfl0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
lfl0.z  |-  Z  =  ( 0g `  W
)
lfl0.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
Assertion
Ref Expression
lfl0  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  Z )  =  .0.  )

Proof of Theorem lfl0
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  W  e.  LMod )
2 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  G  e.  F )
3 lfl0.d . . . . . . 7  |-  D  =  (Scalar `  W )
4 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
5 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  D )  =  ( 1r `  D
)
63, 4, 5lmod1cl 15977 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 1r
`  D )  e.  ( Base `  D
) )
76adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( 1r `  D )  e.  ( Base `  D
) )
8 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
9 lfl0.z . . . . . . 7  |-  Z  =  ( 0g `  W
)
108, 9lmod0vcl 15979 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  Z  e.  ( Base `  W
) )
1110adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  Z  e.  ( Base `  W
) )
12 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
13 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
14 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
15 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
16 lfl0.f . . . . . 6  |-  F  =  (LFnl `  W )
178, 12, 3, 13, 4, 14, 15, 16lfli 29859 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
( 1r `  D
)  e.  ( Base `  D )  /\  Z  e.  ( Base `  W
)  /\  Z  e.  ( Base `  W )
) )  ->  ( G `  ( (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z ) ( +g  `  W
) Z ) )  =  ( ( ( 1r `  D ) ( .r `  D
) ( G `  Z ) ) ( +g  `  D ) ( G `  Z
) ) )
181, 2, 7, 11, 11, 17syl113anc 1196 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  ( (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z ) ( +g  `  W
) Z ) )  =  ( ( ( 1r `  D ) ( .r `  D
) ( G `  Z ) ) ( +g  `  D ) ( G `  Z
) ) )
198, 3, 13, 4lmodvscl 15967 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( 1r `  D )  e.  ( Base `  D
)  /\  Z  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( ( 1r `  D ) ( .s `  W ) Z )  e.  (
Base `  W )
)
201, 7, 11, 19syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z )  e.  ( Base `  W
) )
218, 12, 9lmod0vrid 15981 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z )  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( ( 1r `  D ) ( .s
`  W ) Z ) ( +g  `  W
) Z )  =  ( ( 1r `  D ) ( .s
`  W ) Z ) )
2220, 21syldan 457 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( ( 1r `  D ) ( .s
`  W ) Z ) ( +g  `  W
) Z )  =  ( ( 1r `  D ) ( .s
`  W ) Z ) )
238, 3, 13, 5lmodvs1 15978 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z )  =  Z )
2411, 23syldan 457 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z )  =  Z )
2522, 24eqtrd 2468 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( ( 1r `  D ) ( .s
`  W ) Z ) ( +g  `  W
) Z )  =  Z )
2625fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  ( (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z ) ( +g  `  W
) Z ) )  =  ( G `  Z ) )
273lmodrng 15958 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Ring )
2827adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  D  e.  Ring )
293, 4, 8, 16lflcl 29862 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  Z  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( G `  Z )  e.  ( Base `  D
) )
3011, 29mpd3an3 1280 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  Z )  e.  ( Base `  D
) )
314, 15, 5rnglidm 15687 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  Ring  /\  ( G `  Z )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1r `  D
) ( .r `  D ) ( G `
 Z ) )  =  ( G `  Z ) )
3228, 30, 31syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( 1r `  D
) ( .r `  D ) ( G `
 Z ) )  =  ( G `  Z ) )
3332oveq1d 6096 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( ( 1r `  D ) ( .r
`  D ) ( G `  Z ) ) ( +g  `  D
) ( G `  Z ) )  =  ( ( G `  Z ) ( +g  `  D ) ( G `
 Z ) ) )
3418, 26, 333eqtr3d 2476 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  Z )  =  ( ( G `
 Z ) ( +g  `  D ) ( G `  Z
) ) )
3534oveq1d 6096 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( G `  Z
) ( -g `  D
) ( G `  Z ) )  =  ( ( ( G `
 Z ) ( +g  `  D ) ( G `  Z
) ) ( -g `  D ) ( G `
 Z ) ) )
36 rnggrp 15669 . . . 4  |-  ( D  e.  Ring  ->  D  e. 
Grp )
3728, 36syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  D  e.  Grp )
38 lfl0.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
39 eqid 2436 . . . 4  |-  ( -g `  D )  =  (
-g `  D )
404, 38, 39grpsubid 14873 . . 3  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( G `  Z )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( G `  Z
) ( -g `  D
) ( G `  Z ) )  =  .0.  )
4137, 30, 40syl2anc 643 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( G `  Z
) ( -g `  D
) ( G `  Z ) )  =  .0.  )
424, 14, 39grppncan 14879 . . 3  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( G `  Z )  e.  ( Base `  D
)  /\  ( G `  Z )  e.  (
Base `  D )
)  ->  ( (
( G `  Z
) ( +g  `  D
) ( G `  Z ) ) (
-g `  D )
( G `  Z
) )  =  ( G `  Z ) )
4337, 30, 30, 42syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( ( G `  Z ) ( +g  `  D ) ( G `
 Z ) ) ( -g `  D
) ( G `  Z ) )  =  ( G `  Z
) )
4435, 41, 433eqtr3rd 2477 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  Z )  =  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   +g cplusg 13529   .rcmulr 13530  Scalarcsca 13532   .scvsca 13533   0gc0g 13723   Grpcgrp 14685   -gcsg 14688   Ringcrg 15660   1rcur 15662   LModclmod 15950  LFnlclfn 29855
This theorem is referenced by:  lflmul  29866  lkrlss  29893  dochkr1  32276  lcfrlem28  32368  hdmapip0  32716
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-lmod 15952  df-lfl 29856
  Copyright terms: Public domain W3C validator