Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl0 Unicode version

Theorem lfl0 29255
Description: A linear functional is zero at the zero vector. (lnfn0i 22622 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl0.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lfl0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
lfl0.z  |-  Z  =  ( 0g `  W
)
lfl0.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
Assertion
Ref Expression
lfl0  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  Z )  =  .0.  )

Proof of Theorem lfl0
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  W  e.  LMod )
2 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  G  e.  F )
3 lfl0.d . . . . . . 7  |-  D  =  (Scalar `  W )
4 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
5 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  D )  =  ( 1r `  D
)
63, 4, 5lmod1cl 15657 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 1r
`  D )  e.  ( Base `  D
) )
76adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( 1r `  D )  e.  ( Base `  D
) )
8 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
9 lfl0.z . . . . . . 7  |-  Z  =  ( 0g `  W
)
108, 9lmod0vcl 15659 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  Z  e.  ( Base `  W
) )
1110adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  Z  e.  ( Base `  W
) )
12 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
13 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
14 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
15 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
16 lfl0.f . . . . . 6  |-  F  =  (LFnl `  W )
178, 12, 3, 13, 4, 14, 15, 16lfli 29251 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
( 1r `  D
)  e.  ( Base `  D )  /\  Z  e.  ( Base `  W
)  /\  Z  e.  ( Base `  W )
) )  ->  ( G `  ( (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z ) ( +g  `  W
) Z ) )  =  ( ( ( 1r `  D ) ( .r `  D
) ( G `  Z ) ) ( +g  `  D ) ( G `  Z
) ) )
181, 2, 7, 11, 11, 17syl113anc 1194 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  ( (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z ) ( +g  `  W
) Z ) )  =  ( ( ( 1r `  D ) ( .r `  D
) ( G `  Z ) ) ( +g  `  D ) ( G `  Z
) ) )
198, 3, 13, 4lmodvscl 15644 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( 1r `  D )  e.  ( Base `  D
)  /\  Z  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( ( 1r `  D ) ( .s `  W ) Z )  e.  (
Base `  W )
)
201, 7, 11, 19syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z )  e.  ( Base `  W
) )
218, 12, 9lmod0vrid 15661 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z )  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( ( 1r `  D ) ( .s
`  W ) Z ) ( +g  `  W
) Z )  =  ( ( 1r `  D ) ( .s
`  W ) Z ) )
2220, 21syldan 456 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( ( 1r `  D ) ( .s
`  W ) Z ) ( +g  `  W
) Z )  =  ( ( 1r `  D ) ( .s
`  W ) Z ) )
238, 3, 13, 5lmodvs1 15658 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z )  =  Z )
2411, 23syldan 456 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z )  =  Z )
2522, 24eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( ( 1r `  D ) ( .s
`  W ) Z ) ( +g  `  W
) Z )  =  Z )
2625fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  ( (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z ) ( +g  `  W
) Z ) )  =  ( G `  Z ) )
273lmodrng 15635 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Ring )
2827adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  D  e.  Ring )
293, 4, 8, 16lflcl 29254 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  Z  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( G `  Z )  e.  ( Base `  D
) )
3011, 29mpd3an3 1278 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  Z )  e.  ( Base `  D
) )
314, 15, 5rnglidm 15364 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  Ring  /\  ( G `  Z )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1r `  D
) ( .r `  D ) ( G `
 Z ) )  =  ( G `  Z ) )
3228, 30, 31syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( 1r `  D
) ( .r `  D ) ( G `
 Z ) )  =  ( G `  Z ) )
3332oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( ( 1r `  D ) ( .r
`  D ) ( G `  Z ) ) ( +g  `  D
) ( G `  Z ) )  =  ( ( G `  Z ) ( +g  `  D ) ( G `
 Z ) ) )
3418, 26, 333eqtr3d 2323 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  Z )  =  ( ( G `
 Z ) ( +g  `  D ) ( G `  Z
) ) )
3534oveq1d 5873 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( G `  Z
) ( -g `  D
) ( G `  Z ) )  =  ( ( ( G `
 Z ) ( +g  `  D ) ( G `  Z
) ) ( -g `  D ) ( G `
 Z ) ) )
36 rnggrp 15346 . . . 4  |-  ( D  e.  Ring  ->  D  e. 
Grp )
3728, 36syl 15 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  D  e.  Grp )
38 lfl0.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
39 eqid 2283 . . . 4  |-  ( -g `  D )  =  (
-g `  D )
404, 38, 39grpsubid 14550 . . 3  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( G `  Z )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( G `  Z
) ( -g `  D
) ( G `  Z ) )  =  .0.  )
4137, 30, 40syl2anc 642 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( G `  Z
) ( -g `  D
) ( G `  Z ) )  =  .0.  )
424, 14, 39grppncan 14556 . . 3  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( G `  Z )  e.  ( Base `  D
)  /\  ( G `  Z )  e.  (
Base `  D )
)  ->  ( (
( G `  Z
) ( +g  `  D
) ( G `  Z ) ) (
-g `  D )
( G `  Z
) )  =  ( G `  Z ) )
4337, 30, 30, 42syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( ( G `  Z ) ( +g  `  D ) ( G `
 Z ) ) ( -g `  D
) ( G `  Z ) )  =  ( G `  Z
) )
4435, 41, 433eqtr3rd 2324 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  Z )  =  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   -gcsg 14365   Ringcrg 15337   1rcur 15339   LModclmod 15627  LFnlclfn 29247
This theorem is referenced by:  lflmul  29258  lkrlss  29285  dochkr1  31668  lcfrlem28  31760  hdmapip0  32108
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-lfl 29248
  Copyright terms: Public domain W3C validator