Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl0sc Structured version   Unicode version

Theorem lfl0sc 29942
 Description: The (right vector space) scalar product of a functional with zero is the zero functional. Note that the first occurrence of represents the zero scalar, and the second is the zero functional. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl0sc.v
lfl0sc.d Scalar
lfl0sc.f LFnl
lfl0sc.k
lfl0sc.t
lfl0sc.o
lfl0sc.w
lfl0sc.g
Assertion
Ref Expression
lfl0sc

Proof of Theorem lfl0sc
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfl0sc.v . . . 4
2 fvex 5744 . . . 4
31, 2eqeltri 2508 . . 3
43a1i 11 . 2
5 lfl0sc.w . . 3
6 lfl0sc.g . . 3
7 lfl0sc.d . . . 4 Scalar
8 lfl0sc.k . . . 4
9 lfl0sc.f . . . 4 LFnl
107, 8, 1, 9lflf 29923 . . 3
115, 6, 10syl2anc 644 . 2
127lmodrng 15960 . . . 4
135, 12syl 16 . . 3
14 lfl0sc.o . . . 4
158, 14rng0cl 15687 . . 3
1613, 15syl 16 . 2
17 lfl0sc.t . . . 4
188, 17, 14rngrz 15703 . . 3
1913, 18sylan 459 . 2
204, 11, 16, 16, 19caofid1 6336 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958  csn 3816   cxp 4878  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083   cof 6305  cbs 13471  cmulr 13532  Scalarcsca 13534  c0g 13725  crg 15662  clmod 15952  LFnlclfn 29917 This theorem is referenced by:  lkrscss  29958  lfl1dim  29981  lfl1dim2N  29982 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-lmod 15954  df-lfl 29918
 Copyright terms: Public domain W3C validator