Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl1dim2N Structured version   Unicode version

Theorem lfl1dim2N 29920
 Description: Equivalent expressions for a 1-dim subspace (ray) of functionals. TODO: delete this if not useful; lfl1dim 29919 may be more compatible with lspsn 16078. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl1dim.v
lfl1dim.d Scalar
lfl1dim.f LFnl
lfl1dim.l LKer
lfl1dim.k
lfl1dim.t
lfl1dim.w
lfl1dim.g
Assertion
Ref Expression
lfl1dim2N
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem lfl1dim2N
StepHypRef Expression
1 lfl1dim.w . . . . . . . . 9
2 lveclmod 16178 . . . . . . . . 9
31, 2syl 16 . . . . . . . 8
4 lfl1dim.d . . . . . . . . 9 Scalar
5 lfl1dim.k . . . . . . . . 9
6 eqid 2436 . . . . . . . . 9
74, 5, 6lmod0cl 15976 . . . . . . . 8
83, 7syl 16 . . . . . . 7
98ad2antrr 707 . . . . . 6
10 simpr 448 . . . . . . 7
11 lfl1dim.v . . . . . . . 8
12 lfl1dim.f . . . . . . . 8 LFnl
13 lfl1dim.t . . . . . . . 8
143ad2antrr 707 . . . . . . . 8
15 lfl1dim.g . . . . . . . . 9
1615ad2antrr 707 . . . . . . . 8
1711, 4, 12, 5, 13, 6, 14, 16lfl0sc 29880 . . . . . . 7
1810, 17eqtr4d 2471 . . . . . 6
19 sneq 3825 . . . . . . . . . 10
2019xpeq2d 4902 . . . . . . . . 9
2120oveq2d 6097 . . . . . . . 8
2221eqeq2d 2447 . . . . . . 7
2322rspcev 3052 . . . . . 6
249, 18, 23syl2anc 643 . . . . 5
2524a1d 23 . . . 4
268ad3antrrr 711 . . . . . 6
27 lfl1dim.l . . . . . . . . . 10 LKer
283ad3antrrr 711 . . . . . . . . . 10
29 simpllr 736 . . . . . . . . . 10
3011, 12, 27, 28, 29lkrssv 29894 . . . . . . . . 9
313adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
3215adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
334, 6, 11, 12, 27lkr0f 29892 . . . . . . . . . . . . 13
3431, 32, 33syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
3534biimpar 472 . . . . . . . . . . 11
3635sseq1d 3375 . . . . . . . . . 10
3736biimpa 471 . . . . . . . . 9
3830, 37eqssd 3365 . . . . . . . 8
394, 6, 11, 12, 27lkr0f 29892 . . . . . . . . 9
4028, 29, 39syl2anc 643 . . . . . . . 8
4138, 40mpbid 202 . . . . . . 7
4215ad3antrrr 711 . . . . . . . 8
4311, 4, 12, 5, 13, 6, 28, 42lfl0sc 29880 . . . . . . 7
4441, 43eqtr4d 2471 . . . . . 6
4526, 44, 23syl2anc 643 . . . . 5
4645ex 424 . . . 4
47 eqid 2436 . . . . . 6 LSHyp LSHyp
481ad2antrr 707 . . . . . 6
4915ad2antrr 707 . . . . . . 7
50 simprr 734 . . . . . . 7
5111, 4, 6, 47, 12, 27lkrshp 29903 . . . . . . 7 LSHyp
5248, 49, 50, 51syl3anc 1184 . . . . . 6 LSHyp
53 simplr 732 . . . . . . 7
54 simprl 733 . . . . . . 7
5511, 4, 6, 47, 12, 27lkrshp 29903 . . . . . . 7 LSHyp
5648, 53, 54, 55syl3anc 1184 . . . . . 6 LSHyp
5747, 48, 52, 56lshpcmp 29786 . . . . 5
581ad3antrrr 711 . . . . . . 7
5915ad3antrrr 711 . . . . . . 7
60 simpllr 736 . . . . . . 7
61 simpr 448 . . . . . . 7
624, 5, 13, 11, 12, 27eqlkr2 29898 . . . . . . 7
6358, 59, 60, 61, 62syl121anc 1189 . . . . . 6
6463ex 424 . . . . 5
6557, 64sylbid 207 . . . 4
6625, 46, 65pm2.61da2ne 2683 . . 3
671ad2antrr 707 . . . . . . 7
6815ad2antrr 707 . . . . . . 7
69 simpr 448 . . . . . . 7
7011, 4, 5, 13, 12, 27, 67, 68, 69lkrscss 29896 . . . . . 6
7170ex 424 . . . . 5
72 fveq2 5728 . . . . . . 7
7372sseq2d 3376 . . . . . 6
7473biimprcd 217 . . . . 5
7571, 74syl6 31 . . . 4
7675rexlimdv 2829 . . 3
7766, 76impbid 184 . 2
7877rabbidva 2947 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wrex 2706  crab 2709   wss 3320  csn 3814   cxp 4876  cfv 5454  (class class class)co 6081   cof 6303  cbs 13469  cmulr 13530  Scalarcsca 13532  c0g 13723  clmod 15950  clvec 16174  LSHypclsh 29773  LFnlclfn 29855  LKerclk 29883 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-cntz 15116  df-lsm 15270  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-drng 15837  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-lvec 16175  df-lshyp 29775  df-lfl 29856  df-lkr 29884
 Copyright terms: Public domain W3C validator