Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl1sc Structured version   Unicode version

Theorem lfl1sc 29884
Description: The (right vector space) scalar product of a functional with one is the functional. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl1sc.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lfl1sc.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lfl1sc.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lfl1sc.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lfl1sc.t  |-  .x.  =  ( .r `  D )
lfl1sc.i  |-  .1.  =  ( 1r `  D )
lfl1sc.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lfl1sc.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lfl1sc  |-  ( ph  ->  ( G  o F 
.x.  ( V  X.  {  .1.  } ) )  =  G )

Proof of Theorem lfl1sc
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfl1sc.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 fvex 5744 . . . 4  |-  ( Base `  W )  e.  _V
31, 2eqeltri 2508 . . 3  |-  V  e. 
_V
43a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
5 lfl1sc.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 lfl1sc.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
7 lfl1sc.d . . . 4  |-  D  =  (Scalar `  W )
8 lfl1sc.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  D
)
9 lfl1sc.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
107, 8, 1, 9lflf 29863 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  G : V --> K )
115, 6, 10syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  G : V --> K )
12 lfl1sc.i . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  D )
13 fvex 5744 . . . 4  |-  ( 1r
`  D )  e. 
_V
1412, 13eqeltri 2508 . . 3  |-  .1.  e.  _V
1514a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  .1.  e.  _V )
167lmodrng 15960 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Ring )
175, 16syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  Ring )
18 lfl1sc.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  D )
198, 18, 12rngridm 15690 . . 3  |-  ( ( D  e.  Ring  /\  k  e.  K )  ->  (
k  .x.  .1.  )  =  k )
2017, 19sylan 459 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  K )  ->  (
k  .x.  .1.  )  =  k )
214, 11, 15, 20caofid0r 6335 1  |-  ( ph  ->  ( G  o F 
.x.  ( V  X.  {  .1.  } ) )  =  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   {csn 3816    X. cxp 4878   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    o Fcof 6305   Basecbs 13471   .rcmulr 13532  Scalarcsca 13534   Ringcrg 15662   1rcur 15664   LModclmod 15952  LFnlclfn 29857
This theorem is referenced by:  lduallmodlem  29952
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-lmod 15954  df-lfl 29858
  Copyright terms: Public domain W3C validator