Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfladd Unicode version

Theorem lfladd 29183
Description: Property of a linear functional. (lnfnaddi 23396 analog.) (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfladd.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lfladd.p  |-  .+^  =  ( +g  `  D )
lfladd.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lfladd.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lfladd.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
Assertion
Ref Expression
lfladd  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X  .+  Y
) )  =  ( ( G `  X
)  .+^  ( G `  Y ) ) )

Proof of Theorem lfladd
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  W  e.  LMod )
2 simp2 958 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  G  e.  F )
3 lfladd.d . . . . 5  |-  D  =  (Scalar `  W )
4 eqid 2389 . . . . 5  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
5 eqid 2389 . . . . 5  |-  ( 1r
`  D )  =  ( 1r `  D
)
63, 4, 5lmod1cl 15906 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 1r
`  D )  e.  ( Base `  D
) )
763ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( 1r `  D )  e.  (
Base `  D )
)
8 simp3l 985 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  X  e.  V )
9 simp3r 986 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  Y  e.  V )
10 lfladd.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
11 lfladd.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
12 eqid 2389 . . . 4  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
13 lfladd.p . . . 4  |-  .+^  =  ( +g  `  D )
14 eqid 2389 . . . 4  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
15 lfladd.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
1610, 11, 3, 12, 4, 13, 14, 15lfli 29178 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
( 1r `  D
)  e.  ( Base `  D )  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V ) )  -> 
( G `  (
( ( 1r `  D ) ( .s
`  W ) X )  .+  Y ) )  =  ( ( ( 1r `  D
) ( .r `  D ) ( G `
 X ) ) 
.+^  ( G `  Y ) ) )
171, 2, 7, 8, 9, 16syl113anc 1196 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( ( ( 1r
`  D ) ( .s `  W ) X )  .+  Y
) )  =  ( ( ( 1r `  D ) ( .r
`  D ) ( G `  X ) )  .+^  ( G `  Y ) ) )
1810, 3, 12, 5lmodvs1 15907 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) X )  =  X )
191, 8, 18syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( 1r `  D ) ( .s `  W ) X )  =  X )
2019oveq1d 6037 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) X ) 
.+  Y )  =  ( X  .+  Y
) )
2120fveq2d 5674 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( ( ( 1r
`  D ) ( .s `  W ) X )  .+  Y
) )  =  ( G `  ( X 
.+  Y ) ) )
223lmodrng 15887 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Ring )
23223ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  D  e.  Ring )
243, 4, 10, 15lflcl 29181 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X )  e.  ( Base `  D
) )
25243adant3r 1181 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  X )  e.  (
Base `  D )
)
264, 14, 5rnglidm 15616 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Ring  /\  ( G `  X )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1r `  D
) ( .r `  D ) ( G `
 X ) )  =  ( G `  X ) )
2723, 25, 26syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( 1r `  D ) ( .r `  D ) ( G `  X
) )  =  ( G `  X ) )
2827oveq1d 6037 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( 1r `  D
) ( .r `  D ) ( G `
 X ) ) 
.+^  ( G `  Y ) )  =  ( ( G `  X )  .+^  ( G `
 Y ) ) )
2917, 21, 283eqtr3d 2429 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X  .+  Y
) )  =  ( ( G `  X
)  .+^  ( G `  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Basecbs 13398   +g cplusg 13458   .rcmulr 13459  Scalarcsca 13461   .scvsca 13462   Ringcrg 15589   1rcur 15591   LModclmod 15879  LFnlclfn 29174
This theorem is referenced by:  lfladdcl  29188  hdmaplna1  32027
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-plusg 13471  df-0g 13656  df-mnd 14619  df-mgp 15578  df-rng 15592  df-ur 15594  df-lmod 15881  df-lfl 29175
  Copyright terms: Public domain W3C validator