Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfladd Unicode version

Theorem lfladd 29878
Description: Property of a linear functional. (lnfnaddi 22639 analog.) (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfladd.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lfladd.p  |-  .+^  =  ( +g  `  D )
lfladd.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lfladd.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lfladd.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
Assertion
Ref Expression
lfladd  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X  .+  Y
) )  =  ( ( G `  X
)  .+^  ( G `  Y ) ) )

Proof of Theorem lfladd
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  W  e.  LMod )
2 simp2 956 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  G  e.  F )
3 lfladd.d . . . . 5  |-  D  =  (Scalar `  W )
4 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
5 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( 1r
`  D )  =  ( 1r `  D
)
63, 4, 5lmod1cl 15673 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 1r
`  D )  e.  ( Base `  D
) )
763ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( 1r `  D )  e.  (
Base `  D )
)
8 simp3l 983 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  X  e.  V )
9 simp3r 984 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  Y  e.  V )
10 lfladd.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
11 lfladd.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
12 eqid 2296 . . . 4  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
13 lfladd.p . . . 4  |-  .+^  =  ( +g  `  D )
14 eqid 2296 . . . 4  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
15 lfladd.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
1610, 11, 3, 12, 4, 13, 14, 15lfli 29873 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
( 1r `  D
)  e.  ( Base `  D )  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V ) )  -> 
( G `  (
( ( 1r `  D ) ( .s
`  W ) X )  .+  Y ) )  =  ( ( ( 1r `  D
) ( .r `  D ) ( G `
 X ) ) 
.+^  ( G `  Y ) ) )
171, 2, 7, 8, 9, 16syl113anc 1194 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( ( ( 1r
`  D ) ( .s `  W ) X )  .+  Y
) )  =  ( ( ( 1r `  D ) ( .r
`  D ) ( G `  X ) )  .+^  ( G `  Y ) ) )
1810, 3, 12, 5lmodvs1 15674 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) X )  =  X )
191, 8, 18syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( 1r `  D ) ( .s `  W ) X )  =  X )
2019oveq1d 5889 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) X ) 
.+  Y )  =  ( X  .+  Y
) )
2120fveq2d 5545 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( ( ( 1r
`  D ) ( .s `  W ) X )  .+  Y
) )  =  ( G `  ( X 
.+  Y ) ) )
223lmodrng 15651 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Ring )
23223ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  D  e.  Ring )
243, 4, 10, 15lflcl 29876 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X )  e.  ( Base `  D
) )
25243adant3r 1179 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  X )  e.  (
Base `  D )
)
264, 14, 5rnglidm 15380 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Ring  /\  ( G `  X )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1r `  D
) ( .r `  D ) ( G `
 X ) )  =  ( G `  X ) )
2723, 25, 26syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( 1r `  D ) ( .r `  D ) ( G `  X
) )  =  ( G `  X ) )
2827oveq1d 5889 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( 1r `  D
) ( .r `  D ) ( G `
 X ) ) 
.+^  ( G `  Y ) )  =  ( ( G `  X )  .+^  ( G `
 Y ) ) )
2917, 21, 283eqtr3d 2336 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X  .+  Y
) )  =  ( ( G `  X
)  .+^  ( G `  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   Ringcrg 15353   1rcur 15355   LModclmod 15643  LFnlclfn 29869
This theorem is referenced by:  lfladdcl  29883  hdmaplna1  32722
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-lmod 15645  df-lfl 29870
  Copyright terms: Public domain W3C validator