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Theorem lfladdcl 29869
Description: Closure of addition of two functionals. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfladdcl.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
lfladdcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
lfladdcl.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lfladdcl.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lfladdcl.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
lfladdcl.h  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lfladdcl  |-  ( ph  ->  ( G  o F 
.+  H )  e.  F )

Proof of Theorem lfladdcl
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfladdcl.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
21adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  W  e.  LMod )
3 simprl 733 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  x  e.  ( Base `  R
) )
4 simprr 734 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  y  e.  ( Base `  R
) )
5 lfladdcl.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  W )
6 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
7 lfladdcl.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  R )
85, 6, 7lmodacl 15961 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x  .+  y )  e.  (
Base `  R )
)
92, 3, 4, 8syl3anc 1184 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  ( Base `  R
) )
10 lfladdcl.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
11 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
12 lfladdcl.f . . . . 5  |-  F  =  (LFnl `  W )
135, 6, 11, 12lflf 29861 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  G : ( Base `  W
) --> ( Base `  R
) )
141, 10, 13syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  G : ( Base `  W ) --> ( Base `  R ) )
15 lfladdcl.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
165, 6, 11, 12lflf 29861 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F )  ->  H : ( Base `  W
) --> ( Base `  R
) )
171, 15, 16syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  H : ( Base `  W ) --> ( Base `  R ) )
18 fvex 5742 . . . 4  |-  ( Base `  W )  e.  _V
1918a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Base `  W
)  e.  _V )
20 inidm 3550 . . 3  |-  ( (
Base `  W )  i^i  ( Base `  W
) )  =  (
Base `  W )
219, 14, 17, 19, 19, 20off 6320 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  o F 
.+  H ) : ( Base `  W
) --> ( Base `  R
) )
221adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  W  e.  LMod )
23 simpr1 963 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  R )
)
24 simpr2 964 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  W )
)
25 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
2611, 5, 25, 6lmodvscl 15967 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( x
( .s `  W
) y )  e.  ( Base `  W
) )
2722, 23, 24, 26syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( x
( .s `  W
) y )  e.  ( Base `  W
) )
28 simpr3 965 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  W )
)
29 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
3011, 29lmodvacl 15964 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
x ( .s `  W ) y )  e.  ( Base `  W
)  /\  z  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z )  e.  ( Base `  W
) )
3122, 27, 28, 30syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z )  e.  ( Base `  W
) )
32 ffn 5591 . . . . . . 7  |-  ( G : ( Base `  W
) --> ( Base `  R
)  ->  G  Fn  ( Base `  W )
)
3314, 32syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  Fn  ( Base `  W ) )
34 ffn 5591 . . . . . . 7  |-  ( H : ( Base `  W
) --> ( Base `  R
)  ->  H  Fn  ( Base `  W )
)
3517, 34syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( Base `  W ) )
36 eqidd 2437 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z )  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( G `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( G `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) ) )
37 eqidd 2437 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z )  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( H `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( H `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) ) )
3833, 35, 19, 19, 20, 36, 37ofval 6314 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z )  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( G  o F 
.+  H ) `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) )  =  ( ( G `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) ) 
.+  ( H `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) ) ) )
3931, 38syldan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G  o F  .+  H
) `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( G `
 ( ( x ( .s `  W
) y ) ( +g  `  W ) z ) )  .+  ( H `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) ) ) )
40 eqidd 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( G `  y )  =  ( G `  y ) )
41 eqidd 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( H `  y )  =  ( H `  y ) )
4233, 35, 19, 19, 20, 40, 41ofval 6314 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( ( G  o F  .+  H
) `  y )  =  ( ( G `
 y )  .+  ( H `  y ) ) )
4324, 42syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G  o F  .+  H
) `  y )  =  ( ( G `
 y )  .+  ( H `  y ) ) )
4443oveq2d 6097 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( x
( .r `  R
) ( ( G  o F  .+  H
) `  y )
)  =  ( x ( .r `  R
) ( ( G `
 y )  .+  ( H `  y ) ) ) )
45 eqidd 2437 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
46 eqidd 2437 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( H `  z )  =  ( H `  z ) )
4733, 35, 19, 19, 20, 45, 46ofval 6314 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( ( G  o F  .+  H
) `  z )  =  ( ( G `
 z )  .+  ( H `  z ) ) )
4828, 47syldan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G  o F  .+  H
) `  z )  =  ( ( G `
 z )  .+  ( H `  z ) ) )
4944, 48oveq12d 6099 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  R ) ( ( G  o F  .+  H ) `  y
) )  .+  (
( G  o F 
.+  H ) `  z ) )  =  ( ( x ( .r `  R ) ( ( G `  y )  .+  ( H `  y )
) )  .+  (
( G `  z
)  .+  ( H `  z ) ) ) )
5010adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  G  e.  F )
515, 7, 11, 29, 12lfladd 29864 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
( x ( .s
`  W ) y )  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( G `  (
( x ( .s
`  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( G `
 ( x ( .s `  W ) y ) )  .+  ( G `  z ) ) )
5222, 50, 27, 28, 51syl112anc 1188 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( G `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) )  =  ( ( G `  ( x ( .s `  W
) y ) ) 
.+  ( G `  z ) ) )
5315adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  H  e.  F )
545, 7, 11, 29, 12lfladd 29864 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F  /\  (
( x ( .s
`  W ) y )  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( H `  (
( x ( .s
`  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( H `
 ( x ( .s `  W ) y ) )  .+  ( H `  z ) ) )
5522, 53, 27, 28, 54syl112anc 1188 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( H `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) )  =  ( ( H `  ( x ( .s `  W
) y ) ) 
.+  ( H `  z ) ) )
5652, 55oveq12d 6099 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) ) 
.+  ( H `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) ) )  =  ( ( ( G `  ( x ( .s
`  W ) y ) )  .+  ( G `  z )
)  .+  ( ( H `  ( x
( .s `  W
) y ) ) 
.+  ( H `  z ) ) ) )
575lmodrng 15958 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
5822, 57syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  R  e.  Ring )
59 rngcmn 15694 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
6058, 59syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  R  e. CMnd )
615, 6, 11, 12lflcl 29862 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
x ( .s `  W ) y )  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( G `  ( x
( .s `  W
) y ) )  e.  ( Base `  R
) )
6222, 50, 27, 61syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( G `  ( x ( .s
`  W ) y ) )  e.  (
Base `  R )
)
635, 6, 11, 12lflcl 29862 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  z  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( G `  z )  e.  ( Base `  R
) )
6422, 50, 28, 63syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( G `  z )  e.  (
Base `  R )
)
655, 6, 11, 12lflcl 29862 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F  /\  (
x ( .s `  W ) y )  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( H `  ( x
( .s `  W
) y ) )  e.  ( Base `  R
) )
6622, 53, 27, 65syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( H `  ( x ( .s
`  W ) y ) )  e.  (
Base `  R )
)
675, 6, 11, 12lflcl 29862 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F  /\  z  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( H `  z )  e.  ( Base `  R
) )
6822, 53, 28, 67syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( H `  z )  e.  (
Base `  R )
)
696, 7cmn4 15431 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. CMnd  /\  (
( G `  (
x ( .s `  W ) y ) )  e.  ( Base `  R )  /\  ( G `  z )  e.  ( Base `  R
) )  /\  (
( H `  (
x ( .s `  W ) y ) )  e.  ( Base `  R )  /\  ( H `  z )  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( ( G `
 ( x ( .s `  W ) y ) )  .+  ( G `  z ) )  .+  ( ( H `  ( x ( .s `  W
) y ) ) 
.+  ( H `  z ) ) )  =  ( ( ( G `  ( x ( .s `  W
) y ) ) 
.+  ( H `  ( x ( .s
`  W ) y ) ) )  .+  ( ( G `  z )  .+  ( H `  z )
) ) )
7060, 62, 64, 66, 68, 69syl122anc 1193 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
( G `  (
x ( .s `  W ) y ) )  .+  ( G `
 z ) ) 
.+  ( ( H `
 ( x ( .s `  W ) y ) )  .+  ( H `  z ) ) )  =  ( ( ( G `  ( x ( .s
`  W ) y ) )  .+  ( H `  ( x
( .s `  W
) y ) ) )  .+  ( ( G `  z ) 
.+  ( H `  z ) ) ) )
71 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
725, 6, 71, 11, 25, 12lflmul 29866 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( G `  (
x ( .s `  W ) y ) )  =  ( x ( .r `  R
) ( G `  y ) ) )
7322, 50, 23, 24, 72syl112anc 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( G `  ( x ( .s
`  W ) y ) )  =  ( x ( .r `  R ) ( G `
 y ) ) )
745, 6, 71, 11, 25, 12lflmul 29866 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( H `  (
x ( .s `  W ) y ) )  =  ( x ( .r `  R
) ( H `  y ) ) )
7522, 53, 23, 24, 74syl112anc 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( H `  ( x ( .s
`  W ) y ) )  =  ( x ( .r `  R ) ( H `
 y ) ) )
7673, 75oveq12d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G `  ( x
( .s `  W
) y ) ) 
.+  ( H `  ( x ( .s
`  W ) y ) ) )  =  ( ( x ( .r `  R ) ( G `  y
) )  .+  (
x ( .r `  R ) ( H `
 y ) ) ) )
775, 6, 11, 12lflcl 29862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( G `  y )  e.  ( Base `  R
) )
7822, 50, 24, 77syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( G `  y )  e.  (
Base `  R )
)
795, 6, 11, 12lflcl 29862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( H `  y )  e.  ( Base `  R
) )
8022, 53, 24, 79syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( H `  y )  e.  (
Base `  R )
)
816, 7, 71rngdi 15682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  ( G `  y )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( H `  y )  e.  (
Base `  R )
) )  ->  (
x ( .r `  R ) ( ( G `  y ) 
.+  ( H `  y ) ) )  =  ( ( x ( .r `  R
) ( G `  y ) )  .+  ( x ( .r
`  R ) ( H `  y ) ) ) )
8258, 23, 78, 80, 81syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( x
( .r `  R
) ( ( G `
 y )  .+  ( H `  y ) ) )  =  ( ( x ( .r
`  R ) ( G `  y ) )  .+  ( x ( .r `  R
) ( H `  y ) ) ) )
8376, 82eqtr4d 2471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G `  ( x
( .s `  W
) y ) ) 
.+  ( H `  ( x ( .s
`  W ) y ) ) )  =  ( x ( .r
`  R ) ( ( G `  y
)  .+  ( H `  y ) ) ) )
8483oveq1d 6096 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
( G `  (
x ( .s `  W ) y ) )  .+  ( H `
 ( x ( .s `  W ) y ) ) ) 
.+  ( ( G `
 z )  .+  ( H `  z ) ) )  =  ( ( x ( .r
`  R ) ( ( G `  y
)  .+  ( H `  y ) ) ) 
.+  ( ( G `
 z )  .+  ( H `  z ) ) ) )
8556, 70, 843eqtrd 2472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) ) 
.+  ( H `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) ) )  =  ( ( x ( .r
`  R ) ( ( G `  y
)  .+  ( H `  y ) ) ) 
.+  ( ( G `
 z )  .+  ( H `  z ) ) ) )
8649, 85eqtr4d 2471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  R ) ( ( G  o F  .+  H ) `  y
) )  .+  (
( G  o F 
.+  H ) `  z ) )  =  ( ( G `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) )  .+  ( H `
 ( ( x ( .s `  W
) y ) ( +g  `  W ) z ) ) ) )
8739, 86eqtr4d 2471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G  o F  .+  H
) `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( x ( .r `  R
) ( ( G  o F  .+  H
) `  y )
)  .+  ( ( G  o F  .+  H
) `  z )
) )
8887ralrimivvva 2799 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  R ) A. y  e.  ( Base `  W ) A. z  e.  ( Base `  W ) ( ( G  o F  .+  H ) `  (
( x ( .s
`  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( x ( .r `  R
) ( ( G  o F  .+  H
) `  y )
)  .+  ( ( G  o F  .+  H
) `  z )
) )
8911, 29, 5, 25, 6, 7, 71, 12islfl 29858 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( ( G  o F  .+  H )  e.  F  <->  ( ( G  o F 
.+  H ) : ( Base `  W
) --> ( Base `  R
)  /\  A. x  e.  ( Base `  R
) A. y  e.  ( Base `  W
) A. z  e.  ( Base `  W
) ( ( G  o F  .+  H
) `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( x ( .r `  R
) ( ( G  o F  .+  H
) `  y )
)  .+  ( ( G  o F  .+  H
) `  z )
) ) ) )
901, 89syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  o F  .+  H )  e.  F  <->  ( ( G  o F  .+  H
) : ( Base `  W ) --> ( Base `  R )  /\  A. x  e.  ( Base `  R ) A. y  e.  ( Base `  W
) A. z  e.  ( Base `  W
) ( ( G  o F  .+  H
) `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( x ( .r `  R
) ( ( G  o F  .+  H
) `  y )
)  .+  ( ( G  o F  .+  H
) `  z )
) ) ) )
9121, 88, 90mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( G  o F 
.+  H )  e.  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   _Vcvv 2956    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Fcof 6303   Basecbs 13469   +g cplusg 13529   .rcmulr 13530  Scalarcsca 13532   .scvsca 13533  CMndccmn 15412   Ringcrg 15660   LModclmod 15950  LFnlclfn 29855
This theorem is referenced by:  ldualvaddcl  29928
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-lmod 15952  df-lfl 29856
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