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Theorem lfladdcl 29883
Description: Closure of addition of two functionals. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfladdcl.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
lfladdcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
lfladdcl.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lfladdcl.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lfladdcl.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
lfladdcl.h  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lfladdcl  |-  ( ph  ->  ( G  o F 
.+  H )  e.  F )

Proof of Theorem lfladdcl
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfladdcl.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
21adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  W  e.  LMod )
3 simprl 732 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  x  e.  ( Base `  R
) )
4 simprr 733 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  y  e.  ( Base `  R
) )
5 lfladdcl.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  W )
6 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
7 lfladdcl.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  R )
85, 6, 7lmodacl 15654 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x  .+  y )  e.  (
Base `  R )
)
92, 3, 4, 8syl3anc 1182 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  ( Base `  R
) )
10 lfladdcl.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
11 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
12 lfladdcl.f . . . . 5  |-  F  =  (LFnl `  W )
135, 6, 11, 12lflf 29875 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  G : ( Base `  W
) --> ( Base `  R
) )
141, 10, 13syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  G : ( Base `  W ) --> ( Base `  R ) )
15 lfladdcl.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
165, 6, 11, 12lflf 29875 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F )  ->  H : ( Base `  W
) --> ( Base `  R
) )
171, 15, 16syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  H : ( Base `  W ) --> ( Base `  R ) )
18 fvex 5555 . . . 4  |-  ( Base `  W )  e.  _V
1918a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Base `  W
)  e.  _V )
20 inidm 3391 . . 3  |-  ( (
Base `  W )  i^i  ( Base `  W
) )  =  (
Base `  W )
219, 14, 17, 19, 19, 20off 6109 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  o F 
.+  H ) : ( Base `  W
) --> ( Base `  R
) )
221adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  W  e.  LMod )
23 simpr1 961 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  R )
)
24 simpr2 962 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  W )
)
25 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
2611, 5, 25, 6lmodvscl 15660 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( x
( .s `  W
) y )  e.  ( Base `  W
) )
2722, 23, 24, 26syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( x
( .s `  W
) y )  e.  ( Base `  W
) )
28 simpr3 963 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  W )
)
29 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
3011, 29lmodvacl 15657 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
x ( .s `  W ) y )  e.  ( Base `  W
)  /\  z  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z )  e.  ( Base `  W
) )
3122, 27, 28, 30syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z )  e.  ( Base `  W
) )
32 ffn 5405 . . . . . . 7  |-  ( G : ( Base `  W
) --> ( Base `  R
)  ->  G  Fn  ( Base `  W )
)
3314, 32syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  Fn  ( Base `  W ) )
34 ffn 5405 . . . . . . 7  |-  ( H : ( Base `  W
) --> ( Base `  R
)  ->  H  Fn  ( Base `  W )
)
3517, 34syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( Base `  W ) )
36 eqidd 2297 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z )  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( G `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( G `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) ) )
37 eqidd 2297 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z )  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( H `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( H `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) ) )
3833, 35, 19, 19, 20, 36, 37ofval 6103 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z )  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( G  o F 
.+  H ) `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) )  =  ( ( G `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) ) 
.+  ( H `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) ) ) )
3931, 38syldan 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G  o F  .+  H
) `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( G `
 ( ( x ( .s `  W
) y ) ( +g  `  W ) z ) )  .+  ( H `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) ) ) )
40 eqidd 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( G `  y )  =  ( G `  y ) )
41 eqidd 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( H `  y )  =  ( H `  y ) )
4233, 35, 19, 19, 20, 40, 41ofval 6103 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( ( G  o F  .+  H
) `  y )  =  ( ( G `
 y )  .+  ( H `  y ) ) )
4324, 42syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G  o F  .+  H
) `  y )  =  ( ( G `
 y )  .+  ( H `  y ) ) )
4443oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( x
( .r `  R
) ( ( G  o F  .+  H
) `  y )
)  =  ( x ( .r `  R
) ( ( G `
 y )  .+  ( H `  y ) ) ) )
45 eqidd 2297 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
46 eqidd 2297 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( H `  z )  =  ( H `  z ) )
4733, 35, 19, 19, 20, 45, 46ofval 6103 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( ( G  o F  .+  H
) `  z )  =  ( ( G `
 z )  .+  ( H `  z ) ) )
4828, 47syldan 456 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G  o F  .+  H
) `  z )  =  ( ( G `
 z )  .+  ( H `  z ) ) )
4944, 48oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  R ) ( ( G  o F  .+  H ) `  y
) )  .+  (
( G  o F 
.+  H ) `  z ) )  =  ( ( x ( .r `  R ) ( ( G `  y )  .+  ( H `  y )
) )  .+  (
( G `  z
)  .+  ( H `  z ) ) ) )
5010adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  G  e.  F )
515, 7, 11, 29, 12lfladd 29878 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
( x ( .s
`  W ) y )  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( G `  (
( x ( .s
`  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( G `
 ( x ( .s `  W ) y ) )  .+  ( G `  z ) ) )
5222, 50, 27, 28, 51syl112anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( G `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) )  =  ( ( G `  ( x ( .s `  W
) y ) ) 
.+  ( G `  z ) ) )
5315adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  H  e.  F )
545, 7, 11, 29, 12lfladd 29878 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F  /\  (
( x ( .s
`  W ) y )  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( H `  (
( x ( .s
`  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( H `
 ( x ( .s `  W ) y ) )  .+  ( H `  z ) ) )
5522, 53, 27, 28, 54syl112anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( H `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) )  =  ( ( H `  ( x ( .s `  W
) y ) ) 
.+  ( H `  z ) ) )
5652, 55oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) ) 
.+  ( H `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) ) )  =  ( ( ( G `  ( x ( .s
`  W ) y ) )  .+  ( G `  z )
)  .+  ( ( H `  ( x
( .s `  W
) y ) ) 
.+  ( H `  z ) ) ) )
575lmodrng 15651 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
5822, 57syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  R  e.  Ring )
59 rngcmn 15387 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
6058, 59syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  R  e. CMnd )
615, 6, 11, 12lflcl 29876 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
x ( .s `  W ) y )  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( G `  ( x
( .s `  W
) y ) )  e.  ( Base `  R
) )
6222, 50, 27, 61syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( G `  ( x ( .s
`  W ) y ) )  e.  (
Base `  R )
)
635, 6, 11, 12lflcl 29876 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  z  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( G `  z )  e.  ( Base `  R
) )
6422, 50, 28, 63syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( G `  z )  e.  (
Base `  R )
)
655, 6, 11, 12lflcl 29876 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F  /\  (
x ( .s `  W ) y )  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( H `  ( x
( .s `  W
) y ) )  e.  ( Base `  R
) )
6622, 53, 27, 65syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( H `  ( x ( .s
`  W ) y ) )  e.  (
Base `  R )
)
675, 6, 11, 12lflcl 29876 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F  /\  z  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( H `  z )  e.  ( Base `  R
) )
6822, 53, 28, 67syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( H `  z )  e.  (
Base `  R )
)
696, 7cmn4 15124 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. CMnd  /\  (
( G `  (
x ( .s `  W ) y ) )  e.  ( Base `  R )  /\  ( G `  z )  e.  ( Base `  R
) )  /\  (
( H `  (
x ( .s `  W ) y ) )  e.  ( Base `  R )  /\  ( H `  z )  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( ( G `
 ( x ( .s `  W ) y ) )  .+  ( G `  z ) )  .+  ( ( H `  ( x ( .s `  W
) y ) ) 
.+  ( H `  z ) ) )  =  ( ( ( G `  ( x ( .s `  W
) y ) ) 
.+  ( H `  ( x ( .s
`  W ) y ) ) )  .+  ( ( G `  z )  .+  ( H `  z )
) ) )
7060, 62, 64, 66, 68, 69syl122anc 1191 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
( G `  (
x ( .s `  W ) y ) )  .+  ( G `
 z ) ) 
.+  ( ( H `
 ( x ( .s `  W ) y ) )  .+  ( H `  z ) ) )  =  ( ( ( G `  ( x ( .s
`  W ) y ) )  .+  ( H `  ( x
( .s `  W
) y ) ) )  .+  ( ( G `  z ) 
.+  ( H `  z ) ) ) )
71 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
725, 6, 71, 11, 25, 12lflmul 29880 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( G `  (
x ( .s `  W ) y ) )  =  ( x ( .r `  R
) ( G `  y ) ) )
7322, 50, 23, 24, 72syl112anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( G `  ( x ( .s
`  W ) y ) )  =  ( x ( .r `  R ) ( G `
 y ) ) )
745, 6, 71, 11, 25, 12lflmul 29880 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( H `  (
x ( .s `  W ) y ) )  =  ( x ( .r `  R
) ( H `  y ) ) )
7522, 53, 23, 24, 74syl112anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( H `  ( x ( .s
`  W ) y ) )  =  ( x ( .r `  R ) ( H `
 y ) ) )
7673, 75oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G `  ( x
( .s `  W
) y ) ) 
.+  ( H `  ( x ( .s
`  W ) y ) ) )  =  ( ( x ( .r `  R ) ( G `  y
) )  .+  (
x ( .r `  R ) ( H `
 y ) ) ) )
775, 6, 11, 12lflcl 29876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( G `  y )  e.  ( Base `  R
) )
7822, 50, 24, 77syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( G `  y )  e.  (
Base `  R )
)
795, 6, 11, 12lflcl 29876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( H `  y )  e.  ( Base `  R
) )
8022, 53, 24, 79syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( H `  y )  e.  (
Base `  R )
)
816, 7, 71rngdi 15375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  ( G `  y )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( H `  y )  e.  (
Base `  R )
) )  ->  (
x ( .r `  R ) ( ( G `  y ) 
.+  ( H `  y ) ) )  =  ( ( x ( .r `  R
) ( G `  y ) )  .+  ( x ( .r
`  R ) ( H `  y ) ) ) )
8258, 23, 78, 80, 81syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( x
( .r `  R
) ( ( G `
 y )  .+  ( H `  y ) ) )  =  ( ( x ( .r
`  R ) ( G `  y ) )  .+  ( x ( .r `  R
) ( H `  y ) ) ) )
8376, 82eqtr4d 2331 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G `  ( x
( .s `  W
) y ) ) 
.+  ( H `  ( x ( .s
`  W ) y ) ) )  =  ( x ( .r
`  R ) ( ( G `  y
)  .+  ( H `  y ) ) ) )
8483oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
( G `  (
x ( .s `  W ) y ) )  .+  ( H `
 ( x ( .s `  W ) y ) ) ) 
.+  ( ( G `
 z )  .+  ( H `  z ) ) )  =  ( ( x ( .r
`  R ) ( ( G `  y
)  .+  ( H `  y ) ) ) 
.+  ( ( G `
 z )  .+  ( H `  z ) ) ) )
8556, 70, 843eqtrd 2332 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) ) 
.+  ( H `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) ) )  =  ( ( x ( .r
`  R ) ( ( G `  y
)  .+  ( H `  y ) ) ) 
.+  ( ( G `
 z )  .+  ( H `  z ) ) ) )
8649, 85eqtr4d 2331 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  R ) ( ( G  o F  .+  H ) `  y
) )  .+  (
( G  o F 
.+  H ) `  z ) )  =  ( ( G `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) )  .+  ( H `
 ( ( x ( .s `  W
) y ) ( +g  `  W ) z ) ) ) )
8739, 86eqtr4d 2331 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G  o F  .+  H
) `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( x ( .r `  R
) ( ( G  o F  .+  H
) `  y )
)  .+  ( ( G  o F  .+  H
) `  z )
) )
8887ralrimivvva 2649 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  R ) A. y  e.  ( Base `  W ) A. z  e.  ( Base `  W ) ( ( G  o F  .+  H ) `  (
( x ( .s
`  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( x ( .r `  R
) ( ( G  o F  .+  H
) `  y )
)  .+  ( ( G  o F  .+  H
) `  z )
) )
8911, 29, 5, 25, 6, 7, 71, 12islfl 29872 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( ( G  o F  .+  H )  e.  F  <->  ( ( G  o F 
.+  H ) : ( Base `  W
) --> ( Base `  R
)  /\  A. x  e.  ( Base `  R
) A. y  e.  ( Base `  W
) A. z  e.  ( Base `  W
) ( ( G  o F  .+  H
) `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( x ( .r `  R
) ( ( G  o F  .+  H
) `  y )
)  .+  ( ( G  o F  .+  H
) `  z )
) ) ) )
901, 89syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  o F  .+  H )  e.  F  <->  ( ( G  o F  .+  H
) : ( Base `  W ) --> ( Base `  R )  /\  A. x  e.  ( Base `  R ) A. y  e.  ( Base `  W
) A. z  e.  ( Base `  W
) ( ( G  o F  .+  H
) `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( x ( .r `  R
) ( ( G  o F  .+  H
) `  y )
)  .+  ( ( G  o F  .+  H
) `  z )
) ) ) )
9121, 88, 90mpbir2and 888 1  |-  ( ph  ->  ( G  o F 
.+  H )  e.  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228  CMndccmn 15105   Ringcrg 15353   LModclmod 15643  LFnlclfn 29869
This theorem is referenced by:  ldualvaddcl  29942
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-lmod 15645  df-lfl 29870
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