Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfladdcl Structured version   Unicode version

 Description: Closure of addition of two functionals. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfladdcl.w . . . . 5
21adantr 452 . . . 4
3 simprl 733 . . . 4
4 simprr 734 . . . 4
5 lfladdcl.r . . . . 5 Scalar
6 eqid 2436 . . . . 5
7 lfladdcl.p . . . . 5
85, 6, 7lmodacl 15961 . . . 4
92, 3, 4, 8syl3anc 1184 . . 3
10 lfladdcl.g . . . 4
11 eqid 2436 . . . . 5
12 lfladdcl.f . . . . 5 LFnl
135, 6, 11, 12lflf 29861 . . . 4
141, 10, 13syl2anc 643 . . 3
15 lfladdcl.h . . . 4
165, 6, 11, 12lflf 29861 . . . 4
171, 15, 16syl2anc 643 . . 3
18 fvex 5742 . . . 4
1918a1i 11 . . 3
20 inidm 3550 . . 3
219, 14, 17, 19, 19, 20off 6320 . 2
221adantr 452 . . . . . 6
23 simpr1 963 . . . . . . 7
24 simpr2 964 . . . . . . 7
25 eqid 2436 . . . . . . . 8
2611, 5, 25, 6lmodvscl 15967 . . . . . . 7
2722, 23, 24, 26syl3anc 1184 . . . . . 6
28 simpr3 965 . . . . . 6
29 eqid 2436 . . . . . . 7
3011, 29lmodvacl 15964 . . . . . 6
3122, 27, 28, 30syl3anc 1184 . . . . 5
32 ffn 5591 . . . . . . 7
3314, 32syl 16 . . . . . 6
34 ffn 5591 . . . . . . 7
3517, 34syl 16 . . . . . 6
36 eqidd 2437 . . . . . 6
37 eqidd 2437 . . . . . 6
3833, 35, 19, 19, 20, 36, 37ofval 6314 . . . . 5
3931, 38syldan 457 . . . 4
40 eqidd 2437 . . . . . . . . 9
41 eqidd 2437 . . . . . . . . 9
4233, 35, 19, 19, 20, 40, 41ofval 6314 . . . . . . . 8
4324, 42syldan 457 . . . . . . 7
4443oveq2d 6097 . . . . . 6
45 eqidd 2437 . . . . . . . 8
46 eqidd 2437 . . . . . . . 8
4733, 35, 19, 19, 20, 45, 46ofval 6314 . . . . . . 7
4828, 47syldan 457 . . . . . 6
4944, 48oveq12d 6099 . . . . 5
5010adantr 452 . . . . . . . 8
515, 7, 11, 29, 12lfladd 29864 . . . . . . . 8
5222, 50, 27, 28, 51syl112anc 1188 . . . . . . 7
5315adantr 452 . . . . . . . 8
545, 7, 11, 29, 12lfladd 29864 . . . . . . . 8
5522, 53, 27, 28, 54syl112anc 1188 . . . . . . 7
5652, 55oveq12d 6099 . . . . . 6
575lmodrng 15958 . . . . . . . . 9
5822, 57syl 16 . . . . . . . 8
59 rngcmn 15694 . . . . . . . 8 CMnd
6058, 59syl 16 . . . . . . 7 CMnd
615, 6, 11, 12lflcl 29862 . . . . . . . 8
6222, 50, 27, 61syl3anc 1184 . . . . . . 7
635, 6, 11, 12lflcl 29862 . . . . . . . 8
6422, 50, 28, 63syl3anc 1184 . . . . . . 7
655, 6, 11, 12lflcl 29862 . . . . . . . 8
6622, 53, 27, 65syl3anc 1184 . . . . . . 7
675, 6, 11, 12lflcl 29862 . . . . . . . 8
6822, 53, 28, 67syl3anc 1184 . . . . . . 7
696, 7cmn4 15431 . . . . . . 7 CMnd
7060, 62, 64, 66, 68, 69syl122anc 1193 . . . . . 6
71 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11
725, 6, 71, 11, 25, 12lflmul 29866 . . . . . . . . . 10
7322, 50, 23, 24, 72syl112anc 1188 . . . . . . . . 9
745, 6, 71, 11, 25, 12lflmul 29866 . . . . . . . . . 10
7522, 53, 23, 24, 74syl112anc 1188 . . . . . . . . 9
7673, 75oveq12d 6099 . . . . . . . 8
775, 6, 11, 12lflcl 29862 . . . . . . . . . 10
7822, 50, 24, 77syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
795, 6, 11, 12lflcl 29862 . . . . . . . . . 10
8022, 53, 24, 79syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
816, 7, 71rngdi 15682 . . . . . . . . 9
8258, 23, 78, 80, 81syl13anc 1186 . . . . . . . 8
8376, 82eqtr4d 2471 . . . . . . 7
8483oveq1d 6096 . . . . . 6
8556, 70, 843eqtrd 2472 . . . . 5
8649, 85eqtr4d 2471 . . . 4
8739, 86eqtr4d 2471 . . 3
8887ralrimivvva 2799 . 2
8911, 29, 5, 25, 6, 7, 71, 12islfl 29858 . . 3
901, 89syl 16 . 2
9121, 88, 90mpbir2and 889 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  cvv 2956   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cof 6303  cbs 13469   cplusg 13529  cmulr 13530  Scalarcsca 13532  cvsca 13533  CMndccmn 15412  crg 15660  clmod 15950  LFnlclfn 29855 This theorem is referenced by:  ldualvaddcl  29928 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-lmod 15952  df-lfl 29856
 Copyright terms: Public domain W3C validator