Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfladdcl Unicode version

Theorem lfladdcl 29261
Description: Closure of addition of two functionals. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfladdcl.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
lfladdcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
lfladdcl.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lfladdcl.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lfladdcl.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
lfladdcl.h  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lfladdcl  |-  ( ph  ->  ( G  o F 
.+  H )  e.  F )

Proof of Theorem lfladdcl
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfladdcl.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
21adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  W  e.  LMod )
3 simprl 732 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  x  e.  ( Base `  R
) )
4 simprr 733 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  y  e.  ( Base `  R
) )
5 lfladdcl.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  W )
6 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
7 lfladdcl.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  R )
85, 6, 7lmodacl 15638 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x  .+  y )  e.  (
Base `  R )
)
92, 3, 4, 8syl3anc 1182 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  ( Base `  R
) )
10 lfladdcl.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
11 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
12 lfladdcl.f . . . . 5  |-  F  =  (LFnl `  W )
135, 6, 11, 12lflf 29253 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  G : ( Base `  W
) --> ( Base `  R
) )
141, 10, 13syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  G : ( Base `  W ) --> ( Base `  R ) )
15 lfladdcl.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
165, 6, 11, 12lflf 29253 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F )  ->  H : ( Base `  W
) --> ( Base `  R
) )
171, 15, 16syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  H : ( Base `  W ) --> ( Base `  R ) )
18 fvex 5539 . . . 4  |-  ( Base `  W )  e.  _V
1918a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Base `  W
)  e.  _V )
20 inidm 3378 . . 3  |-  ( (
Base `  W )  i^i  ( Base `  W
) )  =  (
Base `  W )
219, 14, 17, 19, 19, 20off 6093 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  o F 
.+  H ) : ( Base `  W
) --> ( Base `  R
) )
221adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  W  e.  LMod )
23 simpr1 961 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  R )
)
24 simpr2 962 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  W )
)
25 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
2611, 5, 25, 6lmodvscl 15644 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( x
( .s `  W
) y )  e.  ( Base `  W
) )
2722, 23, 24, 26syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( x
( .s `  W
) y )  e.  ( Base `  W
) )
28 simpr3 963 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  W )
)
29 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
3011, 29lmodvacl 15641 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
x ( .s `  W ) y )  e.  ( Base `  W
)  /\  z  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z )  e.  ( Base `  W
) )
3122, 27, 28, 30syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z )  e.  ( Base `  W
) )
32 ffn 5389 . . . . . . 7  |-  ( G : ( Base `  W
) --> ( Base `  R
)  ->  G  Fn  ( Base `  W )
)
3314, 32syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  Fn  ( Base `  W ) )
34 ffn 5389 . . . . . . 7  |-  ( H : ( Base `  W
) --> ( Base `  R
)  ->  H  Fn  ( Base `  W )
)
3517, 34syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( Base `  W ) )
36 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z )  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( G `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( G `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) ) )
37 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z )  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( H `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( H `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) ) )
3833, 35, 19, 19, 20, 36, 37ofval 6087 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z )  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( G  o F 
.+  H ) `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) )  =  ( ( G `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) ) 
.+  ( H `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) ) ) )
3931, 38syldan 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G  o F  .+  H
) `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( G `
 ( ( x ( .s `  W
) y ) ( +g  `  W ) z ) )  .+  ( H `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) ) ) )
40 eqidd 2284 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( G `  y )  =  ( G `  y ) )
41 eqidd 2284 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( H `  y )  =  ( H `  y ) )
4233, 35, 19, 19, 20, 40, 41ofval 6087 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( ( G  o F  .+  H
) `  y )  =  ( ( G `
 y )  .+  ( H `  y ) ) )
4324, 42syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G  o F  .+  H
) `  y )  =  ( ( G `
 y )  .+  ( H `  y ) ) )
4443oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( x
( .r `  R
) ( ( G  o F  .+  H
) `  y )
)  =  ( x ( .r `  R
) ( ( G `
 y )  .+  ( H `  y ) ) ) )
45 eqidd 2284 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
46 eqidd 2284 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( H `  z )  =  ( H `  z ) )
4733, 35, 19, 19, 20, 45, 46ofval 6087 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( ( G  o F  .+  H
) `  z )  =  ( ( G `
 z )  .+  ( H `  z ) ) )
4828, 47syldan 456 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G  o F  .+  H
) `  z )  =  ( ( G `
 z )  .+  ( H `  z ) ) )
4944, 48oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  R ) ( ( G  o F  .+  H ) `  y
) )  .+  (
( G  o F 
.+  H ) `  z ) )  =  ( ( x ( .r `  R ) ( ( G `  y )  .+  ( H `  y )
) )  .+  (
( G `  z
)  .+  ( H `  z ) ) ) )
5010adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  G  e.  F )
515, 7, 11, 29, 12lfladd 29256 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
( x ( .s
`  W ) y )  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( G `  (
( x ( .s
`  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( G `
 ( x ( .s `  W ) y ) )  .+  ( G `  z ) ) )
5222, 50, 27, 28, 51syl112anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( G `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) )  =  ( ( G `  ( x ( .s `  W
) y ) ) 
.+  ( G `  z ) ) )
5315adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  H  e.  F )
545, 7, 11, 29, 12lfladd 29256 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F  /\  (
( x ( .s
`  W ) y )  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( H `  (
( x ( .s
`  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( H `
 ( x ( .s `  W ) y ) )  .+  ( H `  z ) ) )
5522, 53, 27, 28, 54syl112anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( H `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) )  =  ( ( H `  ( x ( .s `  W
) y ) ) 
.+  ( H `  z ) ) )
5652, 55oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) ) 
.+  ( H `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) ) )  =  ( ( ( G `  ( x ( .s
`  W ) y ) )  .+  ( G `  z )
)  .+  ( ( H `  ( x
( .s `  W
) y ) ) 
.+  ( H `  z ) ) ) )
575lmodrng 15635 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
5822, 57syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  R  e.  Ring )
59 rngcmn 15371 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
6058, 59syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  R  e. CMnd )
615, 6, 11, 12lflcl 29254 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
x ( .s `  W ) y )  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( G `  ( x
( .s `  W
) y ) )  e.  ( Base `  R
) )
6222, 50, 27, 61syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( G `  ( x ( .s
`  W ) y ) )  e.  (
Base `  R )
)
635, 6, 11, 12lflcl 29254 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  z  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( G `  z )  e.  ( Base `  R
) )
6422, 50, 28, 63syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( G `  z )  e.  (
Base `  R )
)
655, 6, 11, 12lflcl 29254 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F  /\  (
x ( .s `  W ) y )  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( H `  ( x
( .s `  W
) y ) )  e.  ( Base `  R
) )
6622, 53, 27, 65syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( H `  ( x ( .s
`  W ) y ) )  e.  (
Base `  R )
)
675, 6, 11, 12lflcl 29254 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F  /\  z  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( H `  z )  e.  ( Base `  R
) )
6822, 53, 28, 67syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( H `  z )  e.  (
Base `  R )
)
696, 7cmn4 15108 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. CMnd  /\  (
( G `  (
x ( .s `  W ) y ) )  e.  ( Base `  R )  /\  ( G `  z )  e.  ( Base `  R
) )  /\  (
( H `  (
x ( .s `  W ) y ) )  e.  ( Base `  R )  /\  ( H `  z )  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( ( G `
 ( x ( .s `  W ) y ) )  .+  ( G `  z ) )  .+  ( ( H `  ( x ( .s `  W
) y ) ) 
.+  ( H `  z ) ) )  =  ( ( ( G `  ( x ( .s `  W
) y ) ) 
.+  ( H `  ( x ( .s
`  W ) y ) ) )  .+  ( ( G `  z )  .+  ( H `  z )
) ) )
7060, 62, 64, 66, 68, 69syl122anc 1191 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
( G `  (
x ( .s `  W ) y ) )  .+  ( G `
 z ) ) 
.+  ( ( H `
 ( x ( .s `  W ) y ) )  .+  ( H `  z ) ) )  =  ( ( ( G `  ( x ( .s
`  W ) y ) )  .+  ( H `  ( x
( .s `  W
) y ) ) )  .+  ( ( G `  z ) 
.+  ( H `  z ) ) ) )
71 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
725, 6, 71, 11, 25, 12lflmul 29258 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( G `  (
x ( .s `  W ) y ) )  =  ( x ( .r `  R
) ( G `  y ) ) )
7322, 50, 23, 24, 72syl112anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( G `  ( x ( .s
`  W ) y ) )  =  ( x ( .r `  R ) ( G `
 y ) ) )
745, 6, 71, 11, 25, 12lflmul 29258 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( H `  (
x ( .s `  W ) y ) )  =  ( x ( .r `  R
) ( H `  y ) ) )
7522, 53, 23, 24, 74syl112anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( H `  ( x ( .s
`  W ) y ) )  =  ( x ( .r `  R ) ( H `
 y ) ) )
7673, 75oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G `  ( x
( .s `  W
) y ) ) 
.+  ( H `  ( x ( .s
`  W ) y ) ) )  =  ( ( x ( .r `  R ) ( G `  y
) )  .+  (
x ( .r `  R ) ( H `
 y ) ) ) )
775, 6, 11, 12lflcl 29254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( G `  y )  e.  ( Base `  R
) )
7822, 50, 24, 77syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( G `  y )  e.  (
Base `  R )
)
795, 6, 11, 12lflcl 29254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( H `  y )  e.  ( Base `  R
) )
8022, 53, 24, 79syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( H `  y )  e.  (
Base `  R )
)
816, 7, 71rngdi 15359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  ( G `  y )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( H `  y )  e.  (
Base `  R )
) )  ->  (
x ( .r `  R ) ( ( G `  y ) 
.+  ( H `  y ) ) )  =  ( ( x ( .r `  R
) ( G `  y ) )  .+  ( x ( .r
`  R ) ( H `  y ) ) ) )
8258, 23, 78, 80, 81syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( x
( .r `  R
) ( ( G `
 y )  .+  ( H `  y ) ) )  =  ( ( x ( .r
`  R ) ( G `  y ) )  .+  ( x ( .r `  R
) ( H `  y ) ) ) )
8376, 82eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G `  ( x
( .s `  W
) y ) ) 
.+  ( H `  ( x ( .s
`  W ) y ) ) )  =  ( x ( .r
`  R ) ( ( G `  y
)  .+  ( H `  y ) ) ) )
8483oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
( G `  (
x ( .s `  W ) y ) )  .+  ( H `
 ( x ( .s `  W ) y ) ) ) 
.+  ( ( G `
 z )  .+  ( H `  z ) ) )  =  ( ( x ( .r
`  R ) ( ( G `  y
)  .+  ( H `  y ) ) ) 
.+  ( ( G `
 z )  .+  ( H `  z ) ) ) )
8556, 70, 843eqtrd 2319 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) ) 
.+  ( H `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) ) )  =  ( ( x ( .r
`  R ) ( ( G `  y
)  .+  ( H `  y ) ) ) 
.+  ( ( G `
 z )  .+  ( H `  z ) ) ) )
8649, 85eqtr4d 2318 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  R ) ( ( G  o F  .+  H ) `  y
) )  .+  (
( G  o F 
.+  H ) `  z ) )  =  ( ( G `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) )  .+  ( H `
 ( ( x ( .s `  W
) y ) ( +g  `  W ) z ) ) ) )
8739, 86eqtr4d 2318 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G  o F  .+  H
) `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( x ( .r `  R
) ( ( G  o F  .+  H
) `  y )
)  .+  ( ( G  o F  .+  H
) `  z )
) )
8887ralrimivvva 2636 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  R ) A. y  e.  ( Base `  W ) A. z  e.  ( Base `  W ) ( ( G  o F  .+  H ) `  (
( x ( .s
`  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( x ( .r `  R
) ( ( G  o F  .+  H
) `  y )
)  .+  ( ( G  o F  .+  H
) `  z )
) )
8911, 29, 5, 25, 6, 7, 71, 12islfl 29250 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( ( G  o F  .+  H )  e.  F  <->  ( ( G  o F 
.+  H ) : ( Base `  W
) --> ( Base `  R
)  /\  A. x  e.  ( Base `  R
) A. y  e.  ( Base `  W
) A. z  e.  ( Base `  W
) ( ( G  o F  .+  H
) `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( x ( .r `  R
) ( ( G  o F  .+  H
) `  y )
)  .+  ( ( G  o F  .+  H
) `  z )
) ) ) )
901, 89syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  o F  .+  H )  e.  F  <->  ( ( G  o F  .+  H
) : ( Base `  W ) --> ( Base `  R )  /\  A. x  e.  ( Base `  R ) A. y  e.  ( Base `  W
) A. z  e.  ( Base `  W
) ( ( G  o F  .+  H
) `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( x ( .r `  R
) ( ( G  o F  .+  H
) `  y )
)  .+  ( ( G  o F  .+  H
) `  z )
) ) ) )
9121, 88, 90mpbir2and 888 1  |-  ( ph  ->  ( G  o F 
.+  H )  e.  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212  CMndccmn 15089   Ringcrg 15337   LModclmod 15627  LFnlclfn 29247
This theorem is referenced by:  ldualvaddcl  29320
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-lfl 29248
  Copyright terms: Public domain W3C validator