Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfladdcom Unicode version

Theorem lfladdcom 29567
Description: Commutativity of functional addition. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfladdcl.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
lfladdcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
lfladdcl.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lfladdcl.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lfladdcl.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
lfladdcl.h  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lfladdcom  |-  ( ph  ->  ( G  o F 
.+  H )  =  ( H  o F 
.+  G ) )

Proof of Theorem lfladdcom
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5709 . . 3  |-  ( Base `  W )  e.  _V
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  W
)  e.  _V )
3 lfladdcl.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lfladdcl.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
5 lfladdcl.r . . . 4  |-  R  =  (Scalar `  W )
6 eqid 2412 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
7 eqid 2412 . . . 4  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
8 lfladdcl.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
95, 6, 7, 8lflf 29558 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  G : ( Base `  W
) --> ( Base `  R
) )
103, 4, 9syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  G : ( Base `  W ) --> ( Base `  R ) )
11 lfladdcl.h . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
125, 6, 7, 8lflf 29558 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F )  ->  H : ( Base `  W
) --> ( Base `  R
) )
133, 11, 12syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  H : ( Base `  W ) --> ( Base `  R ) )
145lmodrng 15921 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
15 rngabl 15656 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Abel )
163, 14, 153syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Abel )
1716adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  R  e.  Abel )
18 simprl 733 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  x  e.  ( Base `  R
) )
19 simprr 734 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  y  e.  ( Base `  R
) )
20 lfladdcl.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  R )
216, 20ablcom 15392 . . 3  |-  ( ( R  e.  Abel  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) )
2217, 18, 19, 21syl3anc 1184 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) )
232, 10, 13, 22caofcom 6303 1  |-  ( ph  ->  ( G  o F 
.+  H )  =  ( H  o F 
.+  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2924   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    o Fcof 6270   Basecbs 13432   +g cplusg 13492  Scalarcsca 13495   Abelcabel 15376   Ringcrg 15623   LModclmod 15913  LFnlclfn 29552
This theorem is referenced by:  ldualvaddcom  29635
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-plusg 13505  df-0g 13690  df-mnd 14653  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-cmn 15377  df-abl 15378  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-ur 15628  df-lmod 15915  df-lfl 29553
  Copyright terms: Public domain W3C validator