Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflcl Unicode version

Theorem lflcl 29179
Description: A linear functional value is a scalar. (Contributed by NM, 15-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflf.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lflf.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lflf.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lflf.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
Assertion
Ref Expression
lflcl  |-  ( ( W  e.  Y  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X
)  e.  K )

Proof of Theorem lflcl
StepHypRef Expression
1 lflf.d . . . 4  |-  D  =  (Scalar `  W )
2 lflf.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  D
)
3 lflf.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 lflf.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
51, 2, 3, 4lflf 29178 . . 3  |-  ( ( W  e.  Y  /\  G  e.  F )  ->  G : V --> K )
653adant3 977 . 2  |-  ( ( W  e.  Y  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  G : V --> K )
7 simp3 959 . 2  |-  ( ( W  e.  Y  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
86, 7ffvelrnd 5810 1  |-  ( ( W  e.  Y  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X
)  e.  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   -->wf 5390   ` cfv 5394   Basecbs 13396  Scalarcsca 13459  LFnlclfn 29172
This theorem is referenced by:  lfl0  29180  lfladd  29181  lflsub  29182  lflmul  29183  lfl1  29185  lfladdcl  29186  lflnegcl  29190  lflvscl  29192  lkrsc  29212  eqlkr  29214  eqlkr3  29216  lkrlsp  29217  ldualvsubval  29272  dochkr1  31593  dochkr1OLDN  31594  lcfl7lem  31614  lclkrlem2m  31634  lclkrlem2o  31636  lclkrlem2p  31637  lcfrlem1  31657  lcfrlem2  31658  lcfrlem3  31659  lcfrlem29  31686  lcfrlem31  31688  lcfrlem33  31690  lcdvbasecl  31711
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-map 6956  df-lfl 29173
  Copyright terms: Public domain W3C validator