Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflcl Unicode version

Theorem lflcl 28627
Description: A linear functional value is a scalar. (Contributed by NM, 15-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflf.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lflf.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lflf.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lflf.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
Assertion
Ref Expression
lflcl  |-  ( ( W  e.  Y  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X
)  e.  K )

Proof of Theorem lflcl
StepHypRef Expression
1 lflf.d . . . 4  |-  D  =  (Scalar `  W )
2 lflf.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  D
)
3 lflf.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 lflf.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
51, 2, 3, 4lflf 28626 . . 3  |-  ( ( W  e.  Y  /\  G  e.  F )  ->  G : V --> K )
653adant3 975 . 2  |-  ( ( W  e.  Y  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  G : V --> K )
7 simp3 957 . 2  |-  ( ( W  e.  Y  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
8 ffvelrn 5663 . 2  |-  ( ( G : V --> K  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X
)  e.  K )
96, 7, 8syl2anc 642 1  |-  ( ( W  e.  Y  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X
)  e.  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   -->wf 5251   ` cfv 5255   Basecbs 13148  Scalarcsca 13211  LFnlclfn 28620
This theorem is referenced by:  lfl0  28628  lfladd  28629  lflsub  28630  lflmul  28631  lfl1  28633  lfladdcl  28634  lflnegcl  28638  lflvscl  28640  lkrsc  28660  eqlkr  28662  eqlkr3  28664  lkrlsp  28665  ldualvsubval  28720  dochkr1  31041  dochkr1OLDN  31042  lcfl7lem  31062  lclkrlem2m  31082  lclkrlem2o  31084  lclkrlem2p  31085  lcfrlem1  31105  lcfrlem2  31106  lcfrlem3  31107  lcfrlem29  31134  lcfrlem31  31136  lcfrlem33  31138  lcdvbasecl  31159
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-lfl 28621
  Copyright terms: Public domain W3C validator