Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflcl Unicode version

Theorem lflcl 29876
Description: A linear functional value is a scalar. (Contributed by NM, 15-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflf.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lflf.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lflf.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lflf.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
Assertion
Ref Expression
lflcl  |-  ( ( W  e.  Y  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X
)  e.  K )

Proof of Theorem lflcl
StepHypRef Expression
1 lflf.d . . . 4  |-  D  =  (Scalar `  W )
2 lflf.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  D
)
3 lflf.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 lflf.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
51, 2, 3, 4lflf 29875 . . 3  |-  ( ( W  e.  Y  /\  G  e.  F )  ->  G : V --> K )
653adant3 975 . 2  |-  ( ( W  e.  Y  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  G : V --> K )
7 simp3 957 . 2  |-  ( ( W  e.  Y  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
8 ffvelrn 5679 . 2  |-  ( ( G : V --> K  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X
)  e.  K )
96, 7, 8syl2anc 642 1  |-  ( ( W  e.  Y  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X
)  e.  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   -->wf 5267   ` cfv 5271   Basecbs 13164  Scalarcsca 13227  LFnlclfn 29869
This theorem is referenced by:  lfl0  29877  lfladd  29878  lflsub  29879  lflmul  29880  lfl1  29882  lfladdcl  29883  lflnegcl  29887  lflvscl  29889  lkrsc  29909  eqlkr  29911  eqlkr3  29913  lkrlsp  29914  ldualvsubval  29969  dochkr1  32290  dochkr1OLDN  32291  lcfl7lem  32311  lclkrlem2m  32331  lclkrlem2o  32333  lclkrlem2p  32334  lcfrlem1  32354  lcfrlem2  32355  lcfrlem3  32356  lcfrlem29  32383  lcfrlem31  32385  lcfrlem33  32387  lcdvbasecl  32408
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-lfl 29870
  Copyright terms: Public domain W3C validator