Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflmul Structured version   Unicode version

Theorem lflmul 29867
Description: Property of a linear functional. (lnfnmuli 23548 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflmul.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lflmul.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lflmul.t  |-  .X.  =  ( .r `  D )
lflmul.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lflmul.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lflmul.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
Assertion
Ref Expression
lflmul  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( G `  ( R  .x.  X
) )  =  ( R  .X.  ( G `  X ) ) )

Proof of Theorem lflmul
StepHypRef Expression
1 simp1 958 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  W  e.  LMod )
2 simp2 959 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  G  e.  F )
3 simp3l 986 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  R  e.  K )
4 simp3r 987 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  X  e.  V )
5 lflmul.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 eqid 2437 . . . . 5  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
75, 6lmod0vcl 15980 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 0g
`  W )  e.  V )
873ad2ant1 979 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( 0g `  W )  e.  V
)
9 eqid 2437 . . . 4  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
10 lflmul.d . . . 4  |-  D  =  (Scalar `  W )
11 lflmul.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
12 lflmul.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  D
)
13 eqid 2437 . . . 4  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
14 lflmul.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  D )
15 lflmul.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
165, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15lfli 29860 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V  /\  ( 0g `  W )  e.  V ) )  ->  ( G `  ( ( R  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) ) )  =  ( ( R  .X.  ( G `  X ) ) ( +g  `  D ) ( G `  ( 0g `  W ) ) ) )
171, 2, 3, 4, 8, 16syl113anc 1197 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( G `  ( ( R  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) ) )  =  ( ( R  .X.  ( G `  X ) ) ( +g  `  D ) ( G `  ( 0g `  W ) ) ) )
185, 10, 11, 12lmodvscl 15968 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( R  .x.  X )  e.  V )
191, 3, 4, 18syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( R  .x.  X )  e.  V
)
205, 9, 6lmod0vrid 15982 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( R  .x.  X )  e.  V )  ->  (
( R  .x.  X
) ( +g  `  W
) ( 0g `  W ) )  =  ( R  .x.  X
) )
211, 19, 20syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( ( R  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( 0g `  W
) )  =  ( R  .x.  X ) )
2221fveq2d 5733 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( G `  ( ( R  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) ) )  =  ( G `
 ( R  .x.  X ) ) )
23 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  D )  =  ( 0g `  D
)
2410, 23, 6, 15lfl0 29864 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  ( 0g `  W ) )  =  ( 0g `  D
) )
25243adant3 978 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( G `  ( 0g `  W
) )  =  ( 0g `  D ) )
2625oveq2d 6098 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( ( R  .X.  ( G `  X ) ) ( +g  `  D ) ( G `  ( 0g `  W ) ) )  =  ( ( R  .X.  ( G `  X ) ) ( +g  `  D ) ( 0g `  D
) ) )
2710lmodfgrp 15960 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Grp )
28273ad2ant1 979 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  D  e.  Grp )
2910, 12, 5, 15lflcl 29863 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X )  e.  K )
30293adant3l 1181 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( G `  X )  e.  K
)
3110, 12, 14lmodmcl 15963 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  ( G `  X )  e.  K )  ->  ( R  .X.  ( G `  X ) )  e.  K )
321, 3, 30, 31syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( R  .X.  ( G `  X
) )  e.  K
)
3312, 13, 23grprid 14837 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( R  .X.  ( G `
 X ) )  e.  K )  -> 
( ( R  .X.  ( G `  X ) ) ( +g  `  D
) ( 0g `  D ) )  =  ( R  .X.  ( G `  X )
) )
3428, 32, 33syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( ( R  .X.  ( G `  X ) ) ( +g  `  D ) ( 0g `  D
) )  =  ( R  .X.  ( G `  X ) ) )
3526, 34eqtrd 2469 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( ( R  .X.  ( G `  X ) ) ( +g  `  D ) ( G `  ( 0g `  W ) ) )  =  ( R 
.X.  ( G `  X ) ) )
3617, 22, 353eqtr3d 2477 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( G `  ( R  .x.  X
) )  =  ( R  .X.  ( G `  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   Basecbs 13470   +g cplusg 13530   .rcmulr 13531  Scalarcsca 13533   .scvsca 13534   0gc0g 13724   Grpcgrp 14686   LModclmod 15951  LFnlclfn 29856
This theorem is referenced by:  lfl1  29869  lfladdcl  29870  eqlkr  29898  lkrlsp  29901  dochkr1  32277  dochkr1OLDN  32278  lcfl7lem  32298  lclkrlem2m  32318  hdmaplnm1  32711
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-plusg 13543  df-0g 13728  df-mnd 14691  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-ur 15666  df-lmod 15953  df-lfl 29857
  Copyright terms: Public domain W3C validator