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Theorem lflnegcl 29265
Description: Closure of the negative of a functional. (This is specialized for the purpose of proving ldualgrp 29336, and we do not define a general operation here.) (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflnegcl.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lflnegcl.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
lflnegcl.i  |-  I  =  ( inv g `  R )
lflnegcl.n  |-  N  =  ( x  e.  V  |->  ( I `  ( G `  x )
) )
lflnegcl.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lflnegcl.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lflnegcl.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lflnegcl  |-  ( ph  ->  N  e.  F )
Distinct variable groups:    x, G    x, I    x, R    x, V    x, W    ph, x
Allowed substitution hints:    F( x)    N( x)

Proof of Theorem lflnegcl
Dummy variables  y 
k  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflnegcl.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lflnegcl.r . . . . . . . 8  |-  R  =  (Scalar `  W )
32lmodrng 15635 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
41, 3syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5 rnggrp 15346 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
64, 5syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
76adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  R  e.  Grp )
81adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  W  e.  LMod )
9 lflnegcl.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
109adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  G  e.  F )
11 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  V )
12 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
13 lflnegcl.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
14 lflnegcl.f . . . . . 6  |-  F  =  (LFnl `  W )
152, 12, 13, 14lflcl 29254 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x )  e.  ( Base `  R
) )
168, 10, 11, 15syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x )  e.  ( Base `  R
) )
17 lflnegcl.i . . . . 5  |-  I  =  ( inv g `  R )
1812, 17grpinvcl 14527 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( G `  x )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
I `  ( G `  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
197, 16, 18syl2anc 642 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
I `  ( G `  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
20 lflnegcl.n . . 3  |-  N  =  ( x  e.  V  |->  ( I `  ( G `  x )
) )
2119, 20fmptd 5684 . 2  |-  ( ph  ->  N : V --> ( Base `  R ) )
22 rngabl 15370 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Abel )
234, 22syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Abel )
2423adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  R  e.  Abel )
254adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  R  e.  Ring )
26 simpr1 961 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  k  e.  ( Base `  R
) )
271adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  W  e.  LMod )
289adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  G  e.  F )
29 simpr2 962 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  y  e.  V )
302, 12, 13, 14lflcl 29254 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  y  e.  V )  ->  ( G `  y )  e.  ( Base `  R
) )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  ( G `  y )  e.  ( Base `  R
) )
32 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
3312, 32rngcl 15354 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  k  e.  ( Base `  R
)  /\  ( G `  y )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( k
( .r `  R
) ( G `  y ) )  e.  ( Base `  R
) )
3425, 26, 31, 33syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  (
k ( .r `  R ) ( G `
 y ) )  e.  ( Base `  R
) )
35 simpr3 963 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  z  e.  V )
362, 12, 13, 14lflcl 29254 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  z  e.  V )  ->  ( G `  z )  e.  ( Base `  R
) )
3727, 28, 35, 36syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  ( G `  z )  e.  ( Base `  R
) )
38 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
3912, 38, 17ablinvadd 15111 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Abel  /\  (
k ( .r `  R ) ( G `
 y ) )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( G `  z )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( I `  ( ( k ( .r `  R ) ( G `  y
) ) ( +g  `  R ) ( G `
 z ) ) )  =  ( ( I `  ( k ( .r `  R
) ( G `  y ) ) ) ( +g  `  R
) ( I `  ( G `  z ) ) ) )
4024, 34, 37, 39syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  (
I `  ( (
k ( .r `  R ) ( G `
 y ) ) ( +g  `  R
) ( G `  z ) ) )  =  ( ( I `
 ( k ( .r `  R ) ( G `  y
) ) ) ( +g  `  R ) ( I `  ( G `  z )
) ) )
41 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
42 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
4313, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14lfli 29251 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
k  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( G `  (
( k ( .s
`  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( k ( .r `  R
) ( G `  y ) ) ( +g  `  R ) ( G `  z
) ) )
4427, 28, 26, 29, 35, 43syl113anc 1194 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  ( G `  ( (
k ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( k ( .r `  R
) ( G `  y ) ) ( +g  `  R ) ( G `  z
) ) )
4544fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  (
I `  ( G `  ( ( k ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) ) )  =  ( I `  ( ( k ( .r `  R ) ( G `
 y ) ) ( +g  `  R
) ( G `  z ) ) ) )
4612, 32, 17, 25, 26, 31rngmneg2 15383 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  (
k ( .r `  R ) ( I `
 ( G `  y ) ) )  =  ( I `  ( k ( .r
`  R ) ( G `  y ) ) ) )
4746oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  (
( k ( .r
`  R ) ( I `  ( G `
 y ) ) ) ( +g  `  R
) ( I `  ( G `  z ) ) )  =  ( ( I `  (
k ( .r `  R ) ( G `
 y ) ) ) ( +g  `  R
) ( I `  ( G `  z ) ) ) )
4840, 45, 473eqtr4d 2325 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  (
I `  ( G `  ( ( k ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) ) )  =  ( ( k ( .r
`  R ) ( I `  ( G `
 y ) ) ) ( +g  `  R
) ( I `  ( G `  z ) ) ) )
4913, 2, 42, 12lmodvscl 15644 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V )  ->  (
k ( .s `  W ) y )  e.  V )
5027, 26, 29, 49syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  (
k ( .s `  W ) y )  e.  V )
5113, 41lmodvacl 15641 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
k ( .s `  W ) y )  e.  V  /\  z  e.  V )  ->  (
( k ( .s
`  W ) y ) ( +g  `  W
) z )  e.  V )
5227, 50, 35, 51syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  (
( k ( .s
`  W ) y ) ( +g  `  W
) z )  e.  V )
53 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( k ( .s `  W
) y ) ( +g  `  W ) z )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( ( k ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) ) )
5453fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( k ( .s `  W
) y ) ( +g  `  W ) z )  ->  (
I `  ( G `  x ) )  =  ( I `  ( G `  ( (
k ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) ) ) )
55 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( I `
 ( G `  ( ( k ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) ) )  e.  _V
5654, 20, 55fvmpt 5602 . . . . 5  |-  ( ( ( k ( .s
`  W ) y ) ( +g  `  W
) z )  e.  V  ->  ( N `  ( ( k ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) )  =  ( I `
 ( G `  ( ( k ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) ) ) )
5752, 56syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  ( N `  ( (
k ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( I `  ( G `  ( ( k ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) ) ) )
58 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
5958fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
I `  ( G `  x ) )  =  ( I `  ( G `  y )
) )
60 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( I `
 ( G `  y ) )  e. 
_V
6159, 20, 60fvmpt 5602 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  V  ->  ( N `  y )  =  ( I `  ( G `  y ) ) )
6229, 61syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  ( N `  y )  =  ( I `  ( G `  y ) ) )
6362oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  (
k ( .r `  R ) ( N `
 y ) )  =  ( k ( .r `  R ) ( I `  ( G `  y )
) ) )
64 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( G `  x )  =  ( G `  z ) )
6564fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
I `  ( G `  x ) )  =  ( I `  ( G `  z )
) )
66 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( I `
 ( G `  z ) )  e. 
_V
6765, 20, 66fvmpt 5602 . . . . . 6  |-  ( z  e.  V  ->  ( N `  z )  =  ( I `  ( G `  z ) ) )
6835, 67syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  ( N `  z )  =  ( I `  ( G `  z ) ) )
6963, 68oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  (
( k ( .r
`  R ) ( N `  y ) ) ( +g  `  R
) ( N `  z ) )  =  ( ( k ( .r `  R ) ( I `  ( G `  y )
) ) ( +g  `  R ) ( I `
 ( G `  z ) ) ) )
7048, 57, 693eqtr4d 2325 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  ( N `  ( (
k ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( k ( .r `  R
) ( N `  y ) ) ( +g  `  R ) ( N `  z
) ) )
7170ralrimivvva 2636 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
Base `  R ) A. y  e.  V  A. z  e.  V  ( N `  ( ( k ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( k ( .r `  R
) ( N `  y ) ) ( +g  `  R ) ( N `  z
) ) )
7213, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14islfl 29250 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( N  e.  F  <->  ( N : V --> ( Base `  R
)  /\  A. k  e.  ( Base `  R
) A. y  e.  V  A. z  e.  V  ( N `  ( ( k ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) )  =  ( ( k ( .r `  R ) ( N `
 y ) ) ( +g  `  R
) ( N `  z ) ) ) ) )
731, 72syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  F  <->  ( N : V --> ( Base `  R )  /\  A. k  e.  ( Base `  R ) A. y  e.  V  A. z  e.  V  ( N `  ( ( k ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) )  =  ( ( k ( .r `  R ) ( N `
 y ) ) ( +g  `  R
) ( N `  z ) ) ) ) )
7421, 71, 73mpbir2and 888 1  |-  ( ph  ->  N  e.  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363   Abelcabel 15090   Ringcrg 15337   LModclmod 15627  LFnlclfn 29247
This theorem is referenced by:  ldualgrplem  29335
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-lfl 29248
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