Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflnegcl Structured version   Unicode version

Theorem lflnegcl 29947
 Description: Closure of the negative of a functional. (This is specialized for the purpose of proving ldualgrp 30018, and we do not define a general operation here.) (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflnegcl.v
lflnegcl.r Scalar
lflnegcl.i
lflnegcl.n
lflnegcl.f LFnl
lflnegcl.w
lflnegcl.g
Assertion
Ref Expression
lflnegcl
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem lflnegcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflnegcl.w . . . . . . 7
2 lflnegcl.r . . . . . . . 8 Scalar
32lmodrng 15963 . . . . . . 7
41, 3syl 16 . . . . . 6
5 rnggrp 15674 . . . . . 6
64, 5syl 16 . . . . 5
76adantr 453 . . . 4
81adantr 453 . . . . 5
9 lflnegcl.g . . . . . 6
109adantr 453 . . . . 5
11 simpr 449 . . . . 5
12 eqid 2438 . . . . . 6
13 lflnegcl.v . . . . . 6
14 lflnegcl.f . . . . . 6 LFnl
152, 12, 13, 14lflcl 29936 . . . . 5
168, 10, 11, 15syl3anc 1185 . . . 4
17 lflnegcl.i . . . . 5
1812, 17grpinvcl 14855 . . . 4
197, 16, 18syl2anc 644 . . 3
20 lflnegcl.n . . 3
2119, 20fmptd 5896 . 2
22 rngabl 15698 . . . . . . . 8
234, 22syl 16 . . . . . . 7
2423adantr 453 . . . . . 6
254adantr 453 . . . . . . 7
26 simpr1 964 . . . . . . 7
271adantr 453 . . . . . . . 8
289adantr 453 . . . . . . . 8
29 simpr2 965 . . . . . . . 8
302, 12, 13, 14lflcl 29936 . . . . . . . 8
3127, 28, 29, 30syl3anc 1185 . . . . . . 7
32 eqid 2438 . . . . . . . 8
3312, 32rngcl 15682 . . . . . . 7
3425, 26, 31, 33syl3anc 1185 . . . . . 6
35 simpr3 966 . . . . . . 7
362, 12, 13, 14lflcl 29936 . . . . . . 7
3727, 28, 35, 36syl3anc 1185 . . . . . 6
38 eqid 2438 . . . . . . 7
3912, 38, 17ablinvadd 15439 . . . . . 6
4024, 34, 37, 39syl3anc 1185 . . . . 5
41 eqid 2438 . . . . . . . 8
42 eqid 2438 . . . . . . . 8
4313, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14lfli 29933 . . . . . . 7
4427, 28, 26, 29, 35, 43syl113anc 1197 . . . . . 6
4544fveq2d 5735 . . . . 5
4612, 32, 17, 25, 26, 31rngmneg2 15711 . . . . . 6
4746oveq1d 6099 . . . . 5
4840, 45, 473eqtr4d 2480 . . . 4
4913, 2, 42, 12lmodvscl 15972 . . . . . . 7
5027, 26, 29, 49syl3anc 1185 . . . . . 6
5113, 41lmodvacl 15969 . . . . . 6
5227, 50, 35, 51syl3anc 1185 . . . . 5
53 fveq2 5731 . . . . . . 7
5453fveq2d 5735 . . . . . 6
55 fvex 5745 . . . . . 6
5654, 20, 55fvmpt 5809 . . . . 5
5752, 56syl 16 . . . 4
58 fveq2 5731 . . . . . . . . 9
5958fveq2d 5735 . . . . . . . 8
60 fvex 5745 . . . . . . . 8
6159, 20, 60fvmpt 5809 . . . . . . 7
6229, 61syl 16 . . . . . 6
6362oveq2d 6100 . . . . 5
64 fveq2 5731 . . . . . . . 8
6564fveq2d 5735 . . . . . . 7
66 fvex 5745 . . . . . . 7
6765, 20, 66fvmpt 5809 . . . . . 6
6835, 67syl 16 . . . . 5
6963, 68oveq12d 6102 . . . 4
7048, 57, 693eqtr4d 2480 . . 3
7170ralrimivvva 2801 . 2
7213, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14islfl 29932 . . 3
731, 72syl 16 . 2
7421, 71, 73mpbir2and 890 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707   cmpt 4269  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  cbs 13474   cplusg 13534  cmulr 13535  Scalarcsca 13537  cvsca 13538  cgrp 14690  cminusg 14691  cabel 15418  crg 15665  clmod 15955  LFnlclfn 29929 This theorem is referenced by:  ldualgrplem  30017 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-plusg 13547  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-lmod 15957  df-lfl 29930
 Copyright terms: Public domain W3C validator