Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflsc0N Unicode version

Theorem lflsc0N 29344
Description: The scalar product with the zero functional is the zero functional. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lflsc0.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lflsc0.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lflsc0.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lflsc0.t  |-  .x.  =  ( .r `  D )
lflsc0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
lflsc0.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lflsc0.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
Assertion
Ref Expression
lflsc0N  |-  ( ph  ->  ( ( V  X.  {  .0.  } )  o F  .x.  ( V  X.  { X }
) )  =  ( V  X.  {  .0.  } ) )

Proof of Theorem lflsc0N
StepHypRef Expression
1 lflsc0.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 fvex 5646 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  e.  _V
31, 2eqeltri 2436 . . . 4  |-  V  e. 
_V
43a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
5 lflsc0.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 lflsc0.d . . . . . 6  |-  D  =  (Scalar `  W )
76lmodrng 15845 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Ring )
85, 7syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  Ring )
9 lflsc0.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  D
)
10 lflsc0.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
119, 10rng0cl 15572 . . . 4  |-  ( D  e.  Ring  ->  .0.  e.  K )
128, 11syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  K )
13 lflsc0.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
144, 12, 13ofc12 6229 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( V  X.  {  .0.  } )  o F  .x.  ( V  X.  { X }
) )  =  ( V  X.  { (  .0.  .x.  X ) } ) )
15 lflsc0.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  D )
169, 15, 10rnglz 15587 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  Ring  /\  X  e.  K )  ->  (  .0.  .x.  X )  =  .0.  )
178, 13, 16syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  .0.  .x.  X
)  =  .0.  )
1817sneqd 3742 . . 3  |-  ( ph  ->  { (  .0.  .x.  X ) }  =  {  .0.  } )
1918xpeq2d 4816 . 2  |-  ( ph  ->  ( V  X.  {
(  .0.  .x.  X
) } )  =  ( V  X.  {  .0.  } ) )
2014, 19eqtrd 2398 1  |-  ( ph  ->  ( ( V  X.  {  .0.  } )  o F  .x.  ( V  X.  { X }
) )  =  ( V  X.  {  .0.  } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1647    e. wcel 1715   _Vcvv 2873   {csn 3729    X. cxp 4790   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    o Fcof 6203   Basecbs 13356   .rcmulr 13417  Scalarcsca 13419   0gc0g 13610   Ringcrg 15547   LModclmod 15837
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-plusg 13429  df-0g 13614  df-mnd 14577  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-lmod 15839
  Copyright terms: Public domain W3C validator