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Theorem lflsub 29257
Description: Property of a linear functional. (lnfnaddi 22623 analog.) (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflsub.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lflsub.m  |-  M  =  ( -g `  D
)
lflsub.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lflsub.a  |-  .-  =  ( -g `  W )
lflsub.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
Assertion
Ref Expression
lflsub  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X  .-  Y
) )  =  ( ( G `  X
) M ( G `
 Y ) ) )

Proof of Theorem lflsub
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  W  e.  LMod )
2 simp3l 983 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  X  e.  V )
3 lflsub.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  (Scalar `  W )
43lmodrng 15635 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Ring )
543ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  D  e.  Ring )
6 rnggrp 15346 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  Ring  ->  D  e. 
Grp )
75, 6syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  D  e.  Grp )
8 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
9 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  D )  =  ( 1r `  D
)
108, 9rngidcl 15361 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  Ring  ->  ( 1r
`  D )  e.  ( Base `  D
) )
115, 10syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( 1r `  D )  e.  (
Base `  D )
)
12 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( inv g `  D )  =  ( inv g `  D )
138, 12grpinvcl 14527 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( 1r `  D )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( inv g `  D ) `  ( 1r `  D ) )  e.  ( Base `  D
) )
147, 11, 13syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( inv g `  D ) `
 ( 1r `  D ) )  e.  ( Base `  D
) )
15 simp3r 984 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  Y  e.  V )
16 lflsub.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
17 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
1816, 3, 17, 8lmodvscl 15644 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( inv g `  D ) `  ( 1r `  D ) )  e.  ( Base `  D
)  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( inv g `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y )  e.  V )
191, 14, 15, 18syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( inv g `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y )  e.  V )
20 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
2116, 20lmodcom 15671 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  (
( ( inv g `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y )  e.  V )  ->  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( inv g `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( ( ( ( inv g `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W ) X ) )
221, 2, 19, 21syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( X
( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  D ) `
 ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( ( ( ( inv g `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W ) X ) )
2322fveq2d 5529 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X ( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y ) ) )  =  ( G `
 ( ( ( ( inv g `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y ) ( +g  `  W ) X ) ) )
24 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  G  e.  F )
25 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
26 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
27 lflsub.f . . . . 5  |-  F  =  (LFnl `  W )
2816, 20, 3, 17, 8, 25, 26, 27lfli 29251 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
( ( inv g `  D ) `  ( 1r `  D ) )  e.  ( Base `  D
)  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  V
) )  ->  ( G `  ( (
( ( inv g `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y ) ( +g  `  W ) X ) )  =  ( ( ( ( inv g `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .r `  D ) ( G `  Y
) ) ( +g  `  D ) ( G `
 X ) ) )
291, 24, 14, 15, 2, 28syl113anc 1194 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( ( ( ( inv g `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W ) X ) )  =  ( ( ( ( inv g `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .r `  D
) ( G `  Y ) ) ( +g  `  D ) ( G `  X
) ) )
303, 8, 16, 27lflcl 29254 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  Y  e.  V )  ->  ( G `  Y )  e.  ( Base `  D
) )
31303adant3l 1178 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  Y )  e.  (
Base `  D )
)
328, 26, 9, 12, 5, 31rngnegl 15380 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( inv g `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .r `  D
) ( G `  Y ) )  =  ( ( inv g `  D ) `  ( G `  Y )
) )
3332oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( ( inv g `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .r `  D
) ( G `  Y ) ) ( +g  `  D ) ( G `  X
) )  =  ( ( ( inv g `  D ) `  ( G `  Y )
) ( +g  `  D
) ( G `  X ) ) )
34 rngabl 15370 . . . . . 6  |-  ( D  e.  Ring  ->  D  e. 
Abel )
355, 34syl 15 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  D  e.  Abel )
368, 12grpinvcl 14527 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( G `  Y )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( inv g `  D ) `  ( G `  Y )
)  e.  ( Base `  D ) )
377, 31, 36syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( inv g `  D ) `
 ( G `  Y ) )  e.  ( Base `  D
) )
383, 8, 16, 27lflcl 29254 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X )  e.  ( Base `  D
) )
39383adant3r 1179 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  X )  e.  (
Base `  D )
)
408, 25ablcom 15106 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  Abel  /\  (
( inv g `  D ) `  ( G `  Y )
)  e.  ( Base `  D )  /\  ( G `  X )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( inv g `  D ) `  ( G `  Y )
) ( +g  `  D
) ( G `  X ) )  =  ( ( G `  X ) ( +g  `  D ) ( ( inv g `  D
) `  ( G `  Y ) ) ) )
4135, 37, 39, 40syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( inv g `  D ) `  ( G `  Y )
) ( +g  `  D
) ( G `  X ) )  =  ( ( G `  X ) ( +g  `  D ) ( ( inv g `  D
) `  ( G `  Y ) ) ) )
4233, 41eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( ( inv g `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .r `  D
) ( G `  Y ) ) ( +g  `  D ) ( G `  X
) )  =  ( ( G `  X
) ( +g  `  D
) ( ( inv g `  D ) `
 ( G `  Y ) ) ) )
4323, 29, 423eqtrd 2319 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X ( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y ) ) )  =  ( ( G `  X ) ( +g  `  D
) ( ( inv g `  D ) `
 ( G `  Y ) ) ) )
44 lflsub.a . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  W )
4516, 20, 44, 3, 17, 12, 9lmodvsubval2 15680 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X ( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y ) ) )
461, 2, 15, 45syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( inv g `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) ) )
4746fveq2d 5529 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X  .-  Y
) )  =  ( G `  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( inv g `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) ) ) )
48 lflsub.m . . . 4  |-  M  =  ( -g `  D
)
498, 25, 12, 48grpsubval 14525 . . 3  |-  ( ( ( G `  X
)  e.  ( Base `  D )  /\  ( G `  Y )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( G `  X
) M ( G `
 Y ) )  =  ( ( G `
 X ) ( +g  `  D ) ( ( inv g `  D ) `  ( G `  Y )
) ) )
5039, 31, 49syl2anc 642 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( G `  X ) M ( G `  Y ) )  =  ( ( G `  X ) ( +g  `  D ) ( ( inv g `  D
) `  ( G `  Y ) ) ) )
5143, 47, 503eqtr4d 2325 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X  .-  Y
) )  =  ( ( G `  X
) M ( G `
 Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363   -gcsg 14365   Abelcabel 15090   Ringcrg 15337   1rcur 15339   LModclmod 15627  LFnlclfn 29247
This theorem is referenced by:  eqlkr  29289  lkrlsp  29292  lclkrlem2m  31709  hdmaplns1  32101
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-lfl 29248
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