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Theorem lflsub 29867
Description: Property of a linear functional. (lnfnaddi 23548 analog.) (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflsub.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lflsub.m  |-  M  =  ( -g `  D
)
lflsub.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lflsub.a  |-  .-  =  ( -g `  W )
lflsub.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
Assertion
Ref Expression
lflsub  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X  .-  Y
) )  =  ( ( G `  X
) M ( G `
 Y ) ) )

Proof of Theorem lflsub
StepHypRef Expression
1 simp1 958 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  W  e.  LMod )
2 simp3l 986 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  X  e.  V )
3 lflsub.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  (Scalar `  W )
43lmodrng 15960 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Ring )
543ad2ant1 979 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  D  e.  Ring )
6 rnggrp 15671 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  Ring  ->  D  e. 
Grp )
75, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  D  e.  Grp )
8 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
9 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  D )  =  ( 1r `  D
)
108, 9rngidcl 15686 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  Ring  ->  ( 1r
`  D )  e.  ( Base `  D
) )
115, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( 1r `  D )  e.  (
Base `  D )
)
12 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( inv g `  D )  =  ( inv g `  D )
138, 12grpinvcl 14852 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( 1r `  D )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( inv g `  D ) `  ( 1r `  D ) )  e.  ( Base `  D
) )
147, 11, 13syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( inv g `  D ) `
 ( 1r `  D ) )  e.  ( Base `  D
) )
15 simp3r 987 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  Y  e.  V )
16 lflsub.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
17 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
1816, 3, 17, 8lmodvscl 15969 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( inv g `  D ) `  ( 1r `  D ) )  e.  ( Base `  D
)  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( inv g `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y )  e.  V )
191, 14, 15, 18syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( inv g `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y )  e.  V )
20 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
2116, 20lmodcom 15992 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  (
( ( inv g `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y )  e.  V )  ->  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( inv g `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( ( ( ( inv g `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W ) X ) )
221, 2, 19, 21syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( X
( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  D ) `
 ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( ( ( ( inv g `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W ) X ) )
2322fveq2d 5734 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X ( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y ) ) )  =  ( G `
 ( ( ( ( inv g `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y ) ( +g  `  W ) X ) ) )
24 simp2 959 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  G  e.  F )
25 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
26 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
27 lflsub.f . . . . 5  |-  F  =  (LFnl `  W )
2816, 20, 3, 17, 8, 25, 26, 27lfli 29861 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
( ( inv g `  D ) `  ( 1r `  D ) )  e.  ( Base `  D
)  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  V
) )  ->  ( G `  ( (
( ( inv g `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y ) ( +g  `  W ) X ) )  =  ( ( ( ( inv g `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .r `  D ) ( G `  Y
) ) ( +g  `  D ) ( G `
 X ) ) )
291, 24, 14, 15, 2, 28syl113anc 1197 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( ( ( ( inv g `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W ) X ) )  =  ( ( ( ( inv g `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .r `  D
) ( G `  Y ) ) ( +g  `  D ) ( G `  X
) ) )
303, 8, 16, 27lflcl 29864 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  Y  e.  V )  ->  ( G `  Y )  e.  ( Base `  D
) )
31303adant3l 1181 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  Y )  e.  (
Base `  D )
)
328, 26, 9, 12, 5, 31rngnegl 15705 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( inv g `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .r `  D
) ( G `  Y ) )  =  ( ( inv g `  D ) `  ( G `  Y )
) )
3332oveq1d 6098 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( ( inv g `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .r `  D
) ( G `  Y ) ) ( +g  `  D ) ( G `  X
) )  =  ( ( ( inv g `  D ) `  ( G `  Y )
) ( +g  `  D
) ( G `  X ) ) )
34 rngabl 15695 . . . . . 6  |-  ( D  e.  Ring  ->  D  e. 
Abel )
355, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  D  e.  Abel )
368, 12grpinvcl 14852 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( G `  Y )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( inv g `  D ) `  ( G `  Y )
)  e.  ( Base `  D ) )
377, 31, 36syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( inv g `  D ) `
 ( G `  Y ) )  e.  ( Base `  D
) )
383, 8, 16, 27lflcl 29864 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X )  e.  ( Base `  D
) )
39383adant3r 1182 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  X )  e.  (
Base `  D )
)
408, 25ablcom 15431 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  Abel  /\  (
( inv g `  D ) `  ( G `  Y )
)  e.  ( Base `  D )  /\  ( G `  X )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( inv g `  D ) `  ( G `  Y )
) ( +g  `  D
) ( G `  X ) )  =  ( ( G `  X ) ( +g  `  D ) ( ( inv g `  D
) `  ( G `  Y ) ) ) )
4135, 37, 39, 40syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( inv g `  D ) `  ( G `  Y )
) ( +g  `  D
) ( G `  X ) )  =  ( ( G `  X ) ( +g  `  D ) ( ( inv g `  D
) `  ( G `  Y ) ) ) )
4233, 41eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( ( inv g `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .r `  D
) ( G `  Y ) ) ( +g  `  D ) ( G `  X
) )  =  ( ( G `  X
) ( +g  `  D
) ( ( inv g `  D ) `
 ( G `  Y ) ) ) )
4323, 29, 423eqtrd 2474 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X ( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y ) ) )  =  ( ( G `  X ) ( +g  `  D
) ( ( inv g `  D ) `
 ( G `  Y ) ) ) )
44 lflsub.a . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  W )
4516, 20, 44, 3, 17, 12, 9lmodvsubval2 16001 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X ( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y ) ) )
461, 2, 15, 45syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( inv g `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) ) )
4746fveq2d 5734 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X  .-  Y
) )  =  ( G `  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( inv g `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) ) ) )
48 lflsub.m . . . 4  |-  M  =  ( -g `  D
)
498, 25, 12, 48grpsubval 14850 . . 3  |-  ( ( ( G `  X
)  e.  ( Base `  D )  /\  ( G `  Y )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( G `  X
) M ( G `
 Y ) )  =  ( ( G `
 X ) ( +g  `  D ) ( ( inv g `  D ) `  ( G `  Y )
) ) )
5039, 31, 49syl2anc 644 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( G `  X ) M ( G `  Y ) )  =  ( ( G `  X ) ( +g  `  D ) ( ( inv g `  D
) `  ( G `  Y ) ) ) )
5143, 47, 503eqtr4d 2480 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X  .-  Y
) )  =  ( ( G `  X
) M ( G `
 Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   .rcmulr 13532  Scalarcsca 13534   .scvsca 13535   Grpcgrp 14687   inv gcminusg 14688   -gcsg 14690   Abelcabel 15415   Ringcrg 15662   1rcur 15664   LModclmod 15952  LFnlclfn 29857
This theorem is referenced by:  eqlkr  29899  lkrlsp  29902  lclkrlem2m  32319  hdmaplns1  32711
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-lmod 15954  df-lfl 29858
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