Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflvsass Structured version   Unicode version

Theorem lflvsass 29941
Description: Associative law for (right vector space) scalar product of functionals. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflass.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lflass.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
lflass.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
lflass.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
lflass.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lflass.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lflass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
lflass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
lflass.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lflvsass  |-  ( ph  ->  ( G  o F 
.x.  ( V  X.  { ( X  .x.  Y ) } ) )  =  ( ( G  o F  .x.  ( V  X.  { X } ) )  o F  .x.  ( V  X.  { Y }
) ) )

Proof of Theorem lflvsass
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflass.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 fvex 5744 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  e.  _V
31, 2eqeltri 2508 . . . 4  |-  V  e. 
_V
43a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
5 lflass.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 lflass.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
7 lflass.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  W )
8 lflass.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
9 lflass.f . . . . 5  |-  F  =  (LFnl `  W )
107, 8, 1, 9lflf 29923 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  G : V --> K )
115, 6, 10syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  G : V --> K )
12 lflass.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
13 fconst6g 5634 . . . 4  |-  ( X  e.  K  ->  ( V  X.  { X }
) : V --> K )
1412, 13syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( V  X.  { X } ) : V --> K )
15 lflass.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
16 fconst6g 5634 . . . 4  |-  ( Y  e.  K  ->  ( V  X.  { Y }
) : V --> K )
1715, 16syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( V  X.  { Y } ) : V --> K )
187lmodrng 15960 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
195, 18syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
20 lflass.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
218, 20rngass 15682 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  K  /\  y  e.  K  /\  z  e.  K )
)  ->  ( (
x  .x.  y )  .x.  z )  =  ( x  .x.  ( y 
.x.  z ) ) )
2219, 21sylan 459 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  K  /\  z  e.  K ) )  -> 
( ( x  .x.  y )  .x.  z
)  =  ( x 
.x.  ( y  .x.  z ) ) )
234, 11, 14, 17, 22caofass 6340 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  o F  .x.  ( V  X.  { X } ) )  o F  .x.  ( V  X.  { Y }
) )  =  ( G  o F  .x.  ( ( V  X.  { X } )  o F  .x.  ( V  X.  { Y }
) ) ) )
244, 12, 15ofc12 6331 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( V  X.  { X } )  o F  .x.  ( V  X.  { Y }
) )  =  ( V  X.  { ( X  .x.  Y ) } ) )
2524oveq2d 6099 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  o F 
.x.  ( ( V  X.  { X }
)  o F  .x.  ( V  X.  { Y } ) ) )  =  ( G  o F  .x.  ( V  X.  { ( X  .x.  Y ) } ) ) )
2623, 25eqtr2d 2471 1  |-  ( ph  ->  ( G  o F 
.x.  ( V  X.  { ( X  .x.  Y ) } ) )  =  ( ( G  o F  .x.  ( V  X.  { X } ) )  o F  .x.  ( V  X.  { Y }
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   {csn 3816    X. cxp 4878   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    o Fcof 6305   Basecbs 13471   .rcmulr 13532  Scalarcsca 13534   Ringcrg 15662   LModclmod 15952  LFnlclfn 29917
This theorem is referenced by:  ldualvsass  30001
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-plusg 13544  df-mnd 14692  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-lmod 15954  df-lfl 29918
  Copyright terms: Public domain W3C validator