Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflvscl Structured version   Unicode version

Theorem lflvscl 29949
 Description: Closure of a scalar product with a functional. Note that this is the scalar product for a right vector space with the scalar after the vector; reversing these fails closure. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lflsccl.v
lflsccl.d Scalar
lflsccl.k
lflsccl.t
lflsccl.f LFnl
lflsccl.w
lflsccl.g
lflsccl.r
Assertion
Ref Expression
lflvscl

Proof of Theorem lflvscl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflsccl.v . . 3
21a1i 11 . 2
3 eqidd 2439 . 2
4 lflsccl.d . . 3 Scalar
54a1i 11 . 2 Scalar
6 eqidd 2439 . 2
7 lflsccl.k . . 3
87a1i 11 . 2
9 eqidd 2439 . 2
10 lflsccl.t . . 3
1110a1i 11 . 2
12 lflsccl.f . . 3 LFnl
1312a1i 11 . 2 LFnl
14 lflsccl.w . . . . 5
154lmodrng 15963 . . . . 5
1614, 15syl 16 . . . 4
177, 10rngcl 15682 . . . . 5
18173expb 1155 . . . 4
1916, 18sylan 459 . . 3
20 lflsccl.g . . . 4
214, 7, 1, 12lflf 29935 . . . 4
2214, 20, 21syl2anc 644 . . 3
23 lflsccl.r . . . 4
24 fconst6g 5635 . . . 4
2523, 24syl 16 . . 3
26 fvex 5745 . . . . 5
271, 26eqeltri 2508 . . . 4
2827a1i 11 . . 3
29 inidm 3552 . . 3
3019, 22, 25, 28, 28, 29off 6323 . 2
3114adantr 453 . . . . . 6
3220adantr 453 . . . . . 6
33 simpr1 964 . . . . . 6
34 simpr2 965 . . . . . 6
35 simpr3 966 . . . . . 6
36 eqid 2438 . . . . . . 7
37 eqid 2438 . . . . . . 7
38 eqid 2438 . . . . . . 7
391, 36, 4, 37, 7, 38, 10, 12lfli 29933 . . . . . 6
4031, 32, 33, 34, 35, 39syl113anc 1197 . . . . 5
4140oveq1d 6099 . . . 4
4216adantr 453 . . . . 5
434, 7, 1, 12lflcl 29936 . . . . . . 7
4431, 32, 34, 43syl3anc 1185 . . . . . 6
457, 10rngcl 15682 . . . . . 6
4642, 33, 44, 45syl3anc 1185 . . . . 5
474, 7, 1, 12lflcl 29936 . . . . . 6
4831, 32, 35, 47syl3anc 1185 . . . . 5
4923adantr 453 . . . . 5
507, 38, 10rngdir 15688 . . . . 5
5142, 46, 48, 49, 50syl13anc 1187 . . . 4
527, 10rngass 15685 . . . . . 6
5342, 33, 44, 49, 52syl13anc 1187 . . . . 5
5453oveq1d 6099 . . . 4
5541, 51, 543eqtrd 2474 . . 3
561, 4, 37, 7lmodvscl 15972 . . . . . 6
5731, 33, 34, 56syl3anc 1185 . . . . 5
581, 36lmodvacl 15969 . . . . 5
5931, 57, 35, 58syl3anc 1185 . . . 4
60 ffn 5594 . . . . . 6
6122, 60syl 16 . . . . 5
62 eqidd 2439 . . . . 5
6328, 23, 61, 62ofc2 6331 . . . 4
6459, 63syldan 458 . . 3
65 eqidd 2439 . . . . . . 7
6628, 23, 61, 65ofc2 6331 . . . . . 6
6734, 66syldan 458 . . . . 5
6867oveq2d 6100 . . . 4
69 eqidd 2439 . . . . . 6
7028, 23, 61, 69ofc2 6331 . . . . 5
7135, 70syldan 458 . . . 4
7268, 71oveq12d 6102 . . 3
7355, 64, 723eqtr4d 2480 . 2
742, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 30, 73, 14islfld 29934 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958  csn 3816   cxp 4879   wfn 5452  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084   cof 6306  cbs 13474   cplusg 13534  cmulr 13535  Scalarcsca 13537  cvsca 13538  crg 15665  clmod 15955  LFnlclfn 29929 This theorem is referenced by:  lkrsc  29969  lfl1dim  29993  ldualvscl  30011  ldualvsass  30013 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-plusg 13547  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-lmod 15957  df-lfl 29930
 Copyright terms: Public domain W3C validator