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Theorem lgamgulm2 24822
Description: Rewrite the limit of the sequence  G in terms of the log-Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
lgamgulm.u  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
lgamgulm.g  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lgamgulm2  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  U  ( log  _G `  z )  e.  CC  /\ 
seq  1 (  o F  +  ,  G
) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  ( ( log  _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, m, x, z, R    U, m, z    ph, m, x, z
Allowed substitution hints:    ph( k)    U( x, k)    G( x, z, k, m)

Proof of Theorem lgamgulm2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
2 lgamgulm.u . . . . . . 7  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
31, 2lgamgulmlem1 24815 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
43sselda 3350 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
5 ovex 6108 . . . . 5  |-  ( sum_ n  e.  NN  ( ( z  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) ) )  -  ( log `  z ) )  e. 
_V
6 df-lgam 24805 . . . . . 6  |-  log  _G  =  ( z  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) 
|->  ( sum_ n  e.  NN  ( ( z  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) ) )  -  ( log `  z
) ) )
76fvmpt2 5814 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  ( sum_ n  e.  NN  (
( z  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  n
)  +  1 ) ) )  -  ( log `  z ) )  e.  _V )  -> 
( log  _G `  z
)  =  ( sum_ n  e.  NN  ( ( z  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) ) )  -  ( log `  z ) ) )
84, 5, 7sylancl 645 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  ( log  _G `  z )  =  ( sum_ n  e.  NN  ( ( z  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) ) )  -  ( log `  z
) ) )
9 nnuz 10523 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
10 1z 10313 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
1110a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  1  e.  ZZ )
12 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  (
m  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
13 id 21 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  m  =  n )
1412, 13oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
( m  +  1 )  /  m )  =  ( ( n  +  1 )  /  n ) )
1514fveq2d 5734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) )  =  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )
1615oveq2d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  =  ( z  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) ) )
17 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
z  /  m )  =  ( z  /  n ) )
1817oveq1d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( z  /  m
)  +  1 )  =  ( ( z  /  n )  +  1 ) )
1918fveq2d 5734 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) )  =  ( log `  (
( z  /  n
)  +  1 ) ) )
2016, 19oveq12d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( z  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  m
)  +  1 ) ) )  =  ( ( z  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  n
)  +  1 ) ) ) )
21 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  m
)  +  1 ) ) ) )
22 ovex 6108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) ) )  e.  _V
2320, 21, 22fvmpt 5808 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) `  n )  =  ( ( z  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) ) ) )
2423adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) `  n )  =  ( ( z  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) ) ) )
254eldifad 3334 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  CC )
2625adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  z  e.  CC )
27 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
2827peano2nnd 10019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
2928nnrpd 10649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  (
n  +  1 )  e.  RR+ )
3027nnrpd 10649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR+ )
3129, 30rpdivcld 10667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( n  +  1 )  /  n )  e.  RR+ )
3231relogcld 20520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) )  e.  RR )
3332recnd 9116 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) )  e.  CC )
3426, 33mulcld 9110 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  (
z  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  e.  CC )
3527nncnd 10018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
3627nnne0d 10046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  n  =/=  0 )
3726, 35, 36divcld 9792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  (
z  /  n )  e.  CC )
38 ax-1cn 9050 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
4037, 39addcld 9109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( z  /  n
)  +  1 )  e.  CC )
414adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  z  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
4241, 27dmgmdivn0 24814 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( z  /  n
)  +  1 )  =/=  0 )
4340, 42logcld 20470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) )  e.  CC )
4434, 43subcld 9413 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( z  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  n
)  +  1 ) ) )  e.  CC )
45 seqfn 11337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq  1 (  o F  +  ,  G )  Fn  ( ZZ>= `  1
) )
4610, 45ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  seq  1
(  o F  +  ,  G )  Fn  ( ZZ>=
`  1 )
479fneq2i 5542 . . . . . . . . . . 11  |-  (  seq  1 (  o F  +  ,  G )  Fn  NN  <->  seq  1
(  o F  +  ,  G )  Fn  ( ZZ>=
`  1 ) )
4846, 47mpbir 202 . . . . . . . . . 10  |-  seq  1
(  o F  +  ,  G )  Fn  NN
49 lgamgulm.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
501, 2, 49lgamgulm 24821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  seq  1 (  o F  +  ,  G
)  e.  dom  ( ~~> u `  U )
)
51 ulmdm 20311 . . . . . . . . . . 11  |-  (  seq  1 (  o F  +  ,  G )  e.  dom  ( ~~> u `  U )  <->  seq  1
(  o F  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( ( ~~> u `  U ) `
 seq  1 (  o F  +  ,  G ) ) )
5250, 51sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq  1 (  o F  +  ,  G
) ( ~~> u `  U ) ( ( ~~> u `  U ) `
 seq  1 (  o F  +  ,  G ) ) )
53 ulmf2 20302 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq  1 (  o F  +  ,  G
)  Fn  NN  /\  seq  1 (  o F  +  ,  G ) ( ~~> u `  U
) ( ( ~~> u `  U ) `  seq  1 (  o F  +  ,  G ) ) )  ->  seq  1 (  o F  +  ,  G ) : NN --> ( CC 
^m  U ) )
5448, 52, 53sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq  1 (  o F  +  ,  G
) : NN --> ( CC 
^m  U ) )
5554adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  seq  1 (  o F  +  ,  G ) : NN --> ( CC 
^m  U ) )
56 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  U )
57 seqex 11327 . . . . . . . . 9  |-  seq  1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  m
)  +  1 ) ) ) ) )  e.  _V
5857a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )  e.  _V )
5949a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) )
6059seqeq3d 11333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  seq  1 (  o F  +  ,  G )  =  seq  1 (  o F  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) ) )
6160fveq1d 5732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  o F  +  ,  G ) `
 n )  =  (  seq  1 (  o F  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) ) `  n ) )
62 cnex 9073 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  e.  _V
6362rabex 4356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
x  +  k ) ) ) }  e.  _V
642, 63eqeltri 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U  e. 
_V
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U  e. 
_V )
66 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
6766, 9syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
68 elfznn 11082 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  m  e.  NN )
6968ssriv 3354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... n )  C_  NN
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n )  C_  NN )
71 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) )  e.  _V
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
m  e.  NN  /\  z  e.  U )
)  ->  ( (
z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) )  e.  _V )
7365, 67, 70, 72seqof2 11383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  o F  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) ) `
 n )  =  ( z  e.  U  |->  (  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  n ) ) )
7473adantlr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  o F  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) ) `
 n )  =  ( z  e.  U  |->  (  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  n ) ) )
7561, 74eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  o F  +  ,  G ) `
 n )  =  ( z  e.  U  |->  (  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  n ) ) )
7675fveq1d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  (
(  seq  1 (  o F  +  ,  G ) `  n
) `  z )  =  ( ( z  e.  U  |->  (  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  n
) ) `  z
) )
7756adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  z  e.  U )
78 fvex 5744 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  n
)  e.  _V
79 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  U  |->  (  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  n
) )  =  ( z  e.  U  |->  (  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  n
) )
8079fvmpt2 5814 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  U  /\  (  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  n
)  e.  _V )  ->  ( ( z  e.  U  |->  (  seq  1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  m
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 n ) ) `
 z )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  n ) )
8177, 78, 80sylancl 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( z  e.  U  |->  (  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  n ) ) `  z )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  n
) )
8276, 81eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  (
(  seq  1 (  o F  +  ,  G ) `  n
) `  z )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  m
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 n ) )
8352adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  seq  1 (  o F  +  ,  G ) ( ~~> u `  U
) ( ( ~~> u `  U ) `  seq  1 (  o F  +  ,  G ) ) )
849, 11, 55, 56, 58, 82, 83ulmclm 20305 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )  ~~>  ( ( ( ~~> u `  U
) `  seq  1
(  o F  +  ,  G ) ) `  z ) )
859, 11, 24, 44, 84isumclim 12543 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  sum_ n  e.  NN  ( ( z  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ~~> u `  U ) `
 seq  1 (  o F  +  ,  G ) ) `  z ) )
86 ulmcl 20299 . . . . . . . 8  |-  (  seq  1 (  o F  +  ,  G ) ( ~~> u `  U
) ( ( ~~> u `  U ) `  seq  1 (  o F  +  ,  G ) )  ->  ( ( ~~> u `  U ) `  seq  1 (  o F  +  ,  G
) ) : U --> CC )
8752, 86syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> u `  U ) `  seq  1 (  o F  +  ,  G ) ) : U --> CC )
8887ffvelrnda 5872 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (
( ( ~~> u `  U ) `  seq  1 (  o F  +  ,  G ) ) `  z )  e.  CC )
8985, 88eqeltrd 2512 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  sum_ n  e.  NN  ( ( z  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) ) )  e.  CC )
904dmgmn0 24812 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  z  =/=  0 )
9125, 90logcld 20470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  z )  e.  CC )
9289, 91subcld 9413 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  ( sum_ n  e.  NN  (
( z  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  n
)  +  1 ) ) )  -  ( log `  z ) )  e.  CC )
938, 92eqeltrd 2512 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  ( log  _G `  z )  e.  CC )
9493ralrimiva 2791 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  U  ( log  _G `  z
)  e.  CC )
95 ffn 5593 . . . . . 6  |-  ( ( ( ~~> u `  U
) `  seq  1
(  o F  +  ,  G ) ) : U --> CC  ->  (
( ~~> u `  U
) `  seq  1
(  o F  +  ,  G ) )  Fn  U )
9652, 86, 953syl 19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> u `  U ) `  seq  1 (  o F  +  ,  G ) )  Fn  U )
97 nfcv 2574 . . . . . . 7  |-  F/_ z
( ~~> u `  U
)
98 nfcv 2574 . . . . . . . 8  |-  F/_ z
1
99 nfcv 2574 . . . . . . . 8  |-  F/_ z  o F  +
100 nfcv 2574 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z NN
101 nfmpt1 4300 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z
( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) )
102100, 101nfmpt 4299 . . . . . . . . 9  |-  F/_ z
( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
10349, 102nfcxfr 2571 . . . . . . . 8  |-  F/_ z G
10498, 99, 103nfseq 11335 . . . . . . 7  |-  F/_ z  seq  1 (  o F  +  ,  G )
10597, 104nffv 5737 . . . . . 6  |-  F/_ z
( ( ~~> u `  U ) `  seq  1 (  o F  +  ,  G ) )
106105dffn5f 5783 . . . . 5  |-  ( ( ( ~~> u `  U
) `  seq  1
(  o F  +  ,  G ) )  Fn  U  <->  ( ( ~~> u `  U ) `  seq  1 (  o F  +  ,  G ) )  =  ( z  e.  U  |->  ( ( ( ~~> u `  U
) `  seq  1
(  o F  +  ,  G ) ) `  z ) ) )
10796, 106sylib 190 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> u `  U ) `  seq  1 (  o F  +  ,  G ) )  =  ( z  e.  U  |->  ( ( ( ~~> u `  U
) `  seq  1
(  o F  +  ,  G ) ) `  z ) ) )
1088oveq1d 6098 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (
( log  _G `  z
)  +  ( log `  z ) )  =  ( ( sum_ n  e.  NN  ( ( z  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) ) )  -  ( log `  z
) )  +  ( log `  z ) ) )
10989, 91npcand 9417 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (
( sum_ n  e.  NN  ( ( z  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) ) )  -  ( log `  z
) )  +  ( log `  z ) )  =  sum_ n  e.  NN  ( ( z  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) ) ) )
110108, 109, 853eqtrrd 2475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (
( ( ~~> u `  U ) `  seq  1 (  o F  +  ,  G ) ) `  z )  =  ( ( log  _G `  z )  +  ( log `  z
) ) )
111110mpteq2dva 4297 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U  |->  ( ( ( ~~> u `  U ) `  seq  1 (  o F  +  ,  G ) ) `  z ) )  =  ( z  e.  U  |->  ( ( log  _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )
112107, 111eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> u `  U ) `  seq  1 (  o F  +  ,  G ) )  =  ( z  e.  U  |->  ( ( log  _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )
11352, 112breqtrd 4238 . 2  |-  ( ph  ->  seq  1 (  o F  +  ,  G
) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  ( ( log  _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )
11494, 113jca 520 1  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  U  ( log  _G `  z )  e.  CC  /\ 
seq  1 (  o F  +  ,  G
) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  ( ( log  _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {crab 2711   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    C_ wss 3322   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   dom cdm 4880    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    o Fcof 6305    ^m cmap 7020   CCcc 8990   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    <_ cle 9123    - cmin 9293    / cdiv 9679   NNcn 10002   NN0cn0 10223   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   ...cfz 11045    seq cseq 11325   abscabs 12041   sum_csu 12481   ~~> uculm 20294   logclog 20454   log  _Gclgam 24802
This theorem is referenced by:  lgambdd  24823  lgamcvglem  24826
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-sin 12674  df-cos 12675  df-tan 12676  df-pi 12677  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-cmp 17452  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756  df-ulm 20295  df-log 20456  df-cxp 20457  df-lgam 24805
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