MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgs0 Unicode version

Theorem lgs0 20548
Description: The Legendre symbol when the second argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgs0  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  / L 0 )  =  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) )

Proof of Theorem lgs0
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 10035 . . 3  |-  0  e.  ZZ
2 eqid 2283 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  n
)  -  1 ) ) ^ ( n 
pCnt  0 ) ) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  - 
1 ) ) ^
( n  pCnt  0
) ) ,  1 ) )
32lgsval 20539 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( A  / L
0 )  =  if ( 0  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( 0  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  0 ) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  0 ) ) ) ) )
41, 3mpan2 652 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  / L 0 )  =  if ( 0  =  0 ,  if ( ( A ^
2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( 0  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  0 ) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  0 ) ) ) ) )
5 eqid 2283 . . 3  |-  0  =  0
6 iftrue 3571 . . 3  |-  ( 0  =  0  ->  if ( 0  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( 0  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  0 ) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  0 ) ) ) )  =  if ( ( A ^
2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) )
75, 6ax-mp 8 . 2  |-  if ( 0  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( 0  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  0 ) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  0 ) ) ) )  =  if ( ( A ^
2 )  =  1 ,  1 ,  0 )
84, 7syl6eq 2331 1  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  / L 0 )  =  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   ifcif 3565   {cpr 3641   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   7c7 9800   8c8 9801   ZZcz 10024    mod cmo 10973    seq cseq 11046   ^cexp 11104   abscabs 11719    || cdivides 12531   Primecprime 12758    pCnt cpc 12889    / Lclgs 20533
This theorem is referenced by:  lgsdir  20569  lgsne0  20572  lgsdinn0  20579
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-seq 11047  df-lgs 20534
  Copyright terms: Public domain W3C validator