MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgs0 Structured version   Unicode version

Theorem lgs0 21094
Description: The Legendre symbol when the second argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgs0  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  / L 0 )  =  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) )

Proof of Theorem lgs0
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 10294 . . 3  |-  0  e.  ZZ
2 eqid 2437 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  n
)  -  1 ) ) ^ ( n 
pCnt  0 ) ) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  - 
1 ) ) ^
( n  pCnt  0
) ) ,  1 ) )
32lgsval 21085 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( A  / L
0 )  =  if ( 0  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( 0  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  0 ) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  0 ) ) ) ) )
41, 3mpan2 654 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  / L 0 )  =  if ( 0  =  0 ,  if ( ( A ^
2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( 0  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  0 ) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  0 ) ) ) ) )
5 eqid 2437 . . 3  |-  0  =  0
6 iftrue 3746 . . 3  |-  ( 0  =  0  ->  if ( 0  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( 0  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  0 ) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  0 ) ) ) )  =  if ( ( A ^
2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) )
75, 6ax-mp 8 . 2  |-  if ( 0  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( 0  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  0 ) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  0 ) ) ) )  =  if ( ( A ^
2 )  =  1 ,  1 ,  0 )
84, 7syl6eq 2485 1  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  / L 0 )  =  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   ifcif 3740   {cpr 3816   class class class wbr 4213    e. cmpt 4267   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   0cc0 8991   1c1 8992    + caddc 8994    x. cmul 8996    < clt 9121    - cmin 9292   -ucneg 9293    / cdiv 9678   NNcn 10001   2c2 10050   7c7 10055   8c8 10056   ZZcz 10283    mod cmo 11251    seq cseq 11324   ^cexp 11383   abscabs 12040    || cdivides 12853   Primecprime 13080    pCnt cpc 13211    / Lclgs 21079
This theorem is referenced by:  lgsdir  21115  lgsne0  21118  lgsdinn0  21125
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-neg 9295  df-nn 10002  df-n0 10223  df-z 10284  df-seq 11325  df-lgs 21080
  Copyright terms: Public domain W3C validator