MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgs0 Unicode version

Theorem lgs0 20564
Description: The Legendre symbol when the second argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgs0  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  / L 0 )  =  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) )

Proof of Theorem lgs0
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 10051 . . 3  |-  0  e.  ZZ
2 eqid 2296 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  n
)  -  1 ) ) ^ ( n 
pCnt  0 ) ) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  - 
1 ) ) ^
( n  pCnt  0
) ) ,  1 ) )
32lgsval 20555 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( A  / L
0 )  =  if ( 0  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( 0  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  0 ) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  0 ) ) ) ) )
41, 3mpan2 652 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  / L 0 )  =  if ( 0  =  0 ,  if ( ( A ^
2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( 0  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  0 ) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  0 ) ) ) ) )
5 eqid 2296 . . 3  |-  0  =  0
6 iftrue 3584 . . 3  |-  ( 0  =  0  ->  if ( 0  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( 0  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  0 ) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  0 ) ) ) )  =  if ( ( A ^
2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) )
75, 6ax-mp 8 . 2  |-  if ( 0  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( 0  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  0 ) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  0 ) ) ) )  =  if ( ( A ^
2 )  =  1 ,  1 ,  0 )
84, 7syl6eq 2344 1  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  / L 0 )  =  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   ifcif 3578   {cpr 3654   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   7c7 9816   8c8 9817   ZZcz 10040    mod cmo 10989    seq cseq 11062   ^cexp 11120   abscabs 11735    || cdivides 12547   Primecprime 12774    pCnt cpc 12905    / Lclgs 20549
This theorem is referenced by:  lgsdir  20585  lgsne0  20588  lgsdinn0  20595
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-seq 11063  df-lgs 20550
  Copyright terms: Public domain W3C validator