MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsabs1 Structured version   Unicode version

Theorem lgsabs1 21119
Description: The Legendre symbol is nonzero (and hence equal to  1 or  -u 1) precisely when the arguments are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsabs1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  / L N ) )  =  1  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )

Proof of Theorem lgsabs1
StepHypRef Expression
1 lgscl 21095 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  / L N )  e.  ZZ )
21zcnd 10377 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  / L N )  e.  CC )
32abscld 12239 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( A  / L N ) )  e.  RR )
4 1re 9091 . . 3  |-  1  e.  RR
5 letri3 9161 . . 3  |-  ( ( ( abs `  ( A  / L N ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( A  / L N ) )  =  1  <->  (
( abs `  ( A  / L N ) )  <_  1  /\  1  <_  ( abs `  ( A  / L N ) ) ) ) )
63, 4, 5sylancl 645 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  / L N ) )  =  1  <->  (
( abs `  ( A  / L N ) )  <_  1  /\  1  <_  ( abs `  ( A  / L N ) ) ) ) )
7 lgsle1 21096 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( A  / L N ) )  <_  1 )
87biantrurd 496 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 1  <_  ( abs `  ( A  / L N ) )  <->  ( ( abs `  ( A  / L N ) )  <_ 
1  /\  1  <_  ( abs `  ( A  / L N ) ) ) ) )
9 nnne0 10033 . . . 4  |-  ( ( abs `  ( A  / L N ) )  e.  NN  ->  ( abs `  ( A  / L N ) )  =/=  0 )
10 nn0abscl 12118 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  / L N
)  e.  ZZ  ->  ( abs `  ( A  / L N ) )  e.  NN0 )
111, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( A  / L N ) )  e.  NN0 )
12 elnn0 10224 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  ( A  / L N ) )  e.  NN0  <->  ( ( abs `  ( A  / L N ) )  e.  NN  \/  ( abs `  ( A  / L N ) )  =  0 ) )
1311, 12sylib 190 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  / L N ) )  e.  NN  \/  ( abs `  ( A  / L N ) )  =  0 ) )
1413ord 368 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  ( abs `  ( A  / L N ) )  e.  NN  ->  ( abs `  ( A  / L N ) )  =  0 ) )
1514necon1ad 2672 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  / L N ) )  =/=  0  -> 
( abs `  ( A  / L N ) )  e.  NN ) )
169, 15impbid2 197 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  / L N ) )  e.  NN  <->  ( abs `  ( A  / L N ) )  =/=  0 ) )
17 elnnnn0c 10266 . . . . 5  |-  ( ( abs `  ( A  / L N ) )  e.  NN  <->  ( ( abs `  ( A  / L N ) )  e. 
NN0  /\  1  <_  ( abs `  ( A  / L N ) ) ) )
1817baib 873 . . . 4  |-  ( ( abs `  ( A  / L N ) )  e.  NN0  ->  ( ( abs `  ( A  / L N ) )  e.  NN  <->  1  <_  ( abs `  ( A  / L N ) ) ) )
1911, 18syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  / L N ) )  e.  NN  <->  1  <_  ( abs `  ( A  / L N ) ) ) )
20 abs00 12095 . . . . . 6  |-  ( ( A  / L N
)  e.  CC  ->  ( ( abs `  ( A  / L N ) )  =  0  <->  ( A  / L N )  =  0 ) )
2120necon3bid 2637 . . . . 5  |-  ( ( A  / L N
)  e.  CC  ->  ( ( abs `  ( A  / L N ) )  =/=  0  <->  ( A  / L N )  =/=  0 ) )
222, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  / L N ) )  =/=  0  <->  ( A  / L N )  =/=  0 ) )
23 lgsne0 21118 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( A  / L N )  =/=  0  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
2422, 23bitrd 246 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  / L N ) )  =/=  0  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
2516, 19, 243bitr3d 276 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 1  <_  ( abs `  ( A  / L N ) )  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
266, 8, 253bitr2d 274 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  / L N ) )  =  1  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600   class class class wbr 4213   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   CCcc 8989   RRcr 8990   0cc0 8991   1c1 8992    <_ cle 9122   NNcn 10001   NN0cn0 10222   ZZcz 10283   abscabs 12040    gcd cgcd 13007    / Lclgs 21079
This theorem is referenced by:  lgssq  21120  lgssq2  21121  lgsquad3  21146
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-mod 11252  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-dvds 12854  df-gcd 13008  df-prm 13081  df-phi 13156  df-pc 13212  df-lgs 21080
  Copyright terms: Public domain W3C validator