MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgscllem Structured version   Unicode version

Theorem lgscllem 21088
Description: The Legendre symbol is an element of  Z. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsval.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
lgsfcl2.z  |-  Z  =  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x
)  <_  1 }
Assertion
Ref Expression
lgscllem  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  / L N )  e.  Z
)
Distinct variable groups:    x, n, A    x, F    n, N, x    n, Z
Allowed substitution hints:    F( n)    Z( x)

Proof of Theorem lgscllem
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgsval.1 . . 3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
21lgsval 21085 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  / L N )  =  if ( N  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) ) ) ) )
3 lgsfcl2.z . . . . . . 7  |-  Z  =  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x
)  <_  1 }
43lgslem2 21082 . . . . . 6  |-  ( -u
1  e.  Z  /\  0  e.  Z  /\  1  e.  Z )
54simp3i 969 . . . . 5  |-  1  e.  Z
64simp2i 968 . . . . 5  |-  0  e.  Z
75, 6keepel 3797 . . . 4  |-  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 )  e.  Z
87a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =  0 )  ->  if (
( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 )  e.  Z )
94simp1i 967 . . . . 5  |-  -u 1  e.  Z
109, 5keepel 3797 . . . 4  |-  if ( ( N  <  0  /\  A  <  0
) ,  -u 1 ,  1 )  e.  Z
11 simplr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  N  e.  ZZ )
12 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  -.  N  =  0 )
1312neneqad 2675 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  N  =/=  0 )
14 nnabscl 12130 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( abs `  N
)  e.  NN )
1511, 13, 14syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  ( abs `  N )  e.  NN )
16 nnuz 10522 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1715, 16syl6eleq 2527 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  ( abs `  N )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
18 df-ne 2602 . . . . . . 7  |-  ( N  =/=  0  <->  -.  N  =  0 )
191, 3lgsfcl2 21087 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  F : NN --> Z )
20193expa 1154 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =/=  0
)  ->  F : NN
--> Z )
2118, 20sylan2br 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  F : NN --> Z )
22 elfznn 11081 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 1 ... ( abs `  N
) )  ->  y  e.  NN )
23 ffvelrn 5869 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> Z  /\  y  e.  NN )  ->  ( F `  y
)  e.  Z )
2421, 22, 23syl2an 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  y  e.  ( 1 ... ( abs `  N ) ) )  ->  ( F `  y )  e.  Z
)
253lgslem3 21083 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Z  /\  z  e.  Z )  ->  ( y  x.  z
)  e.  Z )
2625adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  ( y  e.  Z  /\  z  e.  Z ) )  -> 
( y  x.  z
)  e.  Z )
2717, 24, 26seqcl 11344 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) )  e.  Z )
283lgslem3 21083 . . . 4  |-  ( ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  e.  Z  /\  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) )  e.  Z )  -> 
( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) ) )  e.  Z )
2910, 27, 28sylancr 646 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( abs `  N ) ) )  e.  Z )
308, 29ifclda 3767 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  if ( N  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0
) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( abs `  N
) ) ) )  e.  Z )
312, 30eqeltrd 2511 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  / L N )  e.  Z
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600   {crab 2710   ifcif 3740   {cpr 3816   class class class wbr 4213    e. cmpt 4267   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   0cc0 8991   1c1 8992    + caddc 8994    x. cmul 8996    < clt 9121    <_ cle 9122    - cmin 9292   -ucneg 9293    / cdiv 9678   NNcn 10001   2c2 10050   7c7 10055   8c8 10056   ZZcz 10283   ZZ>=cuz 10489   ...cfz 11044    mod cmo 11251    seq cseq 11324   ^cexp 11383   abscabs 12040    || cdivides 12853   Primecprime 13080    pCnt cpc 13211    / Lclgs 21079
This theorem is referenced by:  lgscl2  21093
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-mod 11252  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-dvds 12854  df-gcd 13008  df-prm 13081  df-phi 13156  df-pc 13212  df-lgs 21080
  Copyright terms: Public domain W3C validator