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Theorem lgsdchr 21124
Description: The Legendre symbol function  X ( m )  =  ( m  / L N ), where  N is an odd positive number, is a real Dirichlet character modulo  N. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsdchr.g  |-  G  =  (DChr `  N )
lgsdchr.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
lgsdchr.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
lgsdchr.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
lgsdchr.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
lgsdchr.x  |-  X  =  ( y  e.  B  |->  ( iota h E. m  e.  ZZ  (
y  =  ( L `
 m )  /\  h  =  ( m  / L N ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lgsdchr  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( X  e.  D  /\  X : B
--> RR ) )
Distinct variable groups:    y, B    h, m, y, L    h, N, m, y    y, X   
y, Z
Allowed substitution hints:    B( h, m)    D( y, h, m)    G( y, h, m)    X( h, m)    Z( h, m)

Proof of Theorem lgsdchr
Dummy variables  a 
b  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iotaex 5427 . . . . . 6  |-  ( iota
h E. m  e.  ZZ  ( y  =  ( L `  m
)  /\  h  =  ( m  / L N
) ) )  e. 
_V
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  y  e.  B )  ->  ( iota h E. m  e.  ZZ  ( y  =  ( L `  m
)  /\  h  =  ( m  / L N
) ) )  e. 
_V )
3 lgsdchr.x . . . . . 6  |-  X  =  ( y  e.  B  |->  ( iota h E. m  e.  ZZ  (
y  =  ( L `
 m )  /\  h  =  ( m  / L N ) ) ) )
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  X  =  ( y  e.  B  |->  ( iota h E. m  e.  ZZ  ( y  =  ( L `  m
)  /\  h  =  ( m  / L N
) ) ) ) )
5 nnnn0 10220 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
65adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  N  e.  NN0 )
7 lgsdchr.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
8 lgsdchr.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  Z
)
9 lgsdchr.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
107, 8, 9znzrhfo 16820 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> B )
116, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  L : ZZ -onto-> B )
12 foelrn 5880 . . . . . . 7  |-  ( ( L : ZZ -onto-> B  /\  x  e.  B
)  ->  E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a ) )
1311, 12sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  x  e.  B )  ->  E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a ) )
14 lgsdchr.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  (DChr `  N )
15 lgsdchr.d . . . . . . . . . . 11  |-  D  =  ( Base `  G
)
1614, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 21123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( X `
 ( L `  a ) )  =  ( a  / L N ) )
17 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  a  e.  ZZ )
18 nnz 10295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
1918ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
20 lgscl 21086 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( a  / L N )  e.  ZZ )
2117, 19, 20syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( a  / L N )  e.  ZZ )
2221zred 10367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( a  / L N )  e.  RR )
2316, 22eqeltrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( X `
 ( L `  a ) )  e.  RR )
24 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( L `  a )  ->  ( X `  x )  =  ( X `  ( L `  a ) ) )
2524eleq1d 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( L `  a )  ->  (
( X `  x
)  e.  RR  <->  ( X `  ( L `  a
) )  e.  RR ) )
2623, 25syl5ibrcom 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( x  =  ( L `  a )  ->  ( X `  x )  e.  RR ) )
2726rexlimdva 2822 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a )  ->  ( X `  x )  e.  RR ) )
2827imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a ) )  ->  ( X `  x )  e.  RR )
2913, 28syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  x  e.  B )  ->  ( X `  x )  e.  RR )
302, 4, 29fmpt2d 5890 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  X : B --> RR )
31 ax-resscn 9039 . . . 4  |-  RR  C_  CC
32 fss 5591 . . . 4  |-  ( ( X : B --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  X : B --> CC )
3330, 31, 32sylancl 644 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  X : B --> CC )
34 eqid 2435 . . . . . 6  |-  (Unit `  Z )  =  (Unit `  Z )
358, 34unitss 15757 . . . . 5  |-  (Unit `  Z )  C_  B
36 foelrn 5880 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L : ZZ -onto-> B  /\  y  e.  B
)  ->  E. b  e.  ZZ  y  =  ( L `  b ) )
3711, 36sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  y  e.  B )  ->  E. b  e.  ZZ  y  =  ( L `  b ) )
3813, 37anim12dan 811 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a )  /\  E. b  e.  ZZ  y  =  ( L `  b ) ) )
39 reeanv 2867 . . . . . . . . 9  |-  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  (
x  =  ( L `
 a )  /\  y  =  ( L `  b ) )  <->  ( E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a )  /\  E. b  e.  ZZ  y  =  ( L `  b ) ) )
4017adantrr 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
a  e.  ZZ )
41 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
b  e.  ZZ )
426adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  NN0 )
43 lgsdirnn0 21115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( a  x.  b
)  / L N
)  =  ( ( a  / L N
)  x.  ( b  / L N ) ) )
4440, 41, 42, 43syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( a  x.  b )  / L N )  =  ( ( a  / L N )  x.  (
b  / L N
) ) )
457zncrng 16817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
466, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  Z  e.  CRing )
47 crngrng 15666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  Z  e.  Ring )
4948adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  Z  e.  Ring )
50 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (flds  ZZ )  =  (flds  ZZ )
5150, 9zrhrhm 16785 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Z  e.  Ring  ->  L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Z ) )
5249, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Z ) )
53 zsscn 10282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ZZ  C_  CC
54 cnfldbas 16699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  CC  =  ( Base ` fld )
5550, 54ressbas2 13512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ZZ  C_  CC  ->  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) ) )
5653, 55ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) )
57 zex 10283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ZZ  e.  _V
58 cnfldmul 16701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x.  =  ( .r ` fld )
5950, 58ressmulr 13574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  x.  =  ( .r `  (flds  ZZ ) ) )
6057, 59ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x.  =  ( .r `  (flds  ZZ ) )
61 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( .r
`  Z )  =  ( .r `  Z
)
6256, 60, 61rhmmul 15820 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Z )  /\  a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( L `  ( a  x.  b ) )  =  ( ( L `  a ) ( .r
`  Z ) ( L `  b ) ) )
6352, 40, 41, 62syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( L `  (
a  x.  b ) )  =  ( ( L `  a ) ( .r `  Z
) ( L `  b ) ) )
6463fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( X `  ( L `  ( a  x.  b ) ) )  =  ( X `  ( ( L `  a ) ( .r
`  Z ) ( L `  b ) ) ) )
65 zmulcl 10316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( a  x.  b
)  e.  ZZ )
6614, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 21123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  x.  b )  e.  ZZ )  ->  ( X `  ( L `  ( a  x.  b ) ) )  =  ( ( a  x.  b )  / L N ) )
6765, 66sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( X `  ( L `  ( a  x.  b ) ) )  =  ( ( a  x.  b )  / L N ) )
6864, 67eqtr3d 2469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( X `  (
( L `  a
) ( .r `  Z ) ( L `
 b ) ) )  =  ( ( a  x.  b )  / L N ) )
6916adantrr 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( X `  ( L `  a )
)  =  ( a  / L N ) )
7014, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 21123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( X `
 ( L `  b ) )  =  ( b  / L N ) )
7170adantrl 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( X `  ( L `  b )
)  =  ( b  / L N ) )
7269, 71oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( X `  ( L `  a ) )  x.  ( X `
 ( L `  b ) ) )  =  ( ( a  / L N )  x.  ( b  / L N ) ) )
7344, 68, 723eqtr4d 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( X `  (
( L `  a
) ( .r `  Z ) ( L `
 b ) ) )  =  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( X `  ( L `  b ) ) ) )
74 oveq12 6082 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  ( L `
 a )  /\  y  =  ( L `  b ) )  -> 
( x ( .r
`  Z ) y )  =  ( ( L `  a ) ( .r `  Z
) ( L `  b ) ) )
7574fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( L `
 a )  /\  y  =  ( L `  b ) )  -> 
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( X `
 ( ( L `
 a ) ( .r `  Z ) ( L `  b
) ) ) )
76 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( L `  b )  ->  ( X `  y )  =  ( X `  ( L `  b ) ) )
7724, 76oveqan12d 6092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( L `
 a )  /\  y  =  ( L `  b ) )  -> 
( ( X `  x )  x.  ( X `  y )
)  =  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( X `  ( L `  b ) ) ) )
7875, 77eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( L `
 a )  /\  y  =  ( L `  b ) )  -> 
( ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  <-> 
( X `  (
( L `  a
) ( .r `  Z ) ( L `
 b ) ) )  =  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( X `  ( L `  b ) ) ) ) )
7973, 78syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  =  ( L `  a
)  /\  y  =  ( L `  b ) )  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) ) )
8079rexlimdvva 2829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( x  =  ( L `  a
)  /\  y  =  ( L `  b ) )  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) ) )
8139, 80syl5bir 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( ( E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a )  /\  E. b  e.  ZZ  y  =  ( L `  b ) )  -> 
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) ) )
8281imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a )  /\  E. b  e.  ZZ  y  =  ( L `  b ) ) )  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) )
8338, 82syldan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) )
8483ralrimivva 2790 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) )
85 ssralv 3399 . . . . . . 7  |-  ( (Unit `  Z )  C_  B  ->  ( A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  ->  A. y  e.  (Unit `  Z ) ( X `
 ( x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y )
) ) )
8685ralimdv 2777 . . . . . 6  |-  ( (Unit `  Z )  C_  B  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  (Unit `  Z ) ( X `
 ( x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y )
) ) )
87 ssralv 3399 . . . . . 6  |-  ( (Unit `  Z )  C_  B  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  (Unit `  Z )
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) )  ->  A. x  e.  (Unit `  Z ) A. y  e.  (Unit `  Z )
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) ) )
8886, 87syld 42 . . . . 5  |-  ( (Unit `  Z )  C_  B  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  ->  A. x  e.  (Unit `  Z ) A. y  e.  (Unit `  Z )
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) ) )
8935, 84, 88mpsyl 61 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  A. x  e.  (Unit `  Z ) A. y  e.  (Unit `  Z )
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) )
90 1z 10303 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
9114, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 21123 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( X `
 ( L ` 
1 ) )  =  ( 1  / L N ) )
9290, 91mpan2 653 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( X `  ( L `  1 ) )  =  ( 1  / L N ) )
93 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 1r `  Z
)
949, 93zrh1 16786 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( L `
 1 )  =  ( 1r `  Z
) )
9548, 94syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( L ` 
1 )  =  ( 1r `  Z ) )
9695fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( X `  ( L `  1 ) )  =  ( X `
 ( 1r `  Z ) ) )
9718adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  N  e.  ZZ )
98 1lgs 21113 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  / L N
)  =  1 )
9997, 98syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( 1  / L N )  =  1 )
10092, 96, 993eqtr3d 2475 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
101 lgsne0 21109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( a  / L N )  =/=  0  <->  ( a  gcd  N )  =  1 ) )
10217, 19, 101syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( a  / L N
)  =/=  0  <->  (
a  gcd  N )  =  1 ) )
103102biimpd 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( a  / L N
)  =/=  0  -> 
( a  gcd  N
)  =  1 ) )
10416neeq1d 2611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  =/=  0  <->  ( a  / L N )  =/=  0 ) )
1057, 34, 9znunit 16836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  a )  e.  (Unit `  Z )  <->  ( a  gcd  N )  =  1 ) )
1066, 105sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  a )  e.  (Unit `  Z
)  <->  ( a  gcd 
N )  =  1 ) )
107103, 104, 1063imtr4d 260 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  =/=  0  ->  ( L `  a )  e.  (Unit `  Z )
) )
10824neeq1d 2611 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( L `  a )  ->  (
( X `  x
)  =/=  0  <->  ( X `  ( L `  a ) )  =/=  0 ) )
109 eleq1 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( L `  a )  ->  (
x  e.  (Unit `  Z )  <->  ( L `  a )  e.  (Unit `  Z ) ) )
110108, 109imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( L `  a )  ->  (
( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z ) )  <->  ( ( X `  ( L `  a ) )  =/=  0  ->  ( L `  a )  e.  (Unit `  Z ) ) ) )
111107, 110syl5ibrcom 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( x  =  ( L `  a )  ->  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z
) ) ) )
112111rexlimdva 2822 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a )  ->  ( ( X `
 x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z ) ) ) )
113112imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a ) )  ->  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z )
) )
11413, 113syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  x  e.  B )  ->  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z
) ) )
115114ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z ) ) )
11689, 100, 1153jca 1134 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( A. x  e.  (Unit `  Z ) A. y  e.  (Unit `  Z ) ( X `
 ( x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y )
)  /\  ( X `  ( 1r `  Z
) )  =  1  /\  A. x  e.  B  ( ( X `
 x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z ) ) ) )
117 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  N  e.  NN )
11814, 7, 8, 34, 117, 15dchrelbas3 21014 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( X  e.  D  <->  ( X : B
--> CC  /\  ( A. x  e.  (Unit `  Z
) A. y  e.  (Unit `  Z )
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) )  /\  ( X `  ( 1r
`  Z ) )  =  1  /\  A. x  e.  B  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z
) ) ) ) ) )
11933, 116, 118mpbir2and 889 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  X  e.  D
)
120119, 30jca 519 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( X  e.  D  /\  X : B
--> RR ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   iotacio 5408   -->wf 5442   -onto->wfo 5444   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    x. cmul 8987   NNcn 9992   2c2 10041   NN0cn0 10213   ZZcz 10274    || cdivides 12844    gcd cgcd 12998   Basecbs 13461   ↾s cress 13462   .rcmulr 13522   Ringcrg 15652   CRingccrg 15653   1rcur 15654  Unitcui 15736   RingHom crh 15809  ℂfldccnfld 16695   ZRHomczrh 16770  ℤ/nczn 16773  DChrcdchr 21008    / Lclgs 21070
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-dvds 12845  df-gcd 12999  df-prm 13072  df-phi 13147  df-pc 13203  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-0g 13719  df-imas 13726  df-divs 13727  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-nsg 14934  df-eqg 14935  df-ghm 14996  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-rnghom 15811  df-subrg 15858  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-sra 16236  df-rgmod 16237  df-lidl 16238  df-rsp 16239  df-2idl 16295  df-cnfld 16696  df-zrh 16774  df-zn 16777  df-dchr 21009  df-lgs 21071
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