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Theorem lgsdchr 20587
Description: The Legendre symbol function  X ( m )  =  ( m  / L N ), where  N is an odd positive number, is a real Dirichlet character modulo  N. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsdchr.g  |-  G  =  (DChr `  N )
lgsdchr.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
lgsdchr.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
lgsdchr.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
lgsdchr.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
lgsdchr.x  |-  X  =  ( y  e.  B  |->  ( iota h E. m  e.  ZZ  (
y  =  ( L `
 m )  /\  h  =  ( m  / L N ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lgsdchr  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( X  e.  D  /\  X : B
--> RR ) )
Distinct variable groups:    y, B    h, m, y, L    h, N, m, y    y, X   
y, Z
Allowed substitution hints:    B( h, m)    D( y, h, m)    G( y, h, m)    X( h, m)    Z( h, m)

Proof of Theorem lgsdchr
Dummy variables  a 
b  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iotaex 5236 . . . . . 6  |-  ( iota
h E. m  e.  ZZ  ( y  =  ( L `  m
)  /\  h  =  ( m  / L N
) ) )  e. 
_V
21a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  y  e.  B )  ->  ( iota h E. m  e.  ZZ  ( y  =  ( L `  m
)  /\  h  =  ( m  / L N
) ) )  e. 
_V )
3 lgsdchr.x . . . . . 6  |-  X  =  ( y  e.  B  |->  ( iota h E. m  e.  ZZ  (
y  =  ( L `
 m )  /\  h  =  ( m  / L N ) ) ) )
43a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  X  =  ( y  e.  B  |->  ( iota h E. m  e.  ZZ  ( y  =  ( L `  m
)  /\  h  =  ( m  / L N
) ) ) ) )
5 nnnn0 9972 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
65adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  N  e.  NN0 )
7 lgsdchr.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
8 lgsdchr.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  Z
)
9 lgsdchr.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
107, 8, 9znzrhfo 16501 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> B )
116, 10syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  L : ZZ -onto-> B )
12 foelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( L : ZZ -onto-> B  /\  x  e.  B
)  ->  E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a ) )
1311, 12sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  x  e.  B )  ->  E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a ) )
14 lgsdchr.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  (DChr `  N )
15 lgsdchr.d . . . . . . . . . . 11  |-  D  =  ( Base `  G
)
1614, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 20586 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( X `
 ( L `  a ) )  =  ( a  / L N ) )
17 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  a  e.  ZZ )
18 nnz 10045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
1918ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
20 lgscl 20549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( a  / L N )  e.  ZZ )
2117, 19, 20syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( a  / L N )  e.  ZZ )
2221zred 10117 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( a  / L N )  e.  RR )
2316, 22eqeltrd 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( X `
 ( L `  a ) )  e.  RR )
24 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( L `  a )  ->  ( X `  x )  =  ( X `  ( L `  a ) ) )
2524eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( L `  a )  ->  (
( X `  x
)  e.  RR  <->  ( X `  ( L `  a
) )  e.  RR ) )
2623, 25syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( x  =  ( L `  a )  ->  ( X `  x )  e.  RR ) )
2726rexlimdva 2667 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a )  ->  ( X `  x )  e.  RR ) )
2827imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a ) )  ->  ( X `  x )  e.  RR )
2913, 28syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  x  e.  B )  ->  ( X `  x )  e.  RR )
302, 4, 29fmpt2d 5688 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  X : B --> RR )
31 ax-resscn 8794 . . . 4  |-  RR  C_  CC
32 fss 5397 . . . 4  |-  ( ( X : B --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  X : B --> CC )
3330, 31, 32sylancl 643 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  X : B --> CC )
34 eqid 2283 . . . . . 6  |-  (Unit `  Z )  =  (Unit `  Z )
358, 34unitss 15442 . . . . 5  |-  (Unit `  Z )  C_  B
36 foelrn 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L : ZZ -onto-> B  /\  y  e.  B
)  ->  E. b  e.  ZZ  y  =  ( L `  b ) )
3711, 36sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  y  e.  B )  ->  E. b  e.  ZZ  y  =  ( L `  b ) )
3813, 37anim12dan 810 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a )  /\  E. b  e.  ZZ  y  =  ( L `  b ) ) )
39 reeanv 2707 . . . . . . . . 9  |-  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  (
x  =  ( L `
 a )  /\  y  =  ( L `  b ) )  <->  ( E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a )  /\  E. b  e.  ZZ  y  =  ( L `  b ) ) )
4017adantrr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
a  e.  ZZ )
41 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
b  e.  ZZ )
426adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  NN0 )
43 lgsdirnn0 20578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( a  x.  b
)  / L N
)  =  ( ( a  / L N
)  x.  ( b  / L N ) ) )
4440, 41, 42, 43syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( a  x.  b )  / L N )  =  ( ( a  / L N )  x.  (
b  / L N
) ) )
457zncrng 16498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
466, 45syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  Z  e.  CRing )
47 crngrng 15351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
4846, 47syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  Z  e.  Ring )
4948adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  Z  e.  Ring )
50 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (flds  ZZ )  =  (flds  ZZ )
5150, 9zrhrhm 16466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Z  e.  Ring  ->  L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Z ) )
5249, 51syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Z ) )
53 zsscn 10032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ZZ  C_  CC
54 cnfldbas 16383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  CC  =  ( Base ` fld )
5550, 54ressbas2 13199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ZZ  C_  CC  ->  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) ) )
5653, 55ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) )
57 zex 10033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ZZ  e.  _V
58 cnfldmul 16385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x.  =  ( .r ` fld )
5950, 58ressmulr 13261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  x.  =  ( .r `  (flds  ZZ ) ) )
6057, 59ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x.  =  ( .r `  (flds  ZZ ) )
61 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( .r
`  Z )  =  ( .r `  Z
)
6256, 60, 61rhmmul 15505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Z )  /\  a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( L `  ( a  x.  b ) )  =  ( ( L `  a ) ( .r
`  Z ) ( L `  b ) ) )
6352, 40, 41, 62syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( L `  (
a  x.  b ) )  =  ( ( L `  a ) ( .r `  Z
) ( L `  b ) ) )
6463fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( X `  ( L `  ( a  x.  b ) ) )  =  ( X `  ( ( L `  a ) ( .r
`  Z ) ( L `  b ) ) ) )
65 zmulcl 10066 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( a  x.  b
)  e.  ZZ )
6614, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 20586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  x.  b )  e.  ZZ )  ->  ( X `  ( L `  ( a  x.  b ) ) )  =  ( ( a  x.  b )  / L N ) )
6765, 66sylan2 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( X `  ( L `  ( a  x.  b ) ) )  =  ( ( a  x.  b )  / L N ) )
6864, 67eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( X `  (
( L `  a
) ( .r `  Z ) ( L `
 b ) ) )  =  ( ( a  x.  b )  / L N ) )
6916adantrr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( X `  ( L `  a )
)  =  ( a  / L N ) )
7014, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 20586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( X `
 ( L `  b ) )  =  ( b  / L N ) )
7170adantrl 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( X `  ( L `  b )
)  =  ( b  / L N ) )
7269, 71oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( X `  ( L `  a ) )  x.  ( X `
 ( L `  b ) ) )  =  ( ( a  / L N )  x.  ( b  / L N ) ) )
7344, 68, 723eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( X `  (
( L `  a
) ( .r `  Z ) ( L `
 b ) ) )  =  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( X `  ( L `  b ) ) ) )
74 oveq12 5867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  ( L `
 a )  /\  y  =  ( L `  b ) )  -> 
( x ( .r
`  Z ) y )  =  ( ( L `  a ) ( .r `  Z
) ( L `  b ) ) )
7574fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( L `
 a )  /\  y  =  ( L `  b ) )  -> 
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( X `
 ( ( L `
 a ) ( .r `  Z ) ( L `  b
) ) ) )
76 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( L `  b )  ->  ( X `  y )  =  ( X `  ( L `  b ) ) )
7724, 76oveqan12d 5877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( L `
 a )  /\  y  =  ( L `  b ) )  -> 
( ( X `  x )  x.  ( X `  y )
)  =  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( X `  ( L `  b ) ) ) )
7875, 77eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( L `
 a )  /\  y  =  ( L `  b ) )  -> 
( ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  <-> 
( X `  (
( L `  a
) ( .r `  Z ) ( L `
 b ) ) )  =  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( X `  ( L `  b ) ) ) ) )
7973, 78syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  =  ( L `  a
)  /\  y  =  ( L `  b ) )  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) ) )
8079rexlimdvva 2674 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( x  =  ( L `  a
)  /\  y  =  ( L `  b ) )  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) ) )
8139, 80syl5bir 209 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( ( E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a )  /\  E. b  e.  ZZ  y  =  ( L `  b ) )  -> 
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) ) )
8281imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a )  /\  E. b  e.  ZZ  y  =  ( L `  b ) ) )  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) )
8338, 82syldan 456 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) )
8483ralrimivva 2635 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) )
85 ssralv 3237 . . . . . . 7  |-  ( (Unit `  Z )  C_  B  ->  ( A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  ->  A. y  e.  (Unit `  Z ) ( X `
 ( x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y )
) ) )
8685ralimdv 2622 . . . . . 6  |-  ( (Unit `  Z )  C_  B  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  (Unit `  Z ) ( X `
 ( x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y )
) ) )
87 ssralv 3237 . . . . . 6  |-  ( (Unit `  Z )  C_  B  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  (Unit `  Z )
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) )  ->  A. x  e.  (Unit `  Z ) A. y  e.  (Unit `  Z )
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) ) )
8886, 87syld 40 . . . . 5  |-  ( (Unit `  Z )  C_  B  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  ->  A. x  e.  (Unit `  Z ) A. y  e.  (Unit `  Z )
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) ) )
8935, 84, 88mpsyl 59 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  A. x  e.  (Unit `  Z ) A. y  e.  (Unit `  Z )
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) )
90 1z 10053 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
9114, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 20586 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( X `
 ( L ` 
1 ) )  =  ( 1  / L N ) )
9290, 91mpan2 652 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( X `  ( L `  1 ) )  =  ( 1  / L N ) )
93 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 1r `  Z
)
949, 93zrh1 16467 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( L `
 1 )  =  ( 1r `  Z
) )
9548, 94syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( L ` 
1 )  =  ( 1r `  Z ) )
9695fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( X `  ( L `  1 ) )  =  ( X `
 ( 1r `  Z ) ) )
9718adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  N  e.  ZZ )
98 1lgs 20576 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  / L N
)  =  1 )
9997, 98syl 15 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( 1  / L N )  =  1 )
10092, 96, 993eqtr3d 2323 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
101 lgsne0 20572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( a  / L N )  =/=  0  <->  ( a  gcd  N )  =  1 ) )
10217, 19, 101syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( a  / L N
)  =/=  0  <->  (
a  gcd  N )  =  1 ) )
103102biimpd 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( a  / L N
)  =/=  0  -> 
( a  gcd  N
)  =  1 ) )
10416neeq1d 2459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  =/=  0  <->  ( a  / L N )  =/=  0 ) )
1057, 34, 9znunit 16517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  a )  e.  (Unit `  Z )  <->  ( a  gcd  N )  =  1 ) )
1066, 105sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  a )  e.  (Unit `  Z
)  <->  ( a  gcd 
N )  =  1 ) )
107103, 104, 1063imtr4d 259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  =/=  0  ->  ( L `  a )  e.  (Unit `  Z )
) )
10824neeq1d 2459 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( L `  a )  ->  (
( X `  x
)  =/=  0  <->  ( X `  ( L `  a ) )  =/=  0 ) )
109 eleq1 2343 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( L `  a )  ->  (
x  e.  (Unit `  Z )  <->  ( L `  a )  e.  (Unit `  Z ) ) )
110108, 109imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( L `  a )  ->  (
( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z ) )  <->  ( ( X `  ( L `  a ) )  =/=  0  ->  ( L `  a )  e.  (Unit `  Z ) ) ) )
111107, 110syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( x  =  ( L `  a )  ->  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z
) ) ) )
112111rexlimdva 2667 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a )  ->  ( ( X `
 x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z ) ) ) )
113112imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a ) )  ->  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z )
) )
11413, 113syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  x  e.  B )  ->  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z
) ) )
115114ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z ) ) )
11689, 100, 1153jca 1132 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( A. x  e.  (Unit `  Z ) A. y  e.  (Unit `  Z ) ( X `
 ( x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y )
)  /\  ( X `  ( 1r `  Z
) )  =  1  /\  A. x  e.  B  ( ( X `
 x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z ) ) ) )
117 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  N  e.  NN )
11814, 7, 8, 34, 117, 15dchrelbas3 20477 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( X  e.  D  <->  ( X : B
--> CC  /\  ( A. x  e.  (Unit `  Z
) A. y  e.  (Unit `  Z )
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) )  /\  ( X `  ( 1r
`  Z ) )  =  1  /\  A. x  e.  B  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z
) ) ) ) ) )
11933, 116, 118mpbir2and 888 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  X  e.  D
)
120119, 30jca 518 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( X  e.  D  /\  X : B
--> RR ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   iotacio 5217   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024    || cdivides 12531    gcd cgcd 12685   Basecbs 13148   ↾s cress 13149   .rcmulr 13209   Ringcrg 15337   CRingccrg 15338   1rcur 15339  Unitcui 15421   RingHom crh 15494  ℂfldccnfld 16377   ZRHomczrh 16451  ℤ/nczn 16454  DChrcdchr 20471    / Lclgs 20533
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-phi 12834  df-pc 12890  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-imas 13411  df-divs 13412  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620  df-ghm 14681  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-rnghom 15496  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rsp 15928  df-2idl 15984  df-cnfld 16378  df-zrh 16455  df-zn 16458  df-dchr 20472  df-lgs 20534
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