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Theorem lgsdir2 20567
Description: The Legendre symbol is completely multiplicative at  2. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  x.  B )  / L
2 )  =  ( ( A  / L
2 )  x.  ( B  / L 2 ) ) )

Proof of Theorem lgsdir2
StepHypRef Expression
1 0cn 8831 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
2 ax-1cn 8795 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
3 neg1cn 9813 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  CC
42, 3keepel 3622 . . . . . 6  |-  if ( ( B  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
)  e.  CC
51, 4keepel 3622 . . . . 5  |-  if ( 2  ||  B , 
0 ,  if ( ( B  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) )  e.  CC
65mul02i 9001 . . . 4  |-  ( 0  x.  if ( 2 
||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) )  =  0
7 iftrue 3571 . . . . . 6  |-  ( 2 
||  A  ->  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  0 )
87adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  2  ||  A
)  ->  if (
2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) )  =  0 )
98oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  2  ||  A
)  ->  ( if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  x.  if ( 2  ||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) )  =  ( 0  x.  if ( 2  ||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ) )
10 2z 10054 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
11 dvdsmultr1 12563 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
2  ||  A  ->  2 
||  ( A  x.  B ) ) )
1210, 11mp3an1 1264 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( 2  ||  A  ->  2  ||  ( A  x.  B ) ) )
1312imp 418 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  2  ||  A
)  ->  2  ||  ( A  x.  B
) )
14 iftrue 3571 . . . . 5  |-  ( 2 
||  ( A  x.  B )  ->  if ( 2  ||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  0 )
1513, 14syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  2  ||  A
)  ->  if (
2  ||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B
)  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) )  =  0 )
166, 9, 153eqtr4a 2341 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  2  ||  A
)  ->  ( if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  x.  if ( 2  ||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) )  =  if ( 2 
||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B
)  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) )
172, 3keepel 3622 . . . . . 6  |-  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
)  e.  CC
181, 17keepel 3622 . . . . 5  |-  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) )  e.  CC
1918mul01i 9002 . . . 4  |-  ( if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  x.  0 )  =  0
20 iftrue 3571 . . . . . 6  |-  ( 2 
||  B  ->  if ( 2  ||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  0 )
2120adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  2  ||  B
)  ->  if (
2  ||  B , 
0 ,  if ( ( B  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) )  =  0 )
2221oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  2  ||  B
)  ->  ( if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  x.  if ( 2  ||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) )  =  ( if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) )  x.  0 ) )
23 dvdsmultr2 12564 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
2  ||  B  ->  2 
||  ( A  x.  B ) ) )
2410, 23mp3an1 1264 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( 2  ||  B  ->  2  ||  ( A  x.  B ) ) )
2524imp 418 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  2  ||  B
)  ->  2  ||  ( A  x.  B
) )
2625, 14syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  2  ||  B
)  ->  if (
2  ||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B
)  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) )  =  0 )
2719, 22, 263eqtr4a 2341 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  2  ||  B
)  ->  ( if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  x.  if ( 2  ||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) )  =  if ( 2 
||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B
)  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) )
284mulid2i 8840 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  if ( ( B  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) )  =  if ( ( B  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 )
29 iftrue 3571 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 }  ->  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  =  1 )
3029adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  =  1 )
3130oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  ( if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  x.  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  ( 1  x.  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) )
32 lgsdir2lem4 20565 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } )  ->  ( (
( A  x.  B
)  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 }  <->  ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ) )
3332adantlr 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  (
( ( A  x.  B )  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  <->  ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ) )
3433ifbid 3583 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  =  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )
3528, 31, 343eqtr4a 2341 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  ( if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  x.  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } ,  1 , 
-u 1 ) )
3617mulid1i 8839 . . . . . 6  |-  ( if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  x.  1 )  =  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
)
37 iftrue 3571 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 }  ->  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  =  1 )
3837adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  =  1 )
3938oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  ( if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  x.  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  ( if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 )  x.  1 ) )
40 zcn 10029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
41 zcn 10029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
42 mulcom 8823 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  =  ( B  x.  A ) )
4340, 41, 42syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  B
)  =  ( B  x.  A ) )
4443ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  ( A  x.  B )  =  ( B  x.  A ) )
4544oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  (
( A  x.  B
)  mod  8 )  =  ( ( B  x.  A )  mod  8 ) )
4645eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  (
( ( A  x.  B )  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  <->  ( ( B  x.  A )  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ) )
47 lgsdir2lem4 20565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } )  ->  ( (
( B  x.  A
)  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 }  <->  ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ) )
4847ancom1s 780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } )  ->  ( (
( B  x.  A
)  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 }  <->  ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ) )
4948adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  (
( ( B  x.  A )  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  <->  ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ) )
5046, 49bitrd 244 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  (
( ( A  x.  B )  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  <->  ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ) )
5150ifbid 3583 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  =  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )
5236, 39, 513eqtr4a 2341 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  ( if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  x.  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } ,  1 , 
-u 1 ) )
533mulm1i 9224 . . . . . . 7  |-  ( -u
1  x.  -u 1
)  =  -u -u 1
542negnegi 9116 . . . . . . 7  |-  -u -u 1  =  1
5553, 54eqtri 2303 . . . . . 6  |-  ( -u
1  x.  -u 1
)  =  1
56 iffalse 3572 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  ->  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  =  -u
1 )
57 iffalse 3572 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( B  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  ->  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  =  -u
1 )
5856, 57oveqan12d 5877 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 }  /\  -.  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  ( if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  x.  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  ( -u 1  x.  -u 1 ) )
5958adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( -.  ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  /\  -.  ( B  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } ) )  ->  ( if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  x.  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  ( -u 1  x.  -u 1 ) )
60 lgsdir2lem3 20564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
6160ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  -> 
( A  mod  8
)  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
62 elun 3316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } )  <->  ( ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 }  \/  ( A  mod  8 )  e. 
{ 3 ,  5 } ) )
6361, 62sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  -> 
( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 }  \/  ( A  mod  8 )  e.  {
3 ,  5 } ) )
6463orcanai 879 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  -.  ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  ( A  mod  8 )  e. 
{ 3 ,  5 } )
65 lgsdir2lem3 20564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  B )  ->  ( B  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
6665ad2ant2l 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  -> 
( B  mod  8
)  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
67 elun 3316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } )  <->  ( ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 }  \/  ( B  mod  8 )  e. 
{ 3 ,  5 } ) )
6866, 67sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  -> 
( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 }  \/  ( B  mod  8 )  e.  {
3 ,  5 } ) )
6968orcanai 879 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  -.  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  ( B  mod  8 )  e. 
{ 3 ,  5 } )
7064, 69anim12dan 810 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( -.  ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  /\  -.  ( B  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } ) )  ->  ( ( A  mod  8 )  e. 
{ 3 ,  5 }  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 3 ,  5 } ) )
71 lgsdir2lem5 20566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( ( A  mod  8 )  e. 
{ 3 ,  5 }  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 3 ,  5 } ) )  -> 
( ( A  x.  B )  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } )
7271adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( ( A  mod  8 )  e.  { 3 ,  5 }  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 3 ,  5 } ) )  -> 
( ( A  x.  B )  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } )
7370, 72syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( -.  ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  /\  -.  ( B  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } ) )  ->  ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } )
74 iftrue 3571 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  x.  B
)  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 }  ->  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  =  1 )
7573, 74syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( -.  ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  /\  -.  ( B  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } ) )  ->  if (
( ( A  x.  B )  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
)  =  1 )
7655, 59, 753eqtr4a 2341 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( -.  ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  /\  -.  ( B  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } ) )  ->  ( if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  x.  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } ,  1 , 
-u 1 ) )
7735, 52, 76pm2.61ddan 767 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  -> 
( if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 )  x.  if ( ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } ,  1 , 
-u 1 ) )  =  if ( ( ( A  x.  B
)  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) )
78 iffalse 3572 . . . . . 6  |-  ( -.  2  ||  A  ->  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  if ( ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } ,  1 , 
-u 1 ) )
79 iffalse 3572 . . . . . 6  |-  ( -.  2  ||  B  ->  if ( 2  ||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  if ( ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } ,  1 , 
-u 1 ) )
8078, 79oveqan12d 5877 . . . . 5  |-  ( ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B
)  ->  ( if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  x.  if ( 2  ||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) )  =  ( if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
)  x.  if ( ( B  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) )
8180adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  -> 
( if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) )  x.  if ( 2 
||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) )  =  ( if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  x.  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) )
82 ioran 476 . . . . . 6  |-  ( -.  ( 2  ||  A  \/  2  ||  B )  <-> 
( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )
83 2prm 12774 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  Prime
84 euclemma 12787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
2  ||  ( A  x.  B )  <->  ( 2 
||  A  \/  2 
||  B ) ) )
8583, 84mp3an1 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( 2  ||  ( A  x.  B )  <->  ( 2  ||  A  \/  2  ||  B ) ) )
8685notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( -.  2  ||  ( A  x.  B
)  <->  -.  ( 2 
||  A  \/  2 
||  B ) ) )
8786biimpar 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  ( 2 
||  A  \/  2 
||  B ) )  ->  -.  2  ||  ( A  x.  B
) )
8882, 87sylan2br 462 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  ->  -.  2  ||  ( A  x.  B ) )
89 iffalse 3572 . . . . 5  |-  ( -.  2  ||  ( A  x.  B )  ->  if ( 2  ||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } ,  1 , 
-u 1 ) )
9088, 89syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  ->  if ( 2  ||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } ,  1 , 
-u 1 ) )
9177, 81, 903eqtr4d 2325 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  -> 
( if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) )  x.  if ( 2 
||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) )  =  if ( 2  ||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) )
9216, 27, 91pm2.61ddan 767 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) )  x.  if ( 2 
||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) )  =  if ( 2  ||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) )
93 lgs2 20552 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  / L 2 )  =  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) )
94 lgs2 20552 . . 3  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  / L 2 )  =  if ( 2 
||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) )
9593, 94oveqan12d 5877 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  / L 2 )  x.  ( B  / L
2 ) )  =  ( if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) )  x.  if ( 2 
||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ) )
96 zmulcl 10066 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  B
)  e.  ZZ )
97 lgs2 20552 . . 3  |-  ( ( A  x.  B )  e.  ZZ  ->  (
( A  x.  B
)  / L 2 )  =  if ( 2  ||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) )
9896, 97syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  x.  B )  / L
2 )  =  if ( 2  ||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) )
9992, 95, 983eqtr4rd 2326 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  x.  B )  / L
2 )  =  ( ( A  / L
2 )  x.  ( B  / L 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    u. cun 3150   ifcif 3565   {cpr 3641   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742   -ucneg 9038   2c2 9795   3c3 9796   5c5 9798   7c7 9800   8c8 9801   ZZcz 10024    mod cmo 10973    || cdivides 12531   Primecprime 12758    / Lclgs 20533
This theorem is referenced by:  lgsdirprm  20568
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-phi 12834  df-pc 12890  df-lgs 20534
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