MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem1 Structured version   Unicode version

Theorem lgsdir2lem1 21099
Description: Lemma for lgsdir2 21104. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem1  |-  ( ( ( 1  mod  8
)  =  1  /\  ( -u 1  mod  8 )  =  7 )  /\  ( ( 3  mod  8 )  =  3  /\  ( -u 3  mod  8 )  =  5 ) )

Proof of Theorem lgsdir2lem1
StepHypRef Expression
1 1re 9082 . . . 4  |-  1  e.  RR
2 8re 10070 . . . . 5  |-  8  e.  RR
3 8pos 10082 . . . . 5  |-  0  <  8
42, 3elrpii 10607 . . . 4  |-  8  e.  RR+
5 0le1 9543 . . . 4  |-  0  <_  1
6 1lt8 10161 . . . 4  |-  1  <  8
7 modid 11262 . . . 4  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  1  /\  1  <  8
) )  ->  (
1  mod  8 )  =  1 )
81, 4, 5, 6, 7mp4an 655 . . 3  |-  ( 1  mod  8 )  =  1
92recni 9094 . . . . . . . 8  |-  8  e.  CC
109mulid2i 9085 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  8 )  =  8
1110oveq2i 6084 . . . . . 6  |-  ( -u
1  +  ( 1  x.  8 ) )  =  ( -u 1  +  8 )
12 ax-1cn 9040 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1312negcli 9360 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  CC
149, 12negsubi 9370 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  -u 1 )  =  ( 8  -  1 )
15 7nn 10130 . . . . . . . . . 10  |-  7  e.  NN
1615nncni 10002 . . . . . . . . 9  |-  7  e.  CC
1712, 16addcomi 9249 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  7 )  =  ( 7  +  1 )
18 df-8 10056 . . . . . . . . . 10  |-  8  =  ( 7  +  1 )
1917, 18eqtr4i 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  7 )  =  8
209, 12, 16, 19subaddrii 9381 . . . . . . . 8  |-  ( 8  -  1 )  =  7
2114, 20eqtri 2455 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  -u 1 )  =  7
229, 13, 21addcomli 9250 . . . . . 6  |-  ( -u
1  +  8 )  =  7
2311, 22eqtri 2455 . . . . 5  |-  ( -u
1  +  ( 1  x.  8 ) )  =  7
2423oveq1i 6083 . . . 4  |-  ( (
-u 1  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( 7  mod  8 )
251renegcli 9354 . . . . 5  |-  -u 1  e.  RR
26 1z 10303 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
27 modcyc 11268 . . . . 5  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  8  e.  RR+  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 1  mod  8 ) )
2825, 4, 26, 27mp3an 1279 . . . 4  |-  ( (
-u 1  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 1  mod  8 )
29 7re 10069 . . . . 5  |-  7  e.  RR
30 0re 9083 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
31 7pos 10081 . . . . . 6  |-  0  <  7
3230, 29, 31ltleii 9188 . . . . 5  |-  0  <_  7
33 7lt8 10155 . . . . 5  |-  7  <  8
34 modid 11262 . . . . 5  |-  ( ( ( 7  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  7  /\  7  <  8
) )  ->  (
7  mod  8 )  =  7 )
3529, 4, 32, 33, 34mp4an 655 . . . 4  |-  ( 7  mod  8 )  =  7
3624, 28, 353eqtr3i 2463 . . 3  |-  ( -u
1  mod  8 )  =  7
378, 36pm3.2i 442 . 2  |-  ( ( 1  mod  8 )  =  1  /\  ( -u 1  mod  8 )  =  7 )
38 3re 10063 . . . 4  |-  3  e.  RR
39 3pos 10076 . . . . 5  |-  0  <  3
4030, 38, 39ltleii 9188 . . . 4  |-  0  <_  3
41 3lt8 10159 . . . 4  |-  3  <  8
42 modid 11262 . . . 4  |-  ( ( ( 3  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  3  /\  3  <  8
) )  ->  (
3  mod  8 )  =  3 )
4338, 4, 40, 41, 42mp4an 655 . . 3  |-  ( 3  mod  8 )  =  3
4410oveq2i 6084 . . . . . 6  |-  ( -u
3  +  ( 1  x.  8 ) )  =  ( -u 3  +  8 )
45 3cn 10064 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
4645negcli 9360 . . . . . . 7  |-  -u 3  e.  CC
479, 45negsubi 9370 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  -u 3 )  =  ( 8  -  3 )
48 5nn 10128 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  NN
4948nncni 10002 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  CC
50 5p3e8 10109 . . . . . . . . . 10  |-  ( 5  +  3 )  =  8
5149, 45, 50addcomli 9250 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  +  5 )  =  8
529, 45, 49, 51subaddrii 9381 . . . . . . . 8  |-  ( 8  -  3 )  =  5
5347, 52eqtri 2455 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  -u 3 )  =  5
549, 46, 53addcomli 9250 . . . . . 6  |-  ( -u
3  +  8 )  =  5
5544, 54eqtri 2455 . . . . 5  |-  ( -u
3  +  ( 1  x.  8 ) )  =  5
5655oveq1i 6083 . . . 4  |-  ( (
-u 3  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( 5  mod  8 )
5738renegcli 9354 . . . . 5  |-  -u 3  e.  RR
58 modcyc 11268 . . . . 5  |-  ( (
-u 3  e.  RR  /\  8  e.  RR+  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( -u 3  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 3  mod  8 ) )
5957, 4, 26, 58mp3an 1279 . . . 4  |-  ( (
-u 3  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 3  mod  8 )
60 5re 10067 . . . . 5  |-  5  e.  RR
61 5pos 10079 . . . . . 6  |-  0  <  5
6230, 60, 61ltleii 9188 . . . . 5  |-  0  <_  5
63 5lt8 10157 . . . . 5  |-  5  <  8
64 modid 11262 . . . . 5  |-  ( ( ( 5  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  5  /\  5  <  8
) )  ->  (
5  mod  8 )  =  5 )
6560, 4, 62, 63, 64mp4an 655 . . . 4  |-  ( 5  mod  8 )  =  5
6656, 59, 653eqtr3i 2463 . . 3  |-  ( -u
3  mod  8 )  =  5
6743, 66pm3.2i 442 . 2  |-  ( ( 3  mod  8 )  =  3  /\  ( -u 3  mod  8 )  =  5 )
6837, 67pm3.2i 442 1  |-  ( ( ( 1  mod  8
)  =  1  /\  ( -u 1  mod  8 )  =  7 )  /\  ( ( 3  mod  8 )  =  3  /\  ( -u 3  mod  8 )  =  5 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283   -ucneg 9284   3c3 10042   5c5 10044   7c7 10046   8c8 10047   ZZcz 10274   RR+crp 10604    mod cmo 11242
This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  21102  lgsdir2lem5  21103
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fl 11194  df-mod 11243
  Copyright terms: Public domain W3C validator