MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem1 Unicode version

Theorem lgsdir2lem1 20562
Description: Lemma for lgsdir2 20567. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem1  |-  ( ( ( 1  mod  8
)  =  1  /\  ( -u 1  mod  8 )  =  7 )  /\  ( ( 3  mod  8 )  =  3  /\  ( -u 3  mod  8 )  =  5 ) )

Proof of Theorem lgsdir2lem1
StepHypRef Expression
1 1re 8837 . . . 4  |-  1  e.  RR
2 8re 9824 . . . . 5  |-  8  e.  RR
3 8pos 9836 . . . . 5  |-  0  <  8
42, 3elrpii 10357 . . . 4  |-  8  e.  RR+
5 0le1 9297 . . . 4  |-  0  <_  1
6 1lt8 9913 . . . 4  |-  1  <  8
7 modid 10993 . . . 4  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  1  /\  1  <  8
) )  ->  (
1  mod  8 )  =  1 )
81, 4, 5, 6, 7mp4an 654 . . 3  |-  ( 1  mod  8 )  =  1
92recni 8849 . . . . . . . 8  |-  8  e.  CC
109mulid2i 8840 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  8 )  =  8
1110oveq2i 5869 . . . . . 6  |-  ( -u
1  +  ( 1  x.  8 ) )  =  ( -u 1  +  8 )
12 ax-1cn 8795 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1312negcli 9114 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  CC
149, 12negsubi 9124 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  -u 1 )  =  ( 8  -  1 )
15 7nn 9882 . . . . . . . . . 10  |-  7  e.  NN
1615nncni 9756 . . . . . . . . 9  |-  7  e.  CC
1712, 16addcomi 9003 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  7 )  =  ( 7  +  1 )
18 df-8 9810 . . . . . . . . . 10  |-  8  =  ( 7  +  1 )
1917, 18eqtr4i 2306 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  7 )  =  8
209, 12, 16, 19subaddrii 9135 . . . . . . . 8  |-  ( 8  -  1 )  =  7
2114, 20eqtri 2303 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  -u 1 )  =  7
229, 13, 21addcomli 9004 . . . . . 6  |-  ( -u
1  +  8 )  =  7
2311, 22eqtri 2303 . . . . 5  |-  ( -u
1  +  ( 1  x.  8 ) )  =  7
2423oveq1i 5868 . . . 4  |-  ( (
-u 1  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( 7  mod  8 )
251renegcli 9108 . . . . 5  |-  -u 1  e.  RR
26 1z 10053 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
27 modcyc 10999 . . . . 5  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  8  e.  RR+  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 1  mod  8 ) )
2825, 4, 26, 27mp3an 1277 . . . 4  |-  ( (
-u 1  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 1  mod  8 )
29 7re 9823 . . . . 5  |-  7  e.  RR
30 0re 8838 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
31 7pos 9835 . . . . . 6  |-  0  <  7
3230, 29, 31ltleii 8941 . . . . 5  |-  0  <_  7
33 7lt8 9907 . . . . 5  |-  7  <  8
34 modid 10993 . . . . 5  |-  ( ( ( 7  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  7  /\  7  <  8
) )  ->  (
7  mod  8 )  =  7 )
3529, 4, 32, 33, 34mp4an 654 . . . 4  |-  ( 7  mod  8 )  =  7
3624, 28, 353eqtr3i 2311 . . 3  |-  ( -u
1  mod  8 )  =  7
378, 36pm3.2i 441 . 2  |-  ( ( 1  mod  8 )  =  1  /\  ( -u 1  mod  8 )  =  7 )
38 3re 9817 . . . 4  |-  3  e.  RR
39 3pos 9830 . . . . 5  |-  0  <  3
4030, 38, 39ltleii 8941 . . . 4  |-  0  <_  3
41 3lt8 9911 . . . 4  |-  3  <  8
42 modid 10993 . . . 4  |-  ( ( ( 3  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  3  /\  3  <  8
) )  ->  (
3  mod  8 )  =  3 )
4338, 4, 40, 41, 42mp4an 654 . . 3  |-  ( 3  mod  8 )  =  3
4410oveq2i 5869 . . . . . 6  |-  ( -u
3  +  ( 1  x.  8 ) )  =  ( -u 3  +  8 )
45 3cn 9818 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
4645negcli 9114 . . . . . . 7  |-  -u 3  e.  CC
479, 45negsubi 9124 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  -u 3 )  =  ( 8  -  3 )
48 5nn 9880 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  NN
4948nncni 9756 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  CC
50 5p3e8 9861 . . . . . . . . . 10  |-  ( 5  +  3 )  =  8
5149, 45, 50addcomli 9004 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  +  5 )  =  8
529, 45, 49, 51subaddrii 9135 . . . . . . . 8  |-  ( 8  -  3 )  =  5
5347, 52eqtri 2303 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  -u 3 )  =  5
549, 46, 53addcomli 9004 . . . . . 6  |-  ( -u
3  +  8 )  =  5
5544, 54eqtri 2303 . . . . 5  |-  ( -u
3  +  ( 1  x.  8 ) )  =  5
5655oveq1i 5868 . . . 4  |-  ( (
-u 3  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( 5  mod  8 )
5738renegcli 9108 . . . . 5  |-  -u 3  e.  RR
58 modcyc 10999 . . . . 5  |-  ( (
-u 3  e.  RR  /\  8  e.  RR+  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( -u 3  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 3  mod  8 ) )
5957, 4, 26, 58mp3an 1277 . . . 4  |-  ( (
-u 3  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 3  mod  8 )
60 5re 9821 . . . . 5  |-  5  e.  RR
61 5pos 9833 . . . . . 6  |-  0  <  5
6230, 60, 61ltleii 8941 . . . . 5  |-  0  <_  5
63 5lt8 9909 . . . . 5  |-  5  <  8
64 modid 10993 . . . . 5  |-  ( ( ( 5  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  5  /\  5  <  8
) )  ->  (
5  mod  8 )  =  5 )
6560, 4, 62, 63, 64mp4an 654 . . . 4  |-  ( 5  mod  8 )  =  5
6656, 59, 653eqtr3i 2311 . . 3  |-  ( -u
3  mod  8 )  =  5
6743, 66pm3.2i 441 . 2  |-  ( ( 3  mod  8 )  =  3  /\  ( -u 3  mod  8 )  =  5 )
6837, 67pm3.2i 441 1  |-  ( ( ( 1  mod  8
)  =  1  /\  ( -u 1  mod  8 )  =  7 )  /\  ( ( 3  mod  8 )  =  3  /\  ( -u 3  mod  8 )  =  5 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038   3c3 9796   5c5 9798   7c7 9800   8c8 9801   ZZcz 10024   RR+crp 10354    mod cmo 10973
This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  20565  lgsdir2lem5  20566
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fl 10925  df-mod 10974
  Copyright terms: Public domain W3C validator