MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem1 Structured version   Unicode version

Theorem lgsdir2lem1 21112
Description: Lemma for lgsdir2 21117. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem1  |-  ( ( ( 1  mod  8
)  =  1  /\  ( -u 1  mod  8 )  =  7 )  /\  ( ( 3  mod  8 )  =  3  /\  ( -u 3  mod  8 )  =  5 ) )

Proof of Theorem lgsdir2lem1
StepHypRef Expression
1 1re 9095 . . . 4  |-  1  e.  RR
2 8re 10083 . . . . 5  |-  8  e.  RR
3 8pos 10095 . . . . 5  |-  0  <  8
42, 3elrpii 10620 . . . 4  |-  8  e.  RR+
5 0le1 9556 . . . 4  |-  0  <_  1
6 1lt8 10174 . . . 4  |-  1  <  8
7 modid 11275 . . . 4  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  1  /\  1  <  8
) )  ->  (
1  mod  8 )  =  1 )
81, 4, 5, 6, 7mp4an 656 . . 3  |-  ( 1  mod  8 )  =  1
92recni 9107 . . . . . . . 8  |-  8  e.  CC
109mulid2i 9098 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  8 )  =  8
1110oveq2i 6095 . . . . . 6  |-  ( -u
1  +  ( 1  x.  8 ) )  =  ( -u 1  +  8 )
12 ax-1cn 9053 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1312negcli 9373 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  CC
149, 12negsubi 9383 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  -u 1 )  =  ( 8  -  1 )
15 7nn 10143 . . . . . . . . . 10  |-  7  e.  NN
1615nncni 10015 . . . . . . . . 9  |-  7  e.  CC
1712, 16addcomi 9262 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  7 )  =  ( 7  +  1 )
18 df-8 10069 . . . . . . . . . 10  |-  8  =  ( 7  +  1 )
1917, 18eqtr4i 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  7 )  =  8
209, 12, 16, 19subaddrii 9394 . . . . . . . 8  |-  ( 8  -  1 )  =  7
2114, 20eqtri 2458 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  -u 1 )  =  7
229, 13, 21addcomli 9263 . . . . . 6  |-  ( -u
1  +  8 )  =  7
2311, 22eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( -u
1  +  ( 1  x.  8 ) )  =  7
2423oveq1i 6094 . . . 4  |-  ( (
-u 1  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( 7  mod  8 )
251renegcli 9367 . . . . 5  |-  -u 1  e.  RR
26 1z 10316 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
27 modcyc 11281 . . . . 5  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  8  e.  RR+  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 1  mod  8 ) )
2825, 4, 26, 27mp3an 1280 . . . 4  |-  ( (
-u 1  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 1  mod  8 )
29 7re 10082 . . . . 5  |-  7  e.  RR
30 0re 9096 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
31 7pos 10094 . . . . . 6  |-  0  <  7
3230, 29, 31ltleii 9201 . . . . 5  |-  0  <_  7
33 7lt8 10168 . . . . 5  |-  7  <  8
34 modid 11275 . . . . 5  |-  ( ( ( 7  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  7  /\  7  <  8
) )  ->  (
7  mod  8 )  =  7 )
3529, 4, 32, 33, 34mp4an 656 . . . 4  |-  ( 7  mod  8 )  =  7
3624, 28, 353eqtr3i 2466 . . 3  |-  ( -u
1  mod  8 )  =  7
378, 36pm3.2i 443 . 2  |-  ( ( 1  mod  8 )  =  1  /\  ( -u 1  mod  8 )  =  7 )
38 3re 10076 . . . 4  |-  3  e.  RR
39 3pos 10089 . . . . 5  |-  0  <  3
4030, 38, 39ltleii 9201 . . . 4  |-  0  <_  3
41 3lt8 10172 . . . 4  |-  3  <  8
42 modid 11275 . . . 4  |-  ( ( ( 3  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  3  /\  3  <  8
) )  ->  (
3  mod  8 )  =  3 )
4338, 4, 40, 41, 42mp4an 656 . . 3  |-  ( 3  mod  8 )  =  3
4410oveq2i 6095 . . . . . 6  |-  ( -u
3  +  ( 1  x.  8 ) )  =  ( -u 3  +  8 )
45 3cn 10077 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
4645negcli 9373 . . . . . . 7  |-  -u 3  e.  CC
479, 45negsubi 9383 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  -u 3 )  =  ( 8  -  3 )
48 5nn 10141 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  NN
4948nncni 10015 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  CC
50 5p3e8 10122 . . . . . . . . . 10  |-  ( 5  +  3 )  =  8
5149, 45, 50addcomli 9263 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  +  5 )  =  8
529, 45, 49, 51subaddrii 9394 . . . . . . . 8  |-  ( 8  -  3 )  =  5
5347, 52eqtri 2458 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  -u 3 )  =  5
549, 46, 53addcomli 9263 . . . . . 6  |-  ( -u
3  +  8 )  =  5
5544, 54eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( -u
3  +  ( 1  x.  8 ) )  =  5
5655oveq1i 6094 . . . 4  |-  ( (
-u 3  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( 5  mod  8 )
5738renegcli 9367 . . . . 5  |-  -u 3  e.  RR
58 modcyc 11281 . . . . 5  |-  ( (
-u 3  e.  RR  /\  8  e.  RR+  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( -u 3  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 3  mod  8 ) )
5957, 4, 26, 58mp3an 1280 . . . 4  |-  ( (
-u 3  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 3  mod  8 )
60 5re 10080 . . . . 5  |-  5  e.  RR
61 5pos 10092 . . . . . 6  |-  0  <  5
6230, 60, 61ltleii 9201 . . . . 5  |-  0  <_  5
63 5lt8 10170 . . . . 5  |-  5  <  8
64 modid 11275 . . . . 5  |-  ( ( ( 5  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  5  /\  5  <  8
) )  ->  (
5  mod  8 )  =  5 )
6560, 4, 62, 63, 64mp4an 656 . . . 4  |-  ( 5  mod  8 )  =  5
6656, 59, 653eqtr3i 2466 . . 3  |-  ( -u
3  mod  8 )  =  5
6743, 66pm3.2i 443 . 2  |-  ( ( 3  mod  8 )  =  3  /\  ( -u 3  mod  8 )  =  5 )
6837, 67pm3.2i 443 1  |-  ( ( ( 1  mod  8
)  =  1  /\  ( -u 1  mod  8 )  =  7 )  /\  ( ( 3  mod  8 )  =  3  /\  ( -u 3  mod  8 )  =  5 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4215  (class class class)co 6084   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296   -ucneg 9297   3c3 10055   5c5 10057   7c7 10059   8c8 10060   ZZcz 10287   RR+crp 10617    mod cmo 11255
This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  21115  lgsdir2lem5  21116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fl 11207  df-mod 11256
  Copyright terms: Public domain W3C validator