MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem1 Unicode version

Theorem lgsdir2lem1 20578
Description: Lemma for lgsdir2 20583. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem1  |-  ( ( ( 1  mod  8
)  =  1  /\  ( -u 1  mod  8 )  =  7 )  /\  ( ( 3  mod  8 )  =  3  /\  ( -u 3  mod  8 )  =  5 ) )

Proof of Theorem lgsdir2lem1
StepHypRef Expression
1 1re 8853 . . . 4  |-  1  e.  RR
2 8re 9840 . . . . 5  |-  8  e.  RR
3 8pos 9852 . . . . 5  |-  0  <  8
42, 3elrpii 10373 . . . 4  |-  8  e.  RR+
5 0le1 9313 . . . 4  |-  0  <_  1
6 1lt8 9929 . . . 4  |-  1  <  8
7 modid 11009 . . . 4  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  1  /\  1  <  8
) )  ->  (
1  mod  8 )  =  1 )
81, 4, 5, 6, 7mp4an 654 . . 3  |-  ( 1  mod  8 )  =  1
92recni 8865 . . . . . . . 8  |-  8  e.  CC
109mulid2i 8856 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  8 )  =  8
1110oveq2i 5885 . . . . . 6  |-  ( -u
1  +  ( 1  x.  8 ) )  =  ( -u 1  +  8 )
12 ax-1cn 8811 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1312negcli 9130 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  CC
149, 12negsubi 9140 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  -u 1 )  =  ( 8  -  1 )
15 7nn 9898 . . . . . . . . . 10  |-  7  e.  NN
1615nncni 9772 . . . . . . . . 9  |-  7  e.  CC
1712, 16addcomi 9019 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  7 )  =  ( 7  +  1 )
18 df-8 9826 . . . . . . . . . 10  |-  8  =  ( 7  +  1 )
1917, 18eqtr4i 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  7 )  =  8
209, 12, 16, 19subaddrii 9151 . . . . . . . 8  |-  ( 8  -  1 )  =  7
2114, 20eqtri 2316 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  -u 1 )  =  7
229, 13, 21addcomli 9020 . . . . . 6  |-  ( -u
1  +  8 )  =  7
2311, 22eqtri 2316 . . . . 5  |-  ( -u
1  +  ( 1  x.  8 ) )  =  7
2423oveq1i 5884 . . . 4  |-  ( (
-u 1  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( 7  mod  8 )
251renegcli 9124 . . . . 5  |-  -u 1  e.  RR
26 1z 10069 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
27 modcyc 11015 . . . . 5  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  8  e.  RR+  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 1  mod  8 ) )
2825, 4, 26, 27mp3an 1277 . . . 4  |-  ( (
-u 1  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 1  mod  8 )
29 7re 9839 . . . . 5  |-  7  e.  RR
30 0re 8854 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
31 7pos 9851 . . . . . 6  |-  0  <  7
3230, 29, 31ltleii 8957 . . . . 5  |-  0  <_  7
33 7lt8 9923 . . . . 5  |-  7  <  8
34 modid 11009 . . . . 5  |-  ( ( ( 7  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  7  /\  7  <  8
) )  ->  (
7  mod  8 )  =  7 )
3529, 4, 32, 33, 34mp4an 654 . . . 4  |-  ( 7  mod  8 )  =  7
3624, 28, 353eqtr3i 2324 . . 3  |-  ( -u
1  mod  8 )  =  7
378, 36pm3.2i 441 . 2  |-  ( ( 1  mod  8 )  =  1  /\  ( -u 1  mod  8 )  =  7 )
38 3re 9833 . . . 4  |-  3  e.  RR
39 3pos 9846 . . . . 5  |-  0  <  3
4030, 38, 39ltleii 8957 . . . 4  |-  0  <_  3
41 3lt8 9927 . . . 4  |-  3  <  8
42 modid 11009 . . . 4  |-  ( ( ( 3  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  3  /\  3  <  8
) )  ->  (
3  mod  8 )  =  3 )
4338, 4, 40, 41, 42mp4an 654 . . 3  |-  ( 3  mod  8 )  =  3
4410oveq2i 5885 . . . . . 6  |-  ( -u
3  +  ( 1  x.  8 ) )  =  ( -u 3  +  8 )
45 3cn 9834 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
4645negcli 9130 . . . . . . 7  |-  -u 3  e.  CC
479, 45negsubi 9140 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  -u 3 )  =  ( 8  -  3 )
48 5nn 9896 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  NN
4948nncni 9772 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  CC
50 5p3e8 9877 . . . . . . . . . 10  |-  ( 5  +  3 )  =  8
5149, 45, 50addcomli 9020 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  +  5 )  =  8
529, 45, 49, 51subaddrii 9151 . . . . . . . 8  |-  ( 8  -  3 )  =  5
5347, 52eqtri 2316 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  -u 3 )  =  5
549, 46, 53addcomli 9020 . . . . . 6  |-  ( -u
3  +  8 )  =  5
5544, 54eqtri 2316 . . . . 5  |-  ( -u
3  +  ( 1  x.  8 ) )  =  5
5655oveq1i 5884 . . . 4  |-  ( (
-u 3  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( 5  mod  8 )
5738renegcli 9124 . . . . 5  |-  -u 3  e.  RR
58 modcyc 11015 . . . . 5  |-  ( (
-u 3  e.  RR  /\  8  e.  RR+  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( -u 3  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 3  mod  8 ) )
5957, 4, 26, 58mp3an 1277 . . . 4  |-  ( (
-u 3  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 3  mod  8 )
60 5re 9837 . . . . 5  |-  5  e.  RR
61 5pos 9849 . . . . . 6  |-  0  <  5
6230, 60, 61ltleii 8957 . . . . 5  |-  0  <_  5
63 5lt8 9925 . . . . 5  |-  5  <  8
64 modid 11009 . . . . 5  |-  ( ( ( 5  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  5  /\  5  <  8
) )  ->  (
5  mod  8 )  =  5 )
6560, 4, 62, 63, 64mp4an 654 . . . 4  |-  ( 5  mod  8 )  =  5
6656, 59, 653eqtr3i 2324 . . 3  |-  ( -u
3  mod  8 )  =  5
6743, 66pm3.2i 441 . 2  |-  ( ( 3  mod  8 )  =  3  /\  ( -u 3  mod  8 )  =  5 )
6837, 67pm3.2i 441 1  |-  ( ( ( 1  mod  8
)  =  1  /\  ( -u 1  mod  8 )  =  7 )  /\  ( ( 3  mod  8 )  =  3  /\  ( -u 3  mod  8 )  =  5 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054   3c3 9812   5c5 9814   7c7 9816   8c8 9817   ZZcz 10040   RR+crp 10370    mod cmo 10989
This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  20581  lgsdir2lem5  20582
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fl 10941  df-mod 10990
  Copyright terms: Public domain W3C validator