MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem1 Unicode version

Theorem lgsdir2lem1 20967
Description: Lemma for lgsdir2 20972. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem1  |-  ( ( ( 1  mod  8
)  =  1  /\  ( -u 1  mod  8 )  =  7 )  /\  ( ( 3  mod  8 )  =  3  /\  ( -u 3  mod  8 )  =  5 ) )

Proof of Theorem lgsdir2lem1
StepHypRef Expression
1 1re 9016 . . . 4  |-  1  e.  RR
2 8re 10003 . . . . 5  |-  8  e.  RR
3 8pos 10015 . . . . 5  |-  0  <  8
42, 3elrpii 10540 . . . 4  |-  8  e.  RR+
5 0le1 9476 . . . 4  |-  0  <_  1
6 1lt8 10094 . . . 4  |-  1  <  8
7 modid 11190 . . . 4  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  1  /\  1  <  8
) )  ->  (
1  mod  8 )  =  1 )
81, 4, 5, 6, 7mp4an 655 . . 3  |-  ( 1  mod  8 )  =  1
92recni 9028 . . . . . . . 8  |-  8  e.  CC
109mulid2i 9019 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  8 )  =  8
1110oveq2i 6024 . . . . . 6  |-  ( -u
1  +  ( 1  x.  8 ) )  =  ( -u 1  +  8 )
12 ax-1cn 8974 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1312negcli 9293 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  CC
149, 12negsubi 9303 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  -u 1 )  =  ( 8  -  1 )
15 7nn 10063 . . . . . . . . . 10  |-  7  e.  NN
1615nncni 9935 . . . . . . . . 9  |-  7  e.  CC
1712, 16addcomi 9182 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  7 )  =  ( 7  +  1 )
18 df-8 9989 . . . . . . . . . 10  |-  8  =  ( 7  +  1 )
1917, 18eqtr4i 2403 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  7 )  =  8
209, 12, 16, 19subaddrii 9314 . . . . . . . 8  |-  ( 8  -  1 )  =  7
2114, 20eqtri 2400 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  -u 1 )  =  7
229, 13, 21addcomli 9183 . . . . . 6  |-  ( -u
1  +  8 )  =  7
2311, 22eqtri 2400 . . . . 5  |-  ( -u
1  +  ( 1  x.  8 ) )  =  7
2423oveq1i 6023 . . . 4  |-  ( (
-u 1  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( 7  mod  8 )
251renegcli 9287 . . . . 5  |-  -u 1  e.  RR
26 1z 10236 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
27 modcyc 11196 . . . . 5  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  8  e.  RR+  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 1  mod  8 ) )
2825, 4, 26, 27mp3an 1279 . . . 4  |-  ( (
-u 1  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 1  mod  8 )
29 7re 10002 . . . . 5  |-  7  e.  RR
30 0re 9017 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
31 7pos 10014 . . . . . 6  |-  0  <  7
3230, 29, 31ltleii 9120 . . . . 5  |-  0  <_  7
33 7lt8 10088 . . . . 5  |-  7  <  8
34 modid 11190 . . . . 5  |-  ( ( ( 7  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  7  /\  7  <  8
) )  ->  (
7  mod  8 )  =  7 )
3529, 4, 32, 33, 34mp4an 655 . . . 4  |-  ( 7  mod  8 )  =  7
3624, 28, 353eqtr3i 2408 . . 3  |-  ( -u
1  mod  8 )  =  7
378, 36pm3.2i 442 . 2  |-  ( ( 1  mod  8 )  =  1  /\  ( -u 1  mod  8 )  =  7 )
38 3re 9996 . . . 4  |-  3  e.  RR
39 3pos 10009 . . . . 5  |-  0  <  3
4030, 38, 39ltleii 9120 . . . 4  |-  0  <_  3
41 3lt8 10092 . . . 4  |-  3  <  8
42 modid 11190 . . . 4  |-  ( ( ( 3  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  3  /\  3  <  8
) )  ->  (
3  mod  8 )  =  3 )
4338, 4, 40, 41, 42mp4an 655 . . 3  |-  ( 3  mod  8 )  =  3
4410oveq2i 6024 . . . . . 6  |-  ( -u
3  +  ( 1  x.  8 ) )  =  ( -u 3  +  8 )
45 3cn 9997 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
4645negcli 9293 . . . . . . 7  |-  -u 3  e.  CC
479, 45negsubi 9303 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  -u 3 )  =  ( 8  -  3 )
48 5nn 10061 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  NN
4948nncni 9935 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  CC
50 5p3e8 10042 . . . . . . . . . 10  |-  ( 5  +  3 )  =  8
5149, 45, 50addcomli 9183 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  +  5 )  =  8
529, 45, 49, 51subaddrii 9314 . . . . . . . 8  |-  ( 8  -  3 )  =  5
5347, 52eqtri 2400 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  -u 3 )  =  5
549, 46, 53addcomli 9183 . . . . . 6  |-  ( -u
3  +  8 )  =  5
5544, 54eqtri 2400 . . . . 5  |-  ( -u
3  +  ( 1  x.  8 ) )  =  5
5655oveq1i 6023 . . . 4  |-  ( (
-u 3  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( 5  mod  8 )
5738renegcli 9287 . . . . 5  |-  -u 3  e.  RR
58 modcyc 11196 . . . . 5  |-  ( (
-u 3  e.  RR  /\  8  e.  RR+  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( -u 3  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 3  mod  8 ) )
5957, 4, 26, 58mp3an 1279 . . . 4  |-  ( (
-u 3  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 3  mod  8 )
60 5re 10000 . . . . 5  |-  5  e.  RR
61 5pos 10012 . . . . . 6  |-  0  <  5
6230, 60, 61ltleii 9120 . . . . 5  |-  0  <_  5
63 5lt8 10090 . . . . 5  |-  5  <  8
64 modid 11190 . . . . 5  |-  ( ( ( 5  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  5  /\  5  <  8
) )  ->  (
5  mod  8 )  =  5 )
6560, 4, 62, 63, 64mp4an 655 . . . 4  |-  ( 5  mod  8 )  =  5
6656, 59, 653eqtr3i 2408 . . 3  |-  ( -u
3  mod  8 )  =  5
6743, 66pm3.2i 442 . 2  |-  ( ( 3  mod  8 )  =  3  /\  ( -u 3  mod  8 )  =  5 )
6837, 67pm3.2i 442 1  |-  ( ( ( 1  mod  8
)  =  1  /\  ( -u 1  mod  8 )  =  7 )  /\  ( ( 3  mod  8 )  =  3  /\  ( -u 3  mod  8 )  =  5 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4146  (class class class)co 6013   RRcr 8915   0cc0 8916   1c1 8917    + caddc 8919    x. cmul 8921    < clt 9046    <_ cle 9047    - cmin 9216   -ucneg 9217   3c3 9975   5c5 9977   7c7 9979   8c8 9980   ZZcz 10207   RR+crp 10537    mod cmo 11170
This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  20970  lgsdir2lem5  20971
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-sup 7374  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-rp 10538  df-fl 11122  df-mod 11171
  Copyright terms: Public domain W3C validator