MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem3 Unicode version

Theorem lgsdir2lem3 20617
Description: Lemma for lgsdir2 20620. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )

Proof of Theorem lgsdir2lem3
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  A  e.  ZZ )
2 8nn 9930 . . . 4  |-  8  e.  NN
3 zmodfz 11038 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  8  e.  NN )  ->  ( A  mod  8
)  e.  ( 0 ... ( 8  -  1 ) ) )
41, 2, 3sylancl 643 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... ( 8  -  1 ) ) )
52nncni 9801 . . . . 5  |-  8  e.  CC
6 ax-1cn 8840 . . . . 5  |-  1  e.  CC
7 7nn 9929 . . . . . 6  |-  7  e.  NN
87nncni 9801 . . . . 5  |-  7  e.  CC
96, 8addcomi 9048 . . . . . 6  |-  ( 1  +  7 )  =  ( 7  +  1 )
10 df-8 9855 . . . . . 6  |-  8  =  ( 7  +  1 )
119, 10eqtr4i 2339 . . . . 5  |-  ( 1  +  7 )  =  8
125, 6, 8, 11subaddrii 9180 . . . 4  |-  ( 8  -  1 )  =  7
1312oveq2i 5911 . . 3  |-  ( 0 ... ( 8  -  1 ) )  =  ( 0 ... 7
)
144, 13syl6eleq 2406 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 7 ) )
15 1z 10100 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
16 znegcl 10102 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -u 1  e.  ZZ )
1715, 16ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  ZZ
18 2z 10101 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
19 dvds0 12591 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  0 )
2018, 19ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  2  ||  0
216negidi 9160 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
22 neg1cn 9858 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  e.  CC
236, 22addcomi 9048 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  ( -u 1  +  1 )
2421, 23eqtr3i 2338 . . . . . . . . 9  |-  0  =  ( -u 1  +  1 )
2520, 24breqtri 4083 . . . . . . . 8  |-  2  ||  ( -u 1  +  1 )
26 noel 3493 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  ( A  mod  8 )  e.  (/)
2726pm2.21i 123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  mod  8 )  e.  (/)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
28 0lt1 9341 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  1
29 1re 8882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
30 lt0neg2 9326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
0  <  1  <->  -u 1  <  0 ) )
3129, 30ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  <  1  <->  -u 1  <  0 )
3228, 31mpbi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  <  0
33 0z 10082 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ZZ
34 fzn 10857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  <  0  <->  ( 0 ... -u 1 )  =  (/) ) )
3533, 17, 34mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u
1  <  0  <->  ( 0 ... -u 1 )  =  (/) )
3632, 35mpbi 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... -u 1 )  =  (/)
3727, 36eleq2s 2408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... -u 1 )  -> 
( A  mod  8
)  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
3837a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... -u 1
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) )
3917, 25, 383pm3.2i 1130 . . . . . . 7  |-  ( -u
1  e.  ZZ  /\  2  ||  ( -u 1  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  (
( A  mod  8
)  e.  ( 0 ... -u 1 )  -> 
( A  mod  8
)  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
40 1e0p1 10199 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 0  +  1 )
41 ssun1 3372 . . . . . . . 8  |-  { 1 ,  7 }  C_  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } )
42 1ex 8878 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
4342prid1 3768 . . . . . . . 8  |-  1  e.  { 1 ,  7 }
4441, 43sselii 3211 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
4539, 24, 40, 44lgsdir2lem2 20616 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 1  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 1
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
46 df-2 9849 . . . . . 6  |-  2  =  ( 1  +  1 )
47 df-3 9850 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
48 ssun2 3373 . . . . . . 7  |-  { 3 ,  5 }  C_  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } )
49 3nn 9925 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  NN
5049elexi 2831 . . . . . . . 8  |-  3  e.  _V
5150prid1 3768 . . . . . . 7  |-  3  e.  { 3 ,  5 }
5248, 51sselii 3211 . . . . . 6  |-  3  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
5345, 46, 47, 52lgsdir2lem2 20616 . . . . 5  |-  ( 3  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 3  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 3
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
54 df-4 9851 . . . . 5  |-  4  =  ( 3  +  1 )
55 df-5 9852 . . . . 5  |-  5  =  ( 4  +  1 )
56 5nn 9927 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN
5756elexi 2831 . . . . . . 7  |-  5  e.  _V
5857prid2 3769 . . . . . 6  |-  5  e.  { 3 ,  5 }
5948, 58sselii 3211 . . . . 5  |-  5  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
6053, 54, 55, 59lgsdir2lem2 20616 . . . 4  |-  ( 5  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 5  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 5
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
61 df-6 9853 . . . 4  |-  6  =  ( 5  +  1 )
62 df-7 9854 . . . 4  |-  7  =  ( 6  +  1 )
637elexi 2831 . . . . . 6  |-  7  e.  _V
6463prid2 3769 . . . . 5  |-  7  e.  { 1 ,  7 }
6541, 64sselii 3211 . . . 4  |-  7  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
6660, 61, 62, 65lgsdir2lem2 20616 . . 3  |-  ( 7  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 7  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 7
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
6766simp3i 966 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 7
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) )
6814, 67mpd 14 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    u. cun 3184   (/)c0 3489   {cpr 3675   class class class wbr 4060  (class class class)co 5900   RRcr 8781   0cc0 8782   1c1 8783    + caddc 8785    < clt 8912    - cmin 9082   -ucneg 9083   NNcn 9791   2c2 9840   3c3 9841   4c4 9842   5c5 9843   6c6 9844   7c7 9845   8c8 9846   ZZcz 10071   ...cfz 10829    mod cmo 11020    || cdivides 12578
This theorem is referenced by:  lgsdir2  20620
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-rp 10402  df-fz 10830  df-fl 10972  df-mod 11021  df-dvds 12579
  Copyright terms: Public domain W3C validator