MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem3 Structured version   Unicode version

Theorem lgsdir2lem3 21114
Description: Lemma for lgsdir2 21117. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )

Proof of Theorem lgsdir2lem3
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  A  e.  ZZ )
2 8nn 10144 . . . 4  |-  8  e.  NN
3 zmodfz 11273 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  8  e.  NN )  ->  ( A  mod  8
)  e.  ( 0 ... ( 8  -  1 ) ) )
41, 2, 3sylancl 645 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... ( 8  -  1 ) ) )
52nncni 10015 . . . . 5  |-  8  e.  CC
6 ax-1cn 9053 . . . . 5  |-  1  e.  CC
7 7nn 10143 . . . . . 6  |-  7  e.  NN
87nncni 10015 . . . . 5  |-  7  e.  CC
96, 8addcomi 9262 . . . . . 6  |-  ( 1  +  7 )  =  ( 7  +  1 )
10 df-8 10069 . . . . . 6  |-  8  =  ( 7  +  1 )
119, 10eqtr4i 2461 . . . . 5  |-  ( 1  +  7 )  =  8
125, 6, 8, 11subaddrii 9394 . . . 4  |-  ( 8  -  1 )  =  7
1312oveq2i 6095 . . 3  |-  ( 0 ... ( 8  -  1 ) )  =  ( 0 ... 7
)
144, 13syl6eleq 2528 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 7 ) )
15 1z 10316 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
16 znegcl 10318 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -u 1  e.  ZZ )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  ZZ
18 2z 10317 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
19 dvds0 12870 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  0 )
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  2  ||  0
216negidi 9374 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
22 neg1cn 10072 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  e.  CC
236, 22addcomi 9262 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  ( -u 1  +  1 )
2421, 23eqtr3i 2460 . . . . . . . . 9  |-  0  =  ( -u 1  +  1 )
2520, 24breqtri 4238 . . . . . . . 8  |-  2  ||  ( -u 1  +  1 )
26 noel 3634 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  ( A  mod  8 )  e.  (/)
2726pm2.21i 126 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  mod  8 )  e.  (/)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
28 0lt1 9555 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  1
29 1re 9095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
30 lt0neg2 9540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
0  <  1  <->  -u 1  <  0 ) )
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  <  1  <->  -u 1  <  0 )
3228, 31mpbi 201 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  <  0
33 0z 10298 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ZZ
34 fzn 11076 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  <  0  <->  ( 0 ... -u 1 )  =  (/) ) )
3533, 17, 34mp2an 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u
1  <  0  <->  ( 0 ... -u 1 )  =  (/) )
3632, 35mpbi 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... -u 1 )  =  (/)
3727, 36eleq2s 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... -u 1 )  -> 
( A  mod  8
)  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
3837a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... -u 1
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) )
3917, 25, 383pm3.2i 1133 . . . . . . 7  |-  ( -u
1  e.  ZZ  /\  2  ||  ( -u 1  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  (
( A  mod  8
)  e.  ( 0 ... -u 1 )  -> 
( A  mod  8
)  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
40 1e0p1 10415 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 0  +  1 )
41 ssun1 3512 . . . . . . . 8  |-  { 1 ,  7 }  C_  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } )
42 1ex 9091 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
4342prid1 3914 . . . . . . . 8  |-  1  e.  { 1 ,  7 }
4441, 43sselii 3347 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
4539, 24, 40, 44lgsdir2lem2 21113 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 1  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 1
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
46 df-2 10063 . . . . . 6  |-  2  =  ( 1  +  1 )
47 df-3 10064 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
48 ssun2 3513 . . . . . . 7  |-  { 3 ,  5 }  C_  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } )
49 3nn 10139 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  NN
5049elexi 2967 . . . . . . . 8  |-  3  e.  _V
5150prid1 3914 . . . . . . 7  |-  3  e.  { 3 ,  5 }
5248, 51sselii 3347 . . . . . 6  |-  3  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
5345, 46, 47, 52lgsdir2lem2 21113 . . . . 5  |-  ( 3  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 3  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 3
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
54 df-4 10065 . . . . 5  |-  4  =  ( 3  +  1 )
55 df-5 10066 . . . . 5  |-  5  =  ( 4  +  1 )
56 5nn 10141 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN
5756elexi 2967 . . . . . . 7  |-  5  e.  _V
5857prid2 3915 . . . . . 6  |-  5  e.  { 3 ,  5 }
5948, 58sselii 3347 . . . . 5  |-  5  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
6053, 54, 55, 59lgsdir2lem2 21113 . . . 4  |-  ( 5  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 5  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 5
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
61 df-6 10067 . . . 4  |-  6  =  ( 5  +  1 )
62 df-7 10068 . . . 4  |-  7  =  ( 6  +  1 )
637elexi 2967 . . . . . 6  |-  7  e.  _V
6463prid2 3915 . . . . 5  |-  7  e.  { 1 ,  7 }
6541, 64sselii 3347 . . . 4  |-  7  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
6660, 61, 62, 65lgsdir2lem2 21113 . . 3  |-  ( 7  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 7  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 7
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
6766simp3i 969 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 7
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) )
6814, 67mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    u. cun 3320   (/)c0 3630   {cpr 3817   class class class wbr 4215  (class class class)co 6084   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    < clt 9125    - cmin 9296   -ucneg 9297   NNcn 10005   2c2 10054   3c3 10055   4c4 10056   5c5 10057   6c6 10058   7c7 10059   8c8 10060   ZZcz 10287   ...cfz 11048    mod cmo 11255    || cdivides 12857
This theorem is referenced by:  lgsdir2  21117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fl 11207  df-mod 11256  df-dvds 12858
  Copyright terms: Public domain W3C validator