MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem3 Structured version   Unicode version

Theorem lgsdir2lem3 21101
Description: Lemma for lgsdir2 21104. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )

Proof of Theorem lgsdir2lem3
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  A  e.  ZZ )
2 8nn 10131 . . . 4  |-  8  e.  NN
3 zmodfz 11260 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  8  e.  NN )  ->  ( A  mod  8
)  e.  ( 0 ... ( 8  -  1 ) ) )
41, 2, 3sylancl 644 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... ( 8  -  1 ) ) )
52nncni 10002 . . . . 5  |-  8  e.  CC
6 ax-1cn 9040 . . . . 5  |-  1  e.  CC
7 7nn 10130 . . . . . 6  |-  7  e.  NN
87nncni 10002 . . . . 5  |-  7  e.  CC
96, 8addcomi 9249 . . . . . 6  |-  ( 1  +  7 )  =  ( 7  +  1 )
10 df-8 10056 . . . . . 6  |-  8  =  ( 7  +  1 )
119, 10eqtr4i 2458 . . . . 5  |-  ( 1  +  7 )  =  8
125, 6, 8, 11subaddrii 9381 . . . 4  |-  ( 8  -  1 )  =  7
1312oveq2i 6084 . . 3  |-  ( 0 ... ( 8  -  1 ) )  =  ( 0 ... 7
)
144, 13syl6eleq 2525 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 7 ) )
15 1z 10303 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
16 znegcl 10305 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -u 1  e.  ZZ )
1715, 16ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  ZZ
18 2z 10304 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
19 dvds0 12857 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  0 )
2018, 19ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  2  ||  0
216negidi 9361 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
22 neg1cn 10059 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  e.  CC
236, 22addcomi 9249 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  ( -u 1  +  1 )
2421, 23eqtr3i 2457 . . . . . . . . 9  |-  0  =  ( -u 1  +  1 )
2520, 24breqtri 4227 . . . . . . . 8  |-  2  ||  ( -u 1  +  1 )
26 noel 3624 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  ( A  mod  8 )  e.  (/)
2726pm2.21i 125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  mod  8 )  e.  (/)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
28 0lt1 9542 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  1
29 1re 9082 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
30 lt0neg2 9527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
0  <  1  <->  -u 1  <  0 ) )
3129, 30ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  <  1  <->  -u 1  <  0 )
3228, 31mpbi 200 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  <  0
33 0z 10285 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ZZ
34 fzn 11063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  <  0  <->  ( 0 ... -u 1 )  =  (/) ) )
3533, 17, 34mp2an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u
1  <  0  <->  ( 0 ... -u 1 )  =  (/) )
3632, 35mpbi 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... -u 1 )  =  (/)
3727, 36eleq2s 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... -u 1 )  -> 
( A  mod  8
)  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
3837a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... -u 1
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) )
3917, 25, 383pm3.2i 1132 . . . . . . 7  |-  ( -u
1  e.  ZZ  /\  2  ||  ( -u 1  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  (
( A  mod  8
)  e.  ( 0 ... -u 1 )  -> 
( A  mod  8
)  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
40 1e0p1 10402 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 0  +  1 )
41 ssun1 3502 . . . . . . . 8  |-  { 1 ,  7 }  C_  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } )
42 1ex 9078 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
4342prid1 3904 . . . . . . . 8  |-  1  e.  { 1 ,  7 }
4441, 43sselii 3337 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
4539, 24, 40, 44lgsdir2lem2 21100 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 1  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 1
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
46 df-2 10050 . . . . . 6  |-  2  =  ( 1  +  1 )
47 df-3 10051 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
48 ssun2 3503 . . . . . . 7  |-  { 3 ,  5 }  C_  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } )
49 3nn 10126 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  NN
5049elexi 2957 . . . . . . . 8  |-  3  e.  _V
5150prid1 3904 . . . . . . 7  |-  3  e.  { 3 ,  5 }
5248, 51sselii 3337 . . . . . 6  |-  3  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
5345, 46, 47, 52lgsdir2lem2 21100 . . . . 5  |-  ( 3  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 3  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 3
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
54 df-4 10052 . . . . 5  |-  4  =  ( 3  +  1 )
55 df-5 10053 . . . . 5  |-  5  =  ( 4  +  1 )
56 5nn 10128 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN
5756elexi 2957 . . . . . . 7  |-  5  e.  _V
5857prid2 3905 . . . . . 6  |-  5  e.  { 3 ,  5 }
5948, 58sselii 3337 . . . . 5  |-  5  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
6053, 54, 55, 59lgsdir2lem2 21100 . . . 4  |-  ( 5  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 5  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 5
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
61 df-6 10054 . . . 4  |-  6  =  ( 5  +  1 )
62 df-7 10055 . . . 4  |-  7  =  ( 6  +  1 )
637elexi 2957 . . . . . 6  |-  7  e.  _V
6463prid2 3905 . . . . 5  |-  7  e.  { 1 ,  7 }
6541, 64sselii 3337 . . . 4  |-  7  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
6660, 61, 62, 65lgsdir2lem2 21100 . . 3  |-  ( 7  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 7  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 7
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
6766simp3i 968 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 7
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) )
6814, 67mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    u. cun 3310   (/)c0 3620   {cpr 3807   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    < clt 9112    - cmin 9283   -ucneg 9284   NNcn 9992   2c2 10041   3c3 10042   4c4 10043   5c5 10044   6c6 10045   7c7 10046   8c8 10047   ZZcz 10274   ...cfz 11035    mod cmo 11242    || cdivides 12844
This theorem is referenced by:  lgsdir2  21104
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fl 11194  df-mod 11243  df-dvds 12845
  Copyright terms: Public domain W3C validator