MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem3 Unicode version

Theorem lgsdir2lem3 20564
Description: Lemma for lgsdir2 20567. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )

Proof of Theorem lgsdir2lem3
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  A  e.  ZZ )
2 8nn 9883 . . . 4  |-  8  e.  NN
3 zmodfz 10991 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  8  e.  NN )  ->  ( A  mod  8
)  e.  ( 0 ... ( 8  -  1 ) ) )
41, 2, 3sylancl 643 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... ( 8  -  1 ) ) )
52nncni 9756 . . . . 5  |-  8  e.  CC
6 ax-1cn 8795 . . . . 5  |-  1  e.  CC
7 7nn 9882 . . . . . 6  |-  7  e.  NN
87nncni 9756 . . . . 5  |-  7  e.  CC
96, 8addcomi 9003 . . . . . 6  |-  ( 1  +  7 )  =  ( 7  +  1 )
10 df-8 9810 . . . . . 6  |-  8  =  ( 7  +  1 )
119, 10eqtr4i 2306 . . . . 5  |-  ( 1  +  7 )  =  8
125, 6, 8, 11subaddrii 9135 . . . 4  |-  ( 8  -  1 )  =  7
1312oveq2i 5869 . . 3  |-  ( 0 ... ( 8  -  1 ) )  =  ( 0 ... 7
)
144, 13syl6eleq 2373 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 7 ) )
15 1z 10053 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
16 znegcl 10055 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -u 1  e.  ZZ )
1715, 16ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  ZZ
18 2z 10054 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
19 dvds0 12544 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  0 )
2018, 19ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  2  ||  0
216negidi 9115 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
22 neg1cn 9813 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  e.  CC
236, 22addcomi 9003 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  ( -u 1  +  1 )
2421, 23eqtr3i 2305 . . . . . . . . 9  |-  0  =  ( -u 1  +  1 )
2520, 24breqtri 4046 . . . . . . . 8  |-  2  ||  ( -u 1  +  1 )
26 noel 3459 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  ( A  mod  8 )  e.  (/)
2726pm2.21i 123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  mod  8 )  e.  (/)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
28 0lt1 9296 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  1
29 1re 8837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
30 lt0neg2 9281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
0  <  1  <->  -u 1  <  0 ) )
3129, 30ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  <  1  <->  -u 1  <  0 )
3228, 31mpbi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  <  0
33 0z 10035 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ZZ
34 fzn 10810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  <  0  <->  ( 0 ... -u 1 )  =  (/) ) )
3533, 17, 34mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u
1  <  0  <->  ( 0 ... -u 1 )  =  (/) )
3632, 35mpbi 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... -u 1 )  =  (/)
3727, 36eleq2s 2375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... -u 1 )  -> 
( A  mod  8
)  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
3837a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... -u 1
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) )
3917, 25, 383pm3.2i 1130 . . . . . . 7  |-  ( -u
1  e.  ZZ  /\  2  ||  ( -u 1  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  (
( A  mod  8
)  e.  ( 0 ... -u 1 )  -> 
( A  mod  8
)  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
40 1e0p1 10152 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 0  +  1 )
41 ssun1 3338 . . . . . . . 8  |-  { 1 ,  7 }  C_  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } )
42 1ex 8833 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
4342prid1 3734 . . . . . . . 8  |-  1  e.  { 1 ,  7 }
4441, 43sselii 3177 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
4539, 24, 40, 44lgsdir2lem2 20563 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 1  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 1
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
46 df-2 9804 . . . . . 6  |-  2  =  ( 1  +  1 )
47 df-3 9805 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
48 ssun2 3339 . . . . . . 7  |-  { 3 ,  5 }  C_  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } )
49 3nn 9878 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  NN
5049elexi 2797 . . . . . . . 8  |-  3  e.  _V
5150prid1 3734 . . . . . . 7  |-  3  e.  { 3 ,  5 }
5248, 51sselii 3177 . . . . . 6  |-  3  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
5345, 46, 47, 52lgsdir2lem2 20563 . . . . 5  |-  ( 3  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 3  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 3
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
54 df-4 9806 . . . . 5  |-  4  =  ( 3  +  1 )
55 df-5 9807 . . . . 5  |-  5  =  ( 4  +  1 )
56 5nn 9880 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN
5756elexi 2797 . . . . . . 7  |-  5  e.  _V
5857prid2 3735 . . . . . 6  |-  5  e.  { 3 ,  5 }
5948, 58sselii 3177 . . . . 5  |-  5  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
6053, 54, 55, 59lgsdir2lem2 20563 . . . 4  |-  ( 5  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 5  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 5
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
61 df-6 9808 . . . 4  |-  6  =  ( 5  +  1 )
62 df-7 9809 . . . 4  |-  7  =  ( 6  +  1 )
637elexi 2797 . . . . . 6  |-  7  e.  _V
6463prid2 3735 . . . . 5  |-  7  e.  { 1 ,  7 }
6541, 64sselii 3177 . . . 4  |-  7  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
6660, 61, 62, 65lgsdir2lem2 20563 . . 3  |-  ( 7  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 7  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 7
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
6766simp3i 966 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 7
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) )
6814, 67mpd 14 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    u. cun 3150   (/)c0 3455   {cpr 3641   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    - cmin 9037   -ucneg 9038   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   5c5 9798   6c6 9799   7c7 9800   8c8 9801   ZZcz 10024   ...cfz 10782    mod cmo 10973    || cdivides 12531
This theorem is referenced by:  lgsdir2  20567
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fl 10925  df-mod 10974  df-dvds 12532
  Copyright terms: Public domain W3C validator