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Theorem lgsdirprm 20568
Description: The Legendre symbol is completely multiplicative at the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdirprm  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  ->  (
( A  x.  B
)  / L P
)  =  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) )

Proof of Theorem lgsdirprm
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 958 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  A  e.  ZZ )
2 simpl2 959 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  B  e.  ZZ )
3 lgsdir2 20567 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  x.  B )  / L
2 )  =  ( ( A  / L
2 )  x.  ( B  / L 2 ) ) )
41, 2, 3syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  ( ( A  x.  B )  / L 2 )  =  ( ( A  / L 2 )  x.  ( B  / L
2 ) ) )
5 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  P  =  2 )
65oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  ( ( A  x.  B )  / L P )  =  ( ( A  x.  B
)  / L 2 ) )
75oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  ( A  / L P )  =  ( A  / L 2 ) )
85oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  ( B  / L P )  =  ( B  / L 2 ) )
97, 8oveq12d 5876 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  =  ( ( A  / L 2 )  x.  ( B  / L
2 ) ) )
104, 6, 93eqtr4d 2325 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  ( ( A  x.  B )  / L P )  =  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )
11 simpl1 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  A  e.  ZZ )
12 simpl2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  B  e.  ZZ )
1311, 12zmulcld 10123 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A  x.  B
)  e.  ZZ )
14 simpl3 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  Prime )
15 prmz 12762 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
1614, 15syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  ZZ )
17 lgscl 20549 . . . . 5  |-  ( ( ( A  x.  B
)  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( ( A  x.  B )  / L P )  e.  ZZ )
1813, 16, 17syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  x.  B )  / L P )  e.  ZZ )
1918zcnd 10118 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  x.  B )  / L P )  e.  CC )
20 lgscl 20549 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( A  / L P )  e.  ZZ )
2111, 16, 20syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A  / L P )  e.  ZZ )
22 lgscl 20549 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( B  / L P )  e.  ZZ )
2312, 16, 22syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B  / L P )  e.  ZZ )
2421, 23zmulcld 10123 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  ZZ )
2524zcnd 10118 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  CC )
2619, 25subcld 9157 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  e.  CC )
2726abscld 11918 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e.  RR )
28 prmnn 12761 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
2914, 28syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  NN )
3029nnrpd 10389 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  RR+ )
3126absge0d 11926 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
0  <_  ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
32 2re 9815 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
3332a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
2  e.  RR )
3429nnred 9761 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  RR )
3519abscld 11918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  e.  RR )
3625abscld 11918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  e.  RR )
3735, 36readdcld 8862 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  +  ( abs `  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e.  RR )
3819, 25abs2dif2d 11940 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  +  ( abs `  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
39 1re 8837 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
4039a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
1  e.  RR )
41 lgsle1 20550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  x.  B
)  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  <_  1
)
4213, 16, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  <_  1
)
43 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 }  =  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 }
4443lgscl2 20547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( A  / L P )  e.  {
x  e.  ZZ  | 
( abs `  x
)  <_  1 }
)
4511, 16, 44syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A  / L P )  e.  {
x  e.  ZZ  | 
( abs `  x
)  <_  1 }
)
4643lgscl2 20547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( B  / L P )  e.  {
x  e.  ZZ  | 
( abs `  x
)  <_  1 }
)
4712, 16, 46syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B  / L P )  e.  {
x  e.  ZZ  | 
( abs `  x
)  <_  1 }
)
4843lgslem3 20537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  / L P )  e.  {
x  e.  ZZ  | 
( abs `  x
)  <_  1 }  /\  ( B  / L P )  e.  {
x  e.  ZZ  | 
( abs `  x
)  <_  1 }
)  ->  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e. 
{ x  e.  ZZ  |  ( abs `  x
)  <_  1 }
)
4945, 47, 48syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 } )
50 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  -> 
( abs `  x
)  =  ( abs `  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )
5150breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  -> 
( ( abs `  x
)  <_  1  <->  ( abs `  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  <_  1
) )
5251elrab 2923 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 } 
<->  ( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  ZZ  /\  ( abs `  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  <_  1
) )
5352simprbi 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 }  ->  ( abs `  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  <_  1
)
5449, 53syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  <_  1
)
5535, 36, 40, 40, 42, 54le2addd 9390 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  +  ( abs `  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) )  <_ 
( 1  +  1 ) )
56 df-2 9804 . . . . . . . . 9  |-  2  =  ( 1  +  1 )
5755, 56syl6breqr 4063 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  +  ( abs `  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) )  <_ 
2 )
5827, 37, 33, 38, 57letrd 8973 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  <_ 
2 )
59 prmuz2 12776 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
60 eluzle 10240 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  P )
6114, 59, 603syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
2  <_  P )
62 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  =/=  2 )
63 ltlen 8922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  ( 2  <  P  <->  ( 2  <_  P  /\  P  =/=  2 ) ) )
6432, 34, 63sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( 2  <  P  <->  ( 2  <_  P  /\  P  =/=  2 ) ) )
6561, 62, 64mpbir2and 888 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
2  <  P )
6627, 33, 34, 58, 65lelttrd 8974 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  < 
P )
67 modid 10993 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  /\  ( abs `  ( ( ( A  x.  B
)  / L P
)  -  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) )  < 
P ) )  -> 
( ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  mod 
P )  =  ( abs `  ( ( ( A  x.  B
)  / L P
)  -  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
6827, 30, 31, 66, 67syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  mod 
P )  =  ( abs `  ( ( ( A  x.  B
)  / L P
)  -  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
6911zcnd 10118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  A  e.  CC )
7012zcnd 10118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  B  e.  CC )
71 eldifsn 3749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  <->  ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 ) )
7214, 62, 71sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
73 oddprm 12868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
7472, 73syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
7574nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
7669, 70, 75mulexpd 11260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  x.  B ) ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( B ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) ) ) )
77 zexpcl 11118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
7811, 75, 77syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
7978zcnd 10118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
80 zexpcl 11118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( B ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
8112, 75, 80syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
8281zcnd 10118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
8379, 82mulcomd 8856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  x.  ( B ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( ( B ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )
8476, 83eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  x.  B ) ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( B ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) ) ) )
8584oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  x.  B ) ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
)  =  ( ( ( B ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  mod  P ) )
86 lgsvalmod 20554 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  x.  B
)  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( (
( A  x.  B
)  / L P
)  mod  P )  =  ( ( ( A  x.  B ) ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  mod 
P ) )
8713, 72, 86syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  x.  B )  / L P )  mod  P
)  =  ( ( ( A  x.  B
) ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P ) )
8821zred 10117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A  / L P )  e.  RR )
8978zred 10117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  RR )
90 lgsvalmod 20554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( ( A  / L P )  mod  P )  =  ( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
) )
9111, 72, 90syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  / L P )  mod  P
)  =  ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P ) )
92 modmul1 11002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  / L P )  e.  RR  /\  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  RR )  /\  ( ( B  / L P )  e.  ZZ  /\  P  e.  RR+ )  /\  (
( A  / L P )  mod  P
)  =  ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P ) )  ->  ( ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) )  mod  P )  =  ( ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( B  / L P ) )  mod 
P ) )
9388, 89, 23, 30, 91, 92syl221anc 1193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  mod 
P )  =  ( ( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  x.  ( B  / L P ) )  mod  P ) )
9423zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B  / L P )  e.  CC )
9579, 94mulcomd 8856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  x.  ( B  / L P ) )  =  ( ( B  / L P
)  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
9695oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( B  / L P ) )  mod 
P )  =  ( ( ( B  / L P )  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  mod  P ) )
9723zred 10117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B  / L P )  e.  RR )
9881zred 10117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  RR )
99 lgsvalmod 20554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( ( B  / L P )  mod  P )  =  ( ( B ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
) )
10012, 72, 99syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( B  / L P )  mod  P
)  =  ( ( B ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P ) )
101 modmul1 11002 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  / L P )  e.  RR  /\  ( B ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  RR )  /\  ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  e.  ZZ  /\  P  e.  RR+ )  /\  (
( B  / L P )  mod  P
)  =  ( ( B ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P ) )  ->  ( ( ( B  / L P
)  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  mod  P )  =  ( ( ( B ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  mod  P
) )
10297, 98, 78, 30, 100, 101syl221anc 1193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( B  / L P )  x.  ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )  mod 
P )  =  ( ( ( B ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  mod  P ) )
10396, 102eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( B  / L P ) )  mod 
P )  =  ( ( ( B ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  mod  P ) )
10493, 103eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  mod 
P )  =  ( ( ( B ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  mod  P ) )
10585, 87, 1043eqtr4d 2325 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  x.  B )  / L P )  mod  P
)  =  ( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  mod  P ) )
106 moddvds 12538 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( ( A  x.  B )  / L P )  e.  ZZ  /\  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( A  x.  B
)  / L P
)  mod  P )  =  ( ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) )  mod  P )  <-> 
P  ||  ( (
( A  x.  B
)  / L P
)  -  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
10729, 18, 24, 106syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( ( A  x.  B )  / L P )  mod  P )  =  ( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  mod 
P )  <->  P  ||  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
108105, 107mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  ||  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )
10918, 24zsubcld 10122 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  e.  ZZ )
110 dvdsabsb 12548 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  <->  P  ||  ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) ) ) )
11116, 109, 110syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( P  ||  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  <->  P  ||  ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) ) ) )
112108, 111mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  ||  ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
113 nn0abscl 11797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  e.  ZZ  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e. 
NN0 )
114109, 113syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e. 
NN0 )
115114nn0zd 10115 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e.  ZZ )
116 dvdsval3 12535 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( ( A  x.  B
)  / L P
)  -  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  <->  ( ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  mod  P )  =  0 ) )
11729, 115, 116syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( P  ||  ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  <->  ( ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  mod 
P )  =  0 ) )
118112, 117mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  mod 
P )  =  0 )
11968, 118eqtr3d 2317 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  =  0 )
12026, 119abs00d 11928 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  =  0 )
12119, 25, 120subeq0d 9165 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  x.  B )  / L P )  =  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )
12210, 121pm2.61dane 2524 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  ->  (
( A  x.  B
)  / L P
)  =  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   {crab 2547    \ cdif 3149   {csn 3640   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354    mod cmo 10973   ^cexp 11104   abscabs 11719    || cdivides 12531   Primecprime 12758    / Lclgs 20533
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-phi 12834  df-pc 12890  df-lgs 20534
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