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Theorem lgsdirprm 20980
Description: The Legendre symbol is completely multiplicative at the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdirprm  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  ->  (
( A  x.  B
)  / L P
)  =  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) )

Proof of Theorem lgsdirprm
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 960 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  A  e.  ZZ )
2 simpl2 961 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  B  e.  ZZ )
3 lgsdir2 20979 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  x.  B )  / L
2 )  =  ( ( A  / L
2 )  x.  ( B  / L 2 ) ) )
41, 2, 3syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  ( ( A  x.  B )  / L 2 )  =  ( ( A  / L 2 )  x.  ( B  / L
2 ) ) )
5 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  P  =  2 )
65oveq2d 6036 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  ( ( A  x.  B )  / L P )  =  ( ( A  x.  B
)  / L 2 ) )
75oveq2d 6036 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  ( A  / L P )  =  ( A  / L 2 ) )
85oveq2d 6036 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  ( B  / L P )  =  ( B  / L 2 ) )
97, 8oveq12d 6038 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  =  ( ( A  / L 2 )  x.  ( B  / L
2 ) ) )
104, 6, 93eqtr4d 2429 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  ( ( A  x.  B )  / L P )  =  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )
11 simpl1 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  A  e.  ZZ )
12 simpl2 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  B  e.  ZZ )
1311, 12zmulcld 10313 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A  x.  B
)  e.  ZZ )
14 simpl3 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  Prime )
15 prmz 13010 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
1614, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  ZZ )
17 lgscl 20961 . . . . 5  |-  ( ( ( A  x.  B
)  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( ( A  x.  B )  / L P )  e.  ZZ )
1813, 16, 17syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  x.  B )  / L P )  e.  ZZ )
1918zcnd 10308 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  x.  B )  / L P )  e.  CC )
20 lgscl 20961 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( A  / L P )  e.  ZZ )
2111, 16, 20syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A  / L P )  e.  ZZ )
22 lgscl 20961 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( B  / L P )  e.  ZZ )
2312, 16, 22syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B  / L P )  e.  ZZ )
2421, 23zmulcld 10313 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  ZZ )
2524zcnd 10308 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  CC )
2619, 25subcld 9343 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  e.  CC )
2726abscld 12165 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e.  RR )
28 prmnn 13009 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
2914, 28syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  NN )
3029nnrpd 10579 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  RR+ )
3126absge0d 12173 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
0  <_  ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
32 2re 10001 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
3332a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
2  e.  RR )
3429nnred 9947 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  RR )
3519abscld 12165 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  e.  RR )
3625abscld 12165 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  e.  RR )
3735, 36readdcld 9048 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  +  ( abs `  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e.  RR )
3819, 25abs2dif2d 12187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  +  ( abs `  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
39 1re 9023 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
4039a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
1  e.  RR )
41 lgsle1 20962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  x.  B
)  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  <_  1
)
4213, 16, 41syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  <_  1
)
43 eqid 2387 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 }  =  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 }
4443lgscl2 20959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( A  / L P )  e.  {
x  e.  ZZ  | 
( abs `  x
)  <_  1 }
)
4511, 16, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A  / L P )  e.  {
x  e.  ZZ  | 
( abs `  x
)  <_  1 }
)
4643lgscl2 20959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( B  / L P )  e.  {
x  e.  ZZ  | 
( abs `  x
)  <_  1 }
)
4712, 16, 46syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B  / L P )  e.  {
x  e.  ZZ  | 
( abs `  x
)  <_  1 }
)
4843lgslem3 20949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  / L P )  e.  {
x  e.  ZZ  | 
( abs `  x
)  <_  1 }  /\  ( B  / L P )  e.  {
x  e.  ZZ  | 
( abs `  x
)  <_  1 }
)  ->  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e. 
{ x  e.  ZZ  |  ( abs `  x
)  <_  1 }
)
4945, 47, 48syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 } )
50 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  -> 
( abs `  x
)  =  ( abs `  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )
5150breq1d 4163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  -> 
( ( abs `  x
)  <_  1  <->  ( abs `  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  <_  1
) )
5251elrab 3035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 } 
<->  ( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  ZZ  /\  ( abs `  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  <_  1
) )
5352simprbi 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 }  ->  ( abs `  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  <_  1
)
5449, 53syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  <_  1
)
5535, 36, 40, 40, 42, 54le2addd 9576 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  +  ( abs `  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) )  <_ 
( 1  +  1 ) )
56 df-2 9990 . . . . . . . . 9  |-  2  =  ( 1  +  1 )
5755, 56syl6breqr 4193 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  +  ( abs `  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) )  <_ 
2 )
5827, 37, 33, 38, 57letrd 9159 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  <_ 
2 )
59 prmuz2 13024 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
60 eluzle 10430 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  P )
6114, 59, 603syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
2  <_  P )
62 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  =/=  2 )
63 ltlen 9108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  ( 2  <  P  <->  ( 2  <_  P  /\  P  =/=  2 ) ) )
6432, 34, 63sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( 2  <  P  <->  ( 2  <_  P  /\  P  =/=  2 ) ) )
6561, 62, 64mpbir2and 889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
2  <  P )
6627, 33, 34, 58, 65lelttrd 9160 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  < 
P )
67 modid 11197 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  /\  ( abs `  ( ( ( A  x.  B
)  / L P
)  -  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) )  < 
P ) )  -> 
( ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  mod 
P )  =  ( abs `  ( ( ( A  x.  B
)  / L P
)  -  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
6827, 30, 31, 66, 67syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  mod 
P )  =  ( abs `  ( ( ( A  x.  B
)  / L P
)  -  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
6911zcnd 10308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  A  e.  CC )
7012zcnd 10308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  B  e.  CC )
71 eldifsn 3870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  <->  ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 ) )
7214, 62, 71sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
73 oddprm 13116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
7574nnnn0d 10206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
7669, 70, 75mulexpd 11465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  x.  B ) ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( B ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) ) ) )
77 zexpcl 11323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
7811, 75, 77syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
7978zcnd 10308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
80 zexpcl 11323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( B ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
8112, 75, 80syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
8281zcnd 10308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
8379, 82mulcomd 9042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  x.  ( B ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( ( B ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )
8476, 83eqtrd 2419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  x.  B ) ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( B ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) ) ) )
8584oveq1d 6035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  x.  B ) ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
)  =  ( ( ( B ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  mod  P ) )
86 lgsvalmod 20966 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  x.  B
)  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( (
( A  x.  B
)  / L P
)  mod  P )  =  ( ( ( A  x.  B ) ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  mod 
P ) )
8713, 72, 86syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  x.  B )  / L P )  mod  P
)  =  ( ( ( A  x.  B
) ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P ) )
8821zred 10307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A  / L P )  e.  RR )
8978zred 10307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  RR )
90 lgsvalmod 20966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( ( A  / L P )  mod  P )  =  ( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
) )
9111, 72, 90syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  / L P )  mod  P
)  =  ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P ) )
92 modmul1 11206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  / L P )  e.  RR  /\  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  RR )  /\  ( ( B  / L P )  e.  ZZ  /\  P  e.  RR+ )  /\  (
( A  / L P )  mod  P
)  =  ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P ) )  ->  ( ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) )  mod  P )  =  ( ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( B  / L P ) )  mod 
P ) )
9388, 89, 23, 30, 91, 92syl221anc 1195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  mod 
P )  =  ( ( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  x.  ( B  / L P ) )  mod  P ) )
9423zcnd 10308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B  / L P )  e.  CC )
9579, 94mulcomd 9042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  x.  ( B  / L P ) )  =  ( ( B  / L P
)  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
9695oveq1d 6035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( B  / L P ) )  mod 
P )  =  ( ( ( B  / L P )  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  mod  P ) )
9723zred 10307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B  / L P )  e.  RR )
9881zred 10307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  RR )
99 lgsvalmod 20966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( ( B  / L P )  mod  P )  =  ( ( B ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
) )
10012, 72, 99syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( B  / L P )  mod  P
)  =  ( ( B ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P ) )
101 modmul1 11206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  / L P )  e.  RR  /\  ( B ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  RR )  /\  ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  e.  ZZ  /\  P  e.  RR+ )  /\  (
( B  / L P )  mod  P
)  =  ( ( B ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P ) )  ->  ( ( ( B  / L P
)  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  mod  P )  =  ( ( ( B ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  mod  P
) )
10297, 98, 78, 30, 100, 101syl221anc 1195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( B  / L P )  x.  ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )  mod 
P )  =  ( ( ( B ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  mod  P ) )
10396, 102eqtrd 2419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( B  / L P ) )  mod 
P )  =  ( ( ( B ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  mod  P ) )
10493, 103eqtrd 2419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  mod 
P )  =  ( ( ( B ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  mod  P ) )
10585, 87, 1043eqtr4d 2429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  x.  B )  / L P )  mod  P
)  =  ( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  mod  P ) )
106 moddvds 12786 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( ( A  x.  B )  / L P )  e.  ZZ  /\  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( A  x.  B
)  / L P
)  mod  P )  =  ( ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) )  mod  P )  <-> 
P  ||  ( (
( A  x.  B
)  / L P
)  -  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
10729, 18, 24, 106syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( ( A  x.  B )  / L P )  mod  P )  =  ( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  mod 
P )  <->  P  ||  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
108105, 107mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  ||  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )
10918, 24zsubcld 10312 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  e.  ZZ )
110 dvdsabsb 12796 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  <->  P  ||  ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) ) ) )
11116, 109, 110syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( P  ||  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  <->  P  ||  ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) ) ) )
112108, 111mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  ||  ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
113 nn0abscl 12044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  e.  ZZ  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e. 
NN0 )
114109, 113syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e. 
NN0 )
115114nn0zd 10305 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e.  ZZ )
116 dvdsval3 12783 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( ( A  x.  B
)  / L P
)  -  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  <->  ( ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  mod  P )  =  0 ) )
11729, 115, 116syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( P  ||  ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  <->  ( ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  mod 
P )  =  0 ) )
118112, 117mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  mod 
P )  =  0 )
11968, 118eqtr3d 2421 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  =  0 )
12026, 119abs00d 12175 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  =  0 )
12119, 25, 120subeq0d 9351 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  x.  B )  / L P )  =  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )
12210, 121pm2.61dane 2628 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  ->  (
( A  x.  B
)  / L P
)  =  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   {crab 2653    \ cdif 3260   {csn 3757   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    x. cmul 8928    < clt 9053    <_ cle 9054    - cmin 9223    / cdiv 9609   NNcn 9932   2c2 9981   NN0cn0 10153   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420   RR+crp 10544    mod cmo 11177   ^cexp 11309   abscabs 11966    || cdivides 12779   Primecprime 13006    / Lclgs 20945
This theorem is referenced by:  lgsdir  20981
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-mod 11178  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-dvds 12780  df-gcd 12934  df-prm 13007  df-phi 13082  df-pc 13138  df-lgs 20946
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