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Theorem lgsdirprm 21066
Description: The Legendre symbol is completely multiplicative at the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdirprm  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  ->  (
( A  x.  B
)  / L P
)  =  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) )

Proof of Theorem lgsdirprm
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 960 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  A  e.  ZZ )
2 simpl2 961 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  B  e.  ZZ )
3 lgsdir2 21065 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  x.  B )  / L
2 )  =  ( ( A  / L
2 )  x.  ( B  / L 2 ) ) )
41, 2, 3syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  ( ( A  x.  B )  / L 2 )  =  ( ( A  / L 2 )  x.  ( B  / L
2 ) ) )
5 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  P  =  2 )
65oveq2d 6056 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  ( ( A  x.  B )  / L P )  =  ( ( A  x.  B
)  / L 2 ) )
75oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  ( A  / L P )  =  ( A  / L 2 ) )
85oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  ( B  / L P )  =  ( B  / L 2 ) )
97, 8oveq12d 6058 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  =  ( ( A  / L 2 )  x.  ( B  / L
2 ) ) )
104, 6, 93eqtr4d 2446 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  ( ( A  x.  B )  / L P )  =  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )
11 simpl1 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  A  e.  ZZ )
12 simpl2 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  B  e.  ZZ )
1311, 12zmulcld 10337 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A  x.  B
)  e.  ZZ )
14 simpl3 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  Prime )
15 prmz 13038 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
1614, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  ZZ )
17 lgscl 21047 . . . . 5  |-  ( ( ( A  x.  B
)  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( ( A  x.  B )  / L P )  e.  ZZ )
1813, 16, 17syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  x.  B )  / L P )  e.  ZZ )
1918zcnd 10332 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  x.  B )  / L P )  e.  CC )
20 lgscl 21047 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( A  / L P )  e.  ZZ )
2111, 16, 20syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A  / L P )  e.  ZZ )
22 lgscl 21047 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( B  / L P )  e.  ZZ )
2312, 16, 22syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B  / L P )  e.  ZZ )
2421, 23zmulcld 10337 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  ZZ )
2524zcnd 10332 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  CC )
2619, 25subcld 9367 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  e.  CC )
2726abscld 12193 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e.  RR )
28 prmnn 13037 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
2914, 28syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  NN )
3029nnrpd 10603 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  RR+ )
3126absge0d 12201 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
0  <_  ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
32 2re 10025 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
3332a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
2  e.  RR )
3429nnred 9971 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  RR )
3519abscld 12193 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  e.  RR )
3625abscld 12193 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  e.  RR )
3735, 36readdcld 9071 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  +  ( abs `  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e.  RR )
3819, 25abs2dif2d 12215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  +  ( abs `  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
39 1re 9046 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
4039a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
1  e.  RR )
41 lgsle1 21048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  x.  B
)  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  <_  1
)
4213, 16, 41syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  <_  1
)
43 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 }  =  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 }
4443lgscl2 21045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( A  / L P )  e.  {
x  e.  ZZ  | 
( abs `  x
)  <_  1 }
)
4511, 16, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A  / L P )  e.  {
x  e.  ZZ  | 
( abs `  x
)  <_  1 }
)
4643lgscl2 21045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( B  / L P )  e.  {
x  e.  ZZ  | 
( abs `  x
)  <_  1 }
)
4712, 16, 46syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B  / L P )  e.  {
x  e.  ZZ  | 
( abs `  x
)  <_  1 }
)
4843lgslem3 21035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  / L P )  e.  {
x  e.  ZZ  | 
( abs `  x
)  <_  1 }  /\  ( B  / L P )  e.  {
x  e.  ZZ  | 
( abs `  x
)  <_  1 }
)  ->  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e. 
{ x  e.  ZZ  |  ( abs `  x
)  <_  1 }
)
4945, 47, 48syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 } )
50 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  -> 
( abs `  x
)  =  ( abs `  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )
5150breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  -> 
( ( abs `  x
)  <_  1  <->  ( abs `  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  <_  1
) )
5251elrab 3052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 } 
<->  ( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  ZZ  /\  ( abs `  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  <_  1
) )
5352simprbi 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 }  ->  ( abs `  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  <_  1
)
5449, 53syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  <_  1
)
5535, 36, 40, 40, 42, 54le2addd 9600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  +  ( abs `  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) )  <_ 
( 1  +  1 ) )
56 df-2 10014 . . . . . . . . 9  |-  2  =  ( 1  +  1 )
5755, 56syl6breqr 4212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  +  ( abs `  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) )  <_ 
2 )
5827, 37, 33, 38, 57letrd 9183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  <_ 
2 )
59 prmuz2 13052 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
60 eluzle 10454 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  P )
6114, 59, 603syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
2  <_  P )
62 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  =/=  2 )
63 ltlen 9131 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  ( 2  <  P  <->  ( 2  <_  P  /\  P  =/=  2 ) ) )
6432, 34, 63sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( 2  <  P  <->  ( 2  <_  P  /\  P  =/=  2 ) ) )
6561, 62, 64mpbir2and 889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
2  <  P )
6627, 33, 34, 58, 65lelttrd 9184 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  < 
P )
67 modid 11225 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  /\  ( abs `  ( ( ( A  x.  B
)  / L P
)  -  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) )  < 
P ) )  -> 
( ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  mod 
P )  =  ( abs `  ( ( ( A  x.  B
)  / L P
)  -  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
6827, 30, 31, 66, 67syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  mod 
P )  =  ( abs `  ( ( ( A  x.  B
)  / L P
)  -  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
6911zcnd 10332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  A  e.  CC )
7012zcnd 10332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  B  e.  CC )
71 eldifsn 3887 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  <->  ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 ) )
7214, 62, 71sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
73 oddprm 13144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
7574nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
7669, 70, 75mulexpd 11493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  x.  B ) ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( B ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) ) ) )
77 zexpcl 11351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
7811, 75, 77syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
7978zcnd 10332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
80 zexpcl 11351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( B ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
8112, 75, 80syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
8281zcnd 10332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
8379, 82mulcomd 9065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  x.  ( B ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( ( B ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )
8476, 83eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  x.  B ) ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( B ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) ) ) )
8584oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  x.  B ) ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
)  =  ( ( ( B ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  mod  P ) )
86 lgsvalmod 21052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  x.  B
)  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( (
( A  x.  B
)  / L P
)  mod  P )  =  ( ( ( A  x.  B ) ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  mod 
P ) )
8713, 72, 86syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  x.  B )  / L P )  mod  P
)  =  ( ( ( A  x.  B
) ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P ) )
8821zred 10331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A  / L P )  e.  RR )
8978zred 10331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  RR )
90 lgsvalmod 21052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( ( A  / L P )  mod  P )  =  ( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
) )
9111, 72, 90syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  / L P )  mod  P
)  =  ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P ) )
92 modmul1 11234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  / L P )  e.  RR  /\  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  RR )  /\  ( ( B  / L P )  e.  ZZ  /\  P  e.  RR+ )  /\  (
( A  / L P )  mod  P
)  =  ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P ) )  ->  ( ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) )  mod  P )  =  ( ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( B  / L P ) )  mod 
P ) )
9388, 89, 23, 30, 91, 92syl221anc 1195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  mod 
P )  =  ( ( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  x.  ( B  / L P ) )  mod  P ) )
9423zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B  / L P )  e.  CC )
9579, 94mulcomd 9065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  x.  ( B  / L P ) )  =  ( ( B  / L P
)  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
9695oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( B  / L P ) )  mod 
P )  =  ( ( ( B  / L P )  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  mod  P ) )
9723zred 10331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B  / L P )  e.  RR )
9881zred 10331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  RR )
99 lgsvalmod 21052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( ( B  / L P )  mod  P )  =  ( ( B ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
) )
10012, 72, 99syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( B  / L P )  mod  P
)  =  ( ( B ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P ) )
101 modmul1 11234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  / L P )  e.  RR  /\  ( B ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  RR )  /\  ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  e.  ZZ  /\  P  e.  RR+ )  /\  (
( B  / L P )  mod  P
)  =  ( ( B ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P ) )  ->  ( ( ( B  / L P
)  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  mod  P )  =  ( ( ( B ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  mod  P
) )
10297, 98, 78, 30, 100, 101syl221anc 1195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( B  / L P )  x.  ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )  mod 
P )  =  ( ( ( B ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  mod  P ) )
10396, 102eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( B  / L P ) )  mod 
P )  =  ( ( ( B ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  mod  P ) )
10493, 103eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  mod 
P )  =  ( ( ( B ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  mod  P ) )
10585, 87, 1043eqtr4d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  x.  B )  / L P )  mod  P
)  =  ( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  mod  P ) )
106 moddvds 12814 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( ( A  x.  B )  / L P )  e.  ZZ  /\  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( A  x.  B
)  / L P
)  mod  P )  =  ( ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) )  mod  P )  <-> 
P  ||  ( (
( A  x.  B
)  / L P
)  -  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
10729, 18, 24, 106syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( ( A  x.  B )  / L P )  mod  P )  =  ( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  mod 
P )  <->  P  ||  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
108105, 107mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  ||  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )
10918, 24zsubcld 10336 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  e.  ZZ )
110 dvdsabsb 12824 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  <->  P  ||  ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) ) ) )
11116, 109, 110syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( P  ||  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  <->  P  ||  ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) ) ) )
112108, 111mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  ||  ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
113 nn0abscl 12072 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  e.  ZZ  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e. 
NN0 )
114109, 113syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e. 
NN0 )
115114nn0zd 10329 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e.  ZZ )
116 dvdsval3 12811 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( ( A  x.  B
)  / L P
)  -  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  <->  ( ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  mod  P )  =  0 ) )
11729, 115, 116syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( P  ||  ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  <->  ( ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  mod 
P )  =  0 ) )
118112, 117mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  mod 
P )  =  0 )
11968, 118eqtr3d 2438 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  =  0 )
12026, 119abs00d 12203 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  =  0 )
12119, 25, 120subeq0d 9375 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  x.  B )  / L P )  =  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )
12210, 121pm2.61dane 2645 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  ->  (
( A  x.  B
)  / L P
)  =  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   {crab 2670    \ cdif 3277   {csn 3774   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568    mod cmo 11205   ^cexp 11337   abscabs 11994    || cdivides 12807   Primecprime 13034    / Lclgs 21031
This theorem is referenced by:  lgsdir  21067
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-phi 13110  df-pc 13166  df-lgs 21032
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