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Theorem lgsdirprm 21113
Description: The Legendre symbol is completely multiplicative at the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdirprm  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  ->  (
( A  x.  B
)  / L P
)  =  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) )

Proof of Theorem lgsdirprm
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 960 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  A  e.  ZZ )
2 simpl2 961 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  B  e.  ZZ )
3 lgsdir2 21112 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  x.  B )  / L
2 )  =  ( ( A  / L
2 )  x.  ( B  / L 2 ) ) )
41, 2, 3syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  ( ( A  x.  B )  / L 2 )  =  ( ( A  / L 2 )  x.  ( B  / L
2 ) ) )
5 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  P  =  2 )
65oveq2d 6097 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  ( ( A  x.  B )  / L P )  =  ( ( A  x.  B
)  / L 2 ) )
75oveq2d 6097 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  ( A  / L P )  =  ( A  / L 2 ) )
85oveq2d 6097 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  ( B  / L P )  =  ( B  / L 2 ) )
97, 8oveq12d 6099 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  =  ( ( A  / L 2 )  x.  ( B  / L
2 ) ) )
104, 6, 93eqtr4d 2478 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  ( ( A  x.  B )  / L P )  =  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )
11 simpl1 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  A  e.  ZZ )
12 simpl2 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  B  e.  ZZ )
1311, 12zmulcld 10381 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A  x.  B
)  e.  ZZ )
14 simpl3 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  Prime )
15 prmz 13083 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
1614, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  ZZ )
17 lgscl 21094 . . . . 5  |-  ( ( ( A  x.  B
)  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( ( A  x.  B )  / L P )  e.  ZZ )
1813, 16, 17syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  x.  B )  / L P )  e.  ZZ )
1918zcnd 10376 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  x.  B )  / L P )  e.  CC )
20 lgscl 21094 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( A  / L P )  e.  ZZ )
2111, 16, 20syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A  / L P )  e.  ZZ )
22 lgscl 21094 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( B  / L P )  e.  ZZ )
2312, 16, 22syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B  / L P )  e.  ZZ )
2421, 23zmulcld 10381 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  ZZ )
2524zcnd 10376 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  CC )
2619, 25subcld 9411 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  e.  CC )
2726abscld 12238 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e.  RR )
28 prmnn 13082 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
2914, 28syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  NN )
3029nnrpd 10647 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  RR+ )
3126absge0d 12246 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
0  <_  ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
32 2re 10069 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
3332a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
2  e.  RR )
3429nnred 10015 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  RR )
3519abscld 12238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  e.  RR )
3625abscld 12238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  e.  RR )
3735, 36readdcld 9115 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  +  ( abs `  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e.  RR )
3819, 25abs2dif2d 12260 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  +  ( abs `  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
39 1re 9090 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
4039a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
1  e.  RR )
41 lgsle1 21095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  x.  B
)  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  <_  1
)
4213, 16, 41syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  <_  1
)
43 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 }  =  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 }
4443lgscl2 21092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( A  / L P )  e.  {
x  e.  ZZ  | 
( abs `  x
)  <_  1 }
)
4511, 16, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A  / L P )  e.  {
x  e.  ZZ  | 
( abs `  x
)  <_  1 }
)
4643lgscl2 21092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( B  / L P )  e.  {
x  e.  ZZ  | 
( abs `  x
)  <_  1 }
)
4712, 16, 46syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B  / L P )  e.  {
x  e.  ZZ  | 
( abs `  x
)  <_  1 }
)
4843lgslem3 21082 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  / L P )  e.  {
x  e.  ZZ  | 
( abs `  x
)  <_  1 }  /\  ( B  / L P )  e.  {
x  e.  ZZ  | 
( abs `  x
)  <_  1 }
)  ->  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e. 
{ x  e.  ZZ  |  ( abs `  x
)  <_  1 }
)
4945, 47, 48syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 } )
50 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  -> 
( abs `  x
)  =  ( abs `  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )
5150breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  -> 
( ( abs `  x
)  <_  1  <->  ( abs `  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  <_  1
) )
5251elrab 3092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 } 
<->  ( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  ZZ  /\  ( abs `  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  <_  1
) )
5352simprbi 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 }  ->  ( abs `  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  <_  1
)
5449, 53syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  <_  1
)
5535, 36, 40, 40, 42, 54le2addd 9644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  +  ( abs `  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) )  <_ 
( 1  +  1 ) )
56 df-2 10058 . . . . . . . . 9  |-  2  =  ( 1  +  1 )
5755, 56syl6breqr 4252 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  +  ( abs `  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) )  <_ 
2 )
5827, 37, 33, 38, 57letrd 9227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  <_ 
2 )
59 prmuz2 13097 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
60 eluzle 10498 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  P )
6114, 59, 603syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
2  <_  P )
62 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  =/=  2 )
63 ltlen 9175 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  ( 2  <  P  <->  ( 2  <_  P  /\  P  =/=  2 ) ) )
6432, 34, 63sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( 2  <  P  <->  ( 2  <_  P  /\  P  =/=  2 ) ) )
6561, 62, 64mpbir2and 889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
2  <  P )
6627, 33, 34, 58, 65lelttrd 9228 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  < 
P )
67 modid 11270 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  /\  ( abs `  ( ( ( A  x.  B
)  / L P
)  -  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) )  < 
P ) )  -> 
( ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  mod 
P )  =  ( abs `  ( ( ( A  x.  B
)  / L P
)  -  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
6827, 30, 31, 66, 67syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  mod 
P )  =  ( abs `  ( ( ( A  x.  B
)  / L P
)  -  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
6911zcnd 10376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  A  e.  CC )
7012zcnd 10376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  B  e.  CC )
71 eldifsn 3927 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  <->  ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 ) )
7214, 62, 71sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
73 oddprm 13189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
7574nnnn0d 10274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
7669, 70, 75mulexpd 11538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  x.  B ) ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( B ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) ) ) )
77 zexpcl 11396 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
7811, 75, 77syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
7978zcnd 10376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
80 zexpcl 11396 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( B ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
8112, 75, 80syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
8281zcnd 10376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
8379, 82mulcomd 9109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  x.  ( B ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( ( B ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )
8476, 83eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  x.  B ) ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( B ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) ) ) )
8584oveq1d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  x.  B ) ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
)  =  ( ( ( B ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  mod  P ) )
86 lgsvalmod 21099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  x.  B
)  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( (
( A  x.  B
)  / L P
)  mod  P )  =  ( ( ( A  x.  B ) ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  mod 
P ) )
8713, 72, 86syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  x.  B )  / L P )  mod  P
)  =  ( ( ( A  x.  B
) ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P ) )
8821zred 10375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A  / L P )  e.  RR )
8978zred 10375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  RR )
90 lgsvalmod 21099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( ( A  / L P )  mod  P )  =  ( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
) )
9111, 72, 90syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  / L P )  mod  P
)  =  ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P ) )
92 modmul1 11279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  / L P )  e.  RR  /\  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  RR )  /\  ( ( B  / L P )  e.  ZZ  /\  P  e.  RR+ )  /\  (
( A  / L P )  mod  P
)  =  ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P ) )  ->  ( ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) )  mod  P )  =  ( ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( B  / L P ) )  mod 
P ) )
9388, 89, 23, 30, 91, 92syl221anc 1195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  mod 
P )  =  ( ( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  x.  ( B  / L P ) )  mod  P ) )
9423zcnd 10376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B  / L P )  e.  CC )
9579, 94mulcomd 9109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  x.  ( B  / L P ) )  =  ( ( B  / L P
)  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
9695oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( B  / L P ) )  mod 
P )  =  ( ( ( B  / L P )  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  mod  P ) )
9723zred 10375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B  / L P )  e.  RR )
9881zred 10375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  RR )
99 lgsvalmod 21099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( ( B  / L P )  mod  P )  =  ( ( B ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
) )
10012, 72, 99syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( B  / L P )  mod  P
)  =  ( ( B ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P ) )
101 modmul1 11279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  / L P )  e.  RR  /\  ( B ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  RR )  /\  ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  e.  ZZ  /\  P  e.  RR+ )  /\  (
( B  / L P )  mod  P
)  =  ( ( B ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P ) )  ->  ( ( ( B  / L P
)  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  mod  P )  =  ( ( ( B ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  mod  P
) )
10297, 98, 78, 30, 100, 101syl221anc 1195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( B  / L P )  x.  ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )  mod 
P )  =  ( ( ( B ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  mod  P ) )
10396, 102eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( B  / L P ) )  mod 
P )  =  ( ( ( B ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  mod  P ) )
10493, 103eqtrd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  mod 
P )  =  ( ( ( B ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  mod  P ) )
10585, 87, 1043eqtr4d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  x.  B )  / L P )  mod  P
)  =  ( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  mod  P ) )
106 moddvds 12859 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( ( A  x.  B )  / L P )  e.  ZZ  /\  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( A  x.  B
)  / L P
)  mod  P )  =  ( ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) )  mod  P )  <-> 
P  ||  ( (
( A  x.  B
)  / L P
)  -  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
10729, 18, 24, 106syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( ( A  x.  B )  / L P )  mod  P )  =  ( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  mod 
P )  <->  P  ||  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
108105, 107mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  ||  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )
10918, 24zsubcld 10380 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  e.  ZZ )
110 dvdsabsb 12869 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  <->  P  ||  ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) ) ) )
11116, 109, 110syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( P  ||  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  <->  P  ||  ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) ) ) )
112108, 111mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  ||  ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
113 nn0abscl 12117 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  e.  ZZ  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e. 
NN0 )
114109, 113syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e. 
NN0 )
115114nn0zd 10373 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e.  ZZ )
116 dvdsval3 12856 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( ( A  x.  B
)  / L P
)  -  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  <->  ( ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  mod  P )  =  0 ) )
11729, 115, 116syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( P  ||  ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  <->  ( ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  mod 
P )  =  0 ) )
118112, 117mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  mod 
P )  =  0 )
11968, 118eqtr3d 2470 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  =  0 )
12026, 119abs00d 12248 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  =  0 )
12119, 25, 120subeq0d 9419 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  x.  B )  / L P )  =  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )
12210, 121pm2.61dane 2682 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  ->  (
( A  x.  B
)  / L P
)  =  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   {crab 2709    \ cdif 3317   {csn 3814   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   RR+crp 10612    mod cmo 11250   ^cexp 11382   abscabs 12039    || cdivides 12852   Primecprime 13079    / Lclgs 21078
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-phi 13155  df-pc 13211  df-lgs 21079
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