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Theorem lgsdirprm 20584
Description: The Legendre symbol is completely multiplicative at the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdirprm  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  ->  (
( A  x.  B
)  / L P
)  =  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) )

Proof of Theorem lgsdirprm
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 958 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  A  e.  ZZ )
2 simpl2 959 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  B  e.  ZZ )
3 lgsdir2 20583 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  x.  B )  / L
2 )  =  ( ( A  / L
2 )  x.  ( B  / L 2 ) ) )
41, 2, 3syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  ( ( A  x.  B )  / L 2 )  =  ( ( A  / L 2 )  x.  ( B  / L
2 ) ) )
5 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  P  =  2 )
65oveq2d 5890 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  ( ( A  x.  B )  / L P )  =  ( ( A  x.  B
)  / L 2 ) )
75oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  ( A  / L P )  =  ( A  / L 2 ) )
85oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  ( B  / L P )  =  ( B  / L 2 ) )
97, 8oveq12d 5892 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  =  ( ( A  / L 2 )  x.  ( B  / L
2 ) ) )
104, 6, 93eqtr4d 2338 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =  2 )  ->  ( ( A  x.  B )  / L P )  =  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )
11 simpl1 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  A  e.  ZZ )
12 simpl2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  B  e.  ZZ )
1311, 12zmulcld 10139 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A  x.  B
)  e.  ZZ )
14 simpl3 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  Prime )
15 prmz 12778 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
1614, 15syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  ZZ )
17 lgscl 20565 . . . . 5  |-  ( ( ( A  x.  B
)  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( ( A  x.  B )  / L P )  e.  ZZ )
1813, 16, 17syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  x.  B )  / L P )  e.  ZZ )
1918zcnd 10134 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  x.  B )  / L P )  e.  CC )
20 lgscl 20565 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( A  / L P )  e.  ZZ )
2111, 16, 20syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A  / L P )  e.  ZZ )
22 lgscl 20565 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( B  / L P )  e.  ZZ )
2312, 16, 22syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B  / L P )  e.  ZZ )
2421, 23zmulcld 10139 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  ZZ )
2524zcnd 10134 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  CC )
2619, 25subcld 9173 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  e.  CC )
2726abscld 11934 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e.  RR )
28 prmnn 12777 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
2914, 28syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  NN )
3029nnrpd 10405 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  RR+ )
3126absge0d 11942 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
0  <_  ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
32 2re 9831 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
3332a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
2  e.  RR )
3429nnred 9777 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  RR )
3519abscld 11934 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  e.  RR )
3625abscld 11934 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  e.  RR )
3735, 36readdcld 8878 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  +  ( abs `  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e.  RR )
3819, 25abs2dif2d 11956 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  +  ( abs `  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
39 1re 8853 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
4039a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
1  e.  RR )
41 lgsle1 20566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  x.  B
)  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  <_  1
)
4213, 16, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  <_  1
)
43 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 }  =  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 }
4443lgscl2 20563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( A  / L P )  e.  {
x  e.  ZZ  | 
( abs `  x
)  <_  1 }
)
4511, 16, 44syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A  / L P )  e.  {
x  e.  ZZ  | 
( abs `  x
)  <_  1 }
)
4643lgscl2 20563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( B  / L P )  e.  {
x  e.  ZZ  | 
( abs `  x
)  <_  1 }
)
4712, 16, 46syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B  / L P )  e.  {
x  e.  ZZ  | 
( abs `  x
)  <_  1 }
)
4843lgslem3 20553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  / L P )  e.  {
x  e.  ZZ  | 
( abs `  x
)  <_  1 }  /\  ( B  / L P )  e.  {
x  e.  ZZ  | 
( abs `  x
)  <_  1 }
)  ->  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e. 
{ x  e.  ZZ  |  ( abs `  x
)  <_  1 }
)
4945, 47, 48syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 } )
50 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  -> 
( abs `  x
)  =  ( abs `  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )
5150breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  -> 
( ( abs `  x
)  <_  1  <->  ( abs `  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  <_  1
) )
5251elrab 2936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 } 
<->  ( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  ZZ  /\  ( abs `  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  <_  1
) )
5352simprbi 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 }  ->  ( abs `  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  <_  1
)
5449, 53syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  <_  1
)
5535, 36, 40, 40, 42, 54le2addd 9406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  +  ( abs `  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) )  <_ 
( 1  +  1 ) )
56 df-2 9820 . . . . . . . . 9  |-  2  =  ( 1  +  1 )
5755, 56syl6breqr 4079 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( abs `  (
( A  x.  B
)  / L P
) )  +  ( abs `  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) )  <_ 
2 )
5827, 37, 33, 38, 57letrd 8989 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  <_ 
2 )
59 prmuz2 12792 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
60 eluzle 10256 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  P )
6114, 59, 603syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
2  <_  P )
62 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  =/=  2 )
63 ltlen 8938 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  ( 2  <  P  <->  ( 2  <_  P  /\  P  =/=  2 ) ) )
6432, 34, 63sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( 2  <  P  <->  ( 2  <_  P  /\  P  =/=  2 ) ) )
6561, 62, 64mpbir2and 888 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
2  <  P )
6627, 33, 34, 58, 65lelttrd 8990 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  < 
P )
67 modid 11009 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  /\  ( abs `  ( ( ( A  x.  B
)  / L P
)  -  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) )  < 
P ) )  -> 
( ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  mod 
P )  =  ( abs `  ( ( ( A  x.  B
)  / L P
)  -  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
6827, 30, 31, 66, 67syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  mod 
P )  =  ( abs `  ( ( ( A  x.  B
)  / L P
)  -  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
6911zcnd 10134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  A  e.  CC )
7012zcnd 10134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  B  e.  CC )
71 eldifsn 3762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  <->  ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 ) )
7214, 62, 71sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
73 oddprm 12884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
7472, 73syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
7574nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
7669, 70, 75mulexpd 11276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  x.  B ) ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( B ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) ) ) )
77 zexpcl 11134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
7811, 75, 77syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
7978zcnd 10134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
80 zexpcl 11134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( B ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
8112, 75, 80syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
8281zcnd 10134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
8379, 82mulcomd 8872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  x.  ( B ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( ( B ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )
8476, 83eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  x.  B ) ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( B ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) ) ) )
8584oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  x.  B ) ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
)  =  ( ( ( B ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  mod  P ) )
86 lgsvalmod 20570 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  x.  B
)  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( (
( A  x.  B
)  / L P
)  mod  P )  =  ( ( ( A  x.  B ) ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  mod 
P ) )
8713, 72, 86syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  x.  B )  / L P )  mod  P
)  =  ( ( ( A  x.  B
) ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P ) )
8821zred 10133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A  / L P )  e.  RR )
8978zred 10133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  RR )
90 lgsvalmod 20570 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( ( A  / L P )  mod  P )  =  ( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
) )
9111, 72, 90syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  / L P )  mod  P
)  =  ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P ) )
92 modmul1 11018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  / L P )  e.  RR  /\  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  RR )  /\  ( ( B  / L P )  e.  ZZ  /\  P  e.  RR+ )  /\  (
( A  / L P )  mod  P
)  =  ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P ) )  ->  ( ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) )  mod  P )  =  ( ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( B  / L P ) )  mod 
P ) )
9388, 89, 23, 30, 91, 92syl221anc 1193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  mod 
P )  =  ( ( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  x.  ( B  / L P ) )  mod  P ) )
9423zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B  / L P )  e.  CC )
9579, 94mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  x.  ( B  / L P ) )  =  ( ( B  / L P
)  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
9695oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( B  / L P ) )  mod 
P )  =  ( ( ( B  / L P )  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  mod  P ) )
9723zred 10133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B  / L P )  e.  RR )
9881zred 10133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( B ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  RR )
99 lgsvalmod 20570 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( ( B  / L P )  mod  P )  =  ( ( B ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
) )
10012, 72, 99syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( B  / L P )  mod  P
)  =  ( ( B ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P ) )
101 modmul1 11018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  / L P )  e.  RR  /\  ( B ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  RR )  /\  ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  e.  ZZ  /\  P  e.  RR+ )  /\  (
( B  / L P )  mod  P
)  =  ( ( B ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P ) )  ->  ( ( ( B  / L P
)  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  mod  P )  =  ( ( ( B ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  mod  P
) )
10297, 98, 78, 30, 100, 101syl221anc 1193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( B  / L P )  x.  ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )  mod 
P )  =  ( ( ( B ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  mod  P ) )
10396, 102eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( B  / L P ) )  mod 
P )  =  ( ( ( B ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  mod  P ) )
10493, 103eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  mod 
P )  =  ( ( ( B ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  x.  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  mod  P ) )
10585, 87, 1043eqtr4d 2338 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  x.  B )  / L P )  mod  P
)  =  ( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  mod  P ) )
106 moddvds 12554 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( ( A  x.  B )  / L P )  e.  ZZ  /\  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( A  x.  B
)  / L P
)  mod  P )  =  ( ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) )  mod  P )  <-> 
P  ||  ( (
( A  x.  B
)  / L P
)  -  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
10729, 18, 24, 106syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( ( A  x.  B )  / L P )  mod  P )  =  ( ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) )  mod 
P )  <->  P  ||  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
108105, 107mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  ||  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )
10918, 24zsubcld 10138 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  e.  ZZ )
110 dvdsabsb 12564 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  <->  P  ||  ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) ) ) )
11116, 109, 110syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( P  ||  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  <->  P  ||  ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) ) ) )
112108, 111mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  ->  P  ||  ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) ) )
113 nn0abscl 11813 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  e.  ZZ  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e. 
NN0 )
114109, 113syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e. 
NN0 )
115114nn0zd 10131 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e.  ZZ )
116 dvdsval3 12551 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( ( A  x.  B
)  / L P
)  -  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  <->  ( ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  mod  P )  =  0 ) )
11729, 115, 116syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( P  ||  ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  <->  ( ( abs `  ( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  mod 
P )  =  0 ) )
118112, 117mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  mod 
P )  =  0 )
11968, 118eqtr3d 2330 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( abs `  (
( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) ) )  =  0 )
12026, 119abs00d 11944 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( ( A  x.  B )  / L P )  -  (
( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )  =  0 )
12119, 25, 120subeq0d 9181 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  P  =/=  2 )  -> 
( ( A  x.  B )  / L P )  =  ( ( A  / L P )  x.  ( B  / L P ) ) )
12210, 121pm2.61dane 2537 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  ->  (
( A  x.  B
)  / L P
)  =  ( ( A  / L P
)  x.  ( B  / L P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   {crab 2560    \ cdif 3162   {csn 3653   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370    mod cmo 10989   ^cexp 11120   abscabs 11735    || cdivides 12547   Primecprime 12774    / Lclgs 20549
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-phi 12850  df-pc 12906  df-lgs 20550
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