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Theorem lgseisenlem2 21127
Description: Lemma for lgseisen 21130. The function  M is an injection (and hence a bijection by the pigeonhole principle). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgseisen.2  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgseisen.3  |-  ( ph  ->  P  =/=  Q )
lgseisen.4  |-  R  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)
lgseisen.5  |-  M  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 ) )
lgseisen.6  |-  S  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  y
) )  mod  P
)
Assertion
Ref Expression
lgseisenlem2  |-  ( ph  ->  M : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, P    ph, x, y    y, M    x, Q, y    x, S
Allowed substitution hints:    R( x, y)    S( y)    M( x)

Proof of Theorem lgseisenlem2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgseisen.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
2 lgseisen.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
3 lgseisen.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  =/=  Q )
4 lgseisen.4 . . . 4  |-  R  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)
5 lgseisen.5 . . . 4  |-  M  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 ) )
61, 2, 3, 4, 5lgseisenlem1 21126 . . 3  |-  ( ph  ->  M : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) --> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
7 oveq2 6082 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  y ) )
87oveq2d 6090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  =  ( Q  x.  ( 2  x.  y
) ) )
98oveq1d 6089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( Q  x.  (
2  x.  x ) )  mod  P )  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  y ) )  mod 
P ) )
10 lgseisen.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  y
) )  mod  P
)
119, 4, 103eqtr4g 2493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  R  =  S )
1211oveq2d 6090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( -u 1 ^ R )  =  ( -u 1 ^ S ) )
1312, 11oveq12d 6092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( -u 1 ^ R
)  x.  R )  =  ( ( -u
1 ^ S )  x.  S ) )
1413oveq1d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  =  ( ( (
-u 1 ^ S
)  x.  S )  mod  P ) )
1514oveq1d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  /  2
)  =  ( ( ( ( -u 1 ^ S )  x.  S
)  mod  P )  /  2 ) )
16 ovex 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( -u 1 ^ S )  x.  S
)  mod  P )  /  2 )  e. 
_V
1715, 5, 16fvmpt 5799 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  ( M `  y )  =  ( ( ( ( -u 1 ^ S )  x.  S
)  mod  P )  /  2 ) )
1817ad2antrl 709 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( M `  y
)  =  ( ( ( ( -u 1 ^ S )  x.  S
)  mod  P )  /  2 ) )
19 ovex 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 )  e. 
_V
205fvmpt2 5805 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  /\  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 )  e.  _V )  ->  ( M `  x )  =  ( ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  /  2
) )
2119, 20mpan2 653 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  ( M `  x )  =  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) )
2221ad2antll 710 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( M `  x
)  =  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) )
2318, 22eqeq12d 2450 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( M `  y )  =  ( M `  x )  <-> 
( ( ( (
-u 1 ^ S
)  x.  S )  mod  P )  / 
2 )  =  ( ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  /  2
) ) )
242adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
2524eldifad 3325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  Q  e.  Prime )
26 prmz 13076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Q  e.  Prime  ->  Q  e.  ZZ )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  Q  e.  ZZ )
28 2z 10305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  ZZ
29 elfzelz 11052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  y  e.  ZZ )
3029ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
y  e.  ZZ )
31 zmulcl 10317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  y
)  e.  ZZ )
3228, 30, 31sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 2  x.  y
)  e.  ZZ )
3327, 32zmulcld 10374 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( Q  x.  (
2  x.  y ) )  e.  ZZ )
341adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
3534eldifad 3325 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  e.  Prime )
36 prmnn 13075 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  e.  NN )
3833, 37zmodcld 11260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( Q  x.  ( 2  x.  y
) )  mod  P
)  e.  NN0 )
3910, 38syl5eqel 2520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  S  e.  NN0 )
4039nn0zd 10366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  S  e.  ZZ )
41 m1expcl 11397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ S )  e.  ZZ )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( -u 1 ^ S
)  e.  ZZ )
4342, 40zmulcld 10374 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ S )  x.  S
)  e.  ZZ )
4443, 37zmodcld 11260 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( -u
1 ^ S )  x.  S )  mod 
P )  e.  NN0 )
4544nn0cnd 10269 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( -u
1 ^ S )  x.  S )  mod 
P )  e.  CC )
46 elfzelz 11052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  x  e.  ZZ )
4746ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
48 zmulcl 10317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  x
)  e.  ZZ )
4928, 47, 48sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 2  x.  x
)  e.  ZZ )
5027, 49zmulcld 10374 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( Q  x.  (
2  x.  x ) )  e.  ZZ )
5150, 37zmodcld 11260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( Q  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)  e.  NN0 )
524, 51syl5eqel 2520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  R  e.  NN0 )
5352nn0zd 10366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  R  e.  ZZ )
54 m1expcl 11397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ R )  e.  ZZ )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( -u 1 ^ R
)  e.  ZZ )
5655, 53zmulcld 10374 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  e.  ZZ )
5756, 37zmodcld 11260 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  e.  NN0 )
5857nn0cnd 10269 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  e.  CC )
59 2cn 10063 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
6059a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
2  e.  CC )
61 2ne0 10076 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
6261a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
2  =/=  0 )
63 div11 9697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( -u
1 ^ S )  x.  S )  mod 
P )  e.  CC  /\  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( (
( ( ( -u
1 ^ S )  x.  S )  mod 
P )  /  2
)  =  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 )  <->  ( (
( -u 1 ^ S
)  x.  S )  mod  P )  =  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P ) ) )
6445, 58, 60, 62, 63syl112anc 1188 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( ( ( -u 1 ^ S )  x.  S
)  mod  P )  /  2 )  =  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 )  <->  ( (
( -u 1 ^ S
)  x.  S )  mod  P )  =  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P ) ) )
6537nnrpd 10640 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  e.  RR+ )
66 eqidd 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ S )  mod  P
)  =  ( (
-u 1 ^ S
)  mod  P )
)
6710oveq1i 6084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  mod  P )  =  ( ( ( Q  x.  ( 2  x.  y ) )  mod 
P )  mod  P
)
6833zred 10368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( Q  x.  (
2  x.  y ) )  e.  RR )
69 modabs2 11268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Q  x.  (
2  x.  y ) )  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  -> 
( ( ( Q  x.  ( 2  x.  y ) )  mod 
P )  mod  P
)  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  y ) )  mod  P ) )
7068, 65, 69syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( Q  x.  ( 2  x.  y ) )  mod 
P )  mod  P
)  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  y ) )  mod  P ) )
7167, 70syl5eq 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( S  mod  P
)  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  y ) )  mod  P ) )
7242, 42, 40, 33, 65, 66, 71modmul12d 11273 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( -u
1 ^ S )  x.  S )  mod 
P )  =  ( ( ( -u 1 ^ S )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  y ) ) )  mod  P ) )
73 eqidd 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ R )  mod  P
)  =  ( (
-u 1 ^ R
)  mod  P )
)
744oveq1i 6084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  mod  P )  =  ( ( ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  mod 
P )  mod  P
)
7550zred 10368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( Q  x.  (
2  x.  x ) )  e.  RR )
76 modabs2 11268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Q  x.  (
2  x.  x ) )  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  -> 
( ( ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  mod 
P )  mod  P
)  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  mod  P ) )
7775, 65, 76syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  mod 
P )  mod  P
)  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  mod  P ) )
7874, 77syl5eq 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( R  mod  P
)  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  mod  P ) )
7955, 55, 53, 50, 65, 73, 78modmul12d 11273 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  =  ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) ) )  mod  P ) )
8072, 79eqeq12d 2450 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( (
-u 1 ^ S
)  x.  S )  mod  P )  =  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  <->  ( (
( -u 1 ^ S
)  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  y ) ) )  mod  P )  =  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x
) ) )  mod 
P ) ) )
8142, 33zmulcld 10374 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ S )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  y ) ) )  e.  ZZ )
8255, 50zmulcld 10374 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ R )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) ) )  e.  ZZ )
83 moddvds 12852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( ( -u 1 ^ S )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  y ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( -u 1 ^ R )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( -u 1 ^ S )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  y ) ) )  mod  P )  =  ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) ) )  mod  P )  <->  P  ||  (
( ( -u 1 ^ S )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  y ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) ) )
8437, 81, 82, 83syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( (
-u 1 ^ S
)  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  y ) ) )  mod  P )  =  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x
) ) )  mod 
P )  <->  P  ||  (
( ( -u 1 ^ S )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  y ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) ) )
8527zcnd 10369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  Q  e.  CC )
8642, 32zmulcld 10374 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ S )  x.  (
2  x.  y ) )  e.  ZZ )
8786zcnd 10369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ S )  x.  (
2  x.  y ) )  e.  CC )
8855, 49zmulcld 10374 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ R )  x.  (
2  x.  x ) )  e.  ZZ )
8988zcnd 10369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ R )  x.  (
2  x.  x ) )  e.  CC )
9085, 87, 89subdid 9482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( Q  x.  (
( ( -u 1 ^ S )  x.  (
2  x.  y ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( Q  x.  (
( -u 1 ^ S
)  x.  ( 2  x.  y ) ) )  -  ( Q  x.  ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
9142zcnd 10369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( -u 1 ^ S
)  e.  CC )
9232zcnd 10369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 2  x.  y
)  e.  CC )
9385, 91, 92mul12d 9268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( Q  x.  (
( -u 1 ^ S
)  x.  ( 2  x.  y ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ S
)  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  y ) ) ) )
9455zcnd 10369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( -u 1 ^ R
)  e.  CC )
9549zcnd 10369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 2  x.  x
)  e.  CC )
9685, 94, 95mul12d 9268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( Q  x.  (
( -u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )
9793, 96oveq12d 6092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( Q  x.  ( ( -u 1 ^ S )  x.  (
2  x.  y ) ) )  -  ( Q  x.  ( ( -u 1 ^ R )  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ S )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  y ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
9890, 97eqtrd 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( Q  x.  (
( ( -u 1 ^ S )  x.  (
2  x.  y ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ S )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  y ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
9998breq2d 4217 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  ( Q  x.  ( (
( -u 1 ^ S
)  x.  ( 2  x.  y ) )  -  ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )  <->  P  ||  ( ( ( -u 1 ^ S )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  y ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) ) )
1003adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
101 prmrp 13094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  (
( P  gcd  Q
)  =  1  <->  P  =/=  Q ) )
10235, 25, 101syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( P  gcd  Q )  =  1  <->  P  =/=  Q ) )
103100, 102mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  gcd  Q
)  =  1 )
104 prmz 13076 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
10535, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  e.  ZZ )
10686, 88zsubcld 10373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( -u
1 ^ S )  x.  ( 2  x.  y ) )  -  ( ( -u 1 ^ R )  x.  (
2  x.  x ) ) )  e.  ZZ )
107 coprmdvds 13095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ  /\  (
( ( -u 1 ^ S )  x.  (
2  x.  y ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( P 
||  ( Q  x.  ( ( ( -u
1 ^ S )  x.  ( 2  x.  y ) )  -  ( ( -u 1 ^ R )  x.  (
2  x.  x ) ) ) )  /\  ( P  gcd  Q )  =  1 )  ->  P  ||  ( ( (
-u 1 ^ S
)  x.  ( 2  x.  y ) )  -  ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
108105, 27, 106, 107syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( P  ||  ( Q  x.  (
( ( -u 1 ^ S )  x.  (
2  x.  y ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )  /\  ( P  gcd  Q )  =  1 )  ->  P  ||  ( ( ( -u
1 ^ S )  x.  ( 2  x.  y ) )  -  ( ( -u 1 ^ R )  x.  (
2  x.  x ) ) ) ) )
109103, 108mpan2d 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  ( Q  x.  ( (
( -u 1 ^ S
)  x.  ( 2  x.  y ) )  -  ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )  ->  P  ||  (
( ( -u 1 ^ S )  x.  (
2  x.  y ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
110 dvdsmultr2 12878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( -u 1 ^ R
)  e.  ZZ  /\  ( ( ( -u
1 ^ S )  x.  ( 2  x.  y ) )  -  ( ( -u 1 ^ R )  x.  (
2  x.  x ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( ( ( -u
1 ^ S )  x.  ( 2  x.  y ) )  -  ( ( -u 1 ^ R )  x.  (
2  x.  x ) ) )  ->  P  ||  ( ( -u 1 ^ R )  x.  (
( ( -u 1 ^ S )  x.  (
2  x.  y ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) ) )
111105, 55, 106, 110syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
( ( -u 1 ^ S )  x.  (
2  x.  y ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) )  ->  P  ||  (
( -u 1 ^ R
)  x.  ( ( ( -u 1 ^ S )  x.  (
2  x.  y ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) ) )
11294, 87, 89subdid 9482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ R )  x.  (
( ( -u 1 ^ S )  x.  (
2  x.  y ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  (
( -u 1 ^ S
)  x.  ( 2  x.  y ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
113 neg1cn 10060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u 1  e.  CC
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  -u 1  e.  CC )
115114, 39, 52expaddd 11518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( -u 1 ^ ( R  +  S )
)  =  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( -u
1 ^ S ) ) )
116115oveq1d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  x.  ( 2  x.  y
) )  =  ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  ( -u 1 ^ S ) )  x.  ( 2  x.  y ) ) )
11794, 91, 92mulassd 9104 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( -u 1 ^ S ) )  x.  ( 2  x.  y
) )  =  ( ( -u 1 ^ R )  x.  (
( -u 1 ^ S
)  x.  ( 2  x.  y ) ) ) )
118116, 117eqtr2d 2469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ R )  x.  (
( -u 1 ^ S
)  x.  ( 2  x.  y ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ ( R  +  S )
)  x.  ( 2  x.  y ) ) )
119 ax-1cn 9041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  CC
120 ax-1ne0 9052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  =/=  0
121 divneg2 9731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  =/=  0 )  ->  -u (
1  /  1 )  =  ( 1  /  -u 1 ) )
122119, 119, 120, 121mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  -u (
1  /  1 )  =  ( 1  /  -u 1 )
123119div1i 9735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  /  1 )  =  1
124123negeqi 9292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  -u (
1  /  1 )  =  -u 1
125122, 124eqtr3i 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  /  -u 1 )  = 
-u 1
126125oveq1i 6084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  /  -u 1
) ^ R )  =  ( -u 1 ^ R )
127119, 120negne0i 9368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  -u 1  =/=  0
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  -u 1  =/=  0 )
129114, 128, 53exprecd 11524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( 1  /  -u 1 ) ^ R
)  =  ( 1  /  ( -u 1 ^ R ) ) )
130126, 129syl5eqr 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( -u 1 ^ R
)  =  ( 1  /  ( -u 1 ^ R ) ) )
131130oveq2d 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ R )  x.  ( -u 1 ^ R ) )  =  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( 1  /  ( -u 1 ^ R ) ) ) )
132114, 128, 53expne0d 11522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( -u 1 ^ R
)  =/=  0 )
13394, 132recidd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ R )  x.  (
1  /  ( -u
1 ^ R ) ) )  =  1 )
134131, 133eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ R )  x.  ( -u 1 ^ R ) )  =  1 )
135134oveq1d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( -u 1 ^ R ) )  x.  ( 2  x.  x
) )  =  ( 1  x.  ( 2  x.  x ) ) )
13694, 94, 95mulassd 9104 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( -u 1 ^ R ) )  x.  ( 2  x.  x
) )  =  ( ( -u 1 ^ R )  x.  (
( -u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )
13795mulid2d 9099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 1  x.  (
2  x.  x ) )  =  ( 2  x.  x ) )
138135, 136, 1373eqtr3d 2476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ R )  x.  (
( -u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) )  =  ( 2  x.  x ) )
139118, 138oveq12d 6092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( ( -u
1 ^ S )  x.  ( 2  x.  y ) ) )  -  ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( R  +  S
) )  x.  (
2  x.  y ) )  -  ( 2  x.  x ) ) )
140112, 139eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ R )  x.  (
( ( -u 1 ^ S )  x.  (
2  x.  y ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  x.  ( 2  x.  y
) )  -  (
2  x.  x ) ) )
141140breq2d 4217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
( -u 1 ^ R
)  x.  ( ( ( -u 1 ^ S )  x.  (
2  x.  y ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )  <->  P  ||  (
( ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  x.  ( 2  x.  y
) )  -  (
2  x.  x ) ) ) )
142 eqcom 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( -u 1  x.  ( 2  x.  y
) )  mod  P
)  =  ( ( 2  x.  x )  mod  P )  <->  ( (
2  x.  x )  mod  P )  =  ( ( -u 1  x.  ( 2  x.  y
) )  mod  P
) )
14392mulm1d 9478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( -u 1  x.  (
2  x.  y ) )  =  -u (
2  x.  y ) )
144143oveq1d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1  x.  ( 2  x.  y
) )  mod  P
)  =  ( -u ( 2  x.  y
)  mod  P )
)
145144eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  x )  mod 
P )  =  ( ( -u 1  x.  ( 2  x.  y
) )  mod  P
)  <->  ( ( 2  x.  x )  mod 
P )  =  (
-u ( 2  x.  y )  mod  P
) ) )
146142, 145syl5bb 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( -u
1  x.  ( 2  x.  y ) )  mod  P )  =  ( ( 2  x.  x )  mod  P
)  <->  ( ( 2  x.  x )  mod 
P )  =  (
-u ( 2  x.  y )  mod  P
) ) )
14732znegcld 10370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  -u ( 2  x.  y
)  e.  ZZ )
148 moddvds 12852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( 2  x.  x
)  e.  ZZ  /\  -u ( 2  x.  y
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  mod  P )  =  ( -u ( 2  x.  y )  mod 
P )  <->  P  ||  (
( 2  x.  x
)  -  -u (
2  x.  y ) ) ) )
14937, 49, 147, 148syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  x )  mod 
P )  =  (
-u ( 2  x.  y )  mod  P
)  <->  P  ||  ( ( 2  x.  x )  -  -u ( 2  x.  y ) ) ) )
150 elfznn 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  x  e.  NN )
151150ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  x  e.  NN )
152 elfznn 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  y  e.  NN )
153152ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
y  e.  NN )
154151, 153nnaddcld 10039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  +  y )  e.  NN )
155151nnred 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
15630zred 10368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
y  e.  RR )
157 oddprm 13182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
15834, 157syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
159158nnred 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  RR )
160 elfzle2 11054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  x  <_  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )
161160ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  x  <_  ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )
162 elfzle2 11054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  y  <_  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )
163162ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
y  <_  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
164155, 156, 159, 159, 161, 163le2addd 9637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  +  y )  <_  ( (
( P  -  1 )  /  2 )  +  ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )
16537nnred 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  e.  RR )
166 peano2rem 9360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( P  e.  RR  ->  ( P  -  1 )  e.  RR )
167165, 166syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  -  1 )  e.  RR )
168167recnd 9107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  -  1 )  e.  CC )
1691682halvesd 10206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  +  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  =  ( P  -  1 ) )
170164, 169breqtrd 4229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  +  y )  <_  ( P  -  1 ) )
171 peano2zm 10313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( P  e.  ZZ  ->  ( P  -  1 )  e.  ZZ )
172 fznn 11108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
( x  +  y )  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  <->  ( (
x  +  y )  e.  NN  /\  (
x  +  y )  <_  ( P  - 
1 ) ) ) )
173105, 171, 1723syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( x  +  y )  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  <-> 
( ( x  +  y )  e.  NN  /\  ( x  +  y )  <_  ( P  -  1 ) ) ) )
174154, 170, 173mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  +  y )  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) ) )
175 fzm1ndvds 12894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( x  +  y
)  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) ) )  ->  -.  P  ||  (
x  +  y ) )
17637, 174, 175syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  -.  P  ||  ( x  +  y ) )
177 eldifsni 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  P  =/=  2 )
17834, 177syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  =/=  2 )
179 2prm 13088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  Prime
180 prmrp 13094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  2  e.  Prime )  ->  (
( P  gcd  2
)  =  1  <->  P  =/=  2 ) )
18135, 179, 180sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( P  gcd  2 )  =  1  <-> 
P  =/=  2 ) )
182178, 181mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  gcd  2
)  =  1 )
18328a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
2  e.  ZZ )
184154nnzd 10367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  +  y )  e.  ZZ )
185 coprmdvds 13095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  (
x  +  y )  e.  ZZ )  -> 
( ( P  ||  ( 2  x.  (
x  +  y ) )  /\  ( P  gcd  2 )  =  1 )  ->  P  ||  ( x  +  y ) ) )
186105, 183, 184, 185syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( P  ||  ( 2  x.  (
x  +  y ) )  /\  ( P  gcd  2 )  =  1 )  ->  P  ||  ( x  +  y ) ) )
187182, 186mpan2d 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
2  x.  ( x  +  y ) )  ->  P  ||  (
x  +  y ) ) )
188176, 187mtod 170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  -.  P  ||  ( 2  x.  ( x  +  y ) ) )
18995, 92subnegd 9411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  x )  -  -u (
2  x.  y ) )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  y ) ) )
19047zcnd 10369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  x  e.  CC )
19130zcnd 10369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
y  e.  CC )
19260, 190, 191adddid 9105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 2  x.  (
x  +  y ) )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  y ) ) )
193189, 192eqtr4d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  x )  -  -u (
2  x.  y ) )  =  ( 2  x.  ( x  +  y ) ) )
194193breq2d 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
( 2  x.  x
)  -  -u (
2  x.  y ) )  <->  P  ||  ( 2  x.  ( x  +  y ) ) ) )
195188, 194mtbird 293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  -.  P  ||  ( ( 2  x.  x )  -  -u ( 2  x.  y ) ) )
196195pm2.21d 100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
( 2  x.  x
)  -  -u (
2  x.  y ) )  ->  ( 2  x.  y )  =  ( 2  x.  x
) ) )
197149, 196sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  x )  mod 
P )  =  (
-u ( 2  x.  y )  mod  P
)  ->  ( 2  x.  y )  =  ( 2  x.  x
) ) )
198146, 197sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( -u
1  x.  ( 2  x.  y ) )  mod  P )  =  ( ( 2  x.  x )  mod  P
)  ->  ( 2  x.  y )  =  ( 2  x.  x
) ) )
199 oveq1 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u 1 ^ ( R  +  S )
)  =  -u 1  ->  ( ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  x.  ( 2  x.  y
) )  =  (
-u 1  x.  (
2  x.  y ) ) )
200199oveq1d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u 1 ^ ( R  +  S )
)  =  -u 1  ->  ( ( ( -u
1 ^ ( R  +  S ) )  x.  ( 2  x.  y ) )  mod 
P )  =  ( ( -u 1  x.  ( 2  x.  y
) )  mod  P
) )
201200eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
-u 1 ^ ( R  +  S )
)  =  -u 1  ->  ( ( ( (
-u 1 ^ ( R  +  S )
)  x.  ( 2  x.  y ) )  mod  P )  =  ( ( 2  x.  x )  mod  P
)  <->  ( ( -u
1  x.  ( 2  x.  y ) )  mod  P )  =  ( ( 2  x.  x )  mod  P
) ) )
202201imbi1d 309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u 1 ^ ( R  +  S )
)  =  -u 1  ->  ( ( ( ( ( -u 1 ^ ( R  +  S
) )  x.  (
2  x.  y ) )  mod  P )  =  ( ( 2  x.  x )  mod 
P )  ->  (
2  x.  y )  =  ( 2  x.  x ) )  <->  ( (
( -u 1  x.  (
2  x.  y ) )  mod  P )  =  ( ( 2  x.  x )  mod 
P )  ->  (
2  x.  y )  =  ( 2  x.  x ) ) ) )
203198, 202syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  = 
-u 1  ->  (
( ( ( -u
1 ^ ( R  +  S ) )  x.  ( 2  x.  y ) )  mod 
P )  =  ( ( 2  x.  x
)  mod  P )  ->  ( 2  x.  y
)  =  ( 2  x.  x ) ) ) )
20492mulid2d 9099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 1  x.  (
2  x.  y ) )  =  ( 2  x.  y ) )
205204oveq1d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( 1  x.  ( 2  x.  y
) )  mod  P
)  =  ( ( 2  x.  y )  mod  P ) )
20632zred 10368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 2  x.  y
)  e.  RR )
207 2nn 10126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  NN
208 nnmulcl 10016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( 2  x.  y
)  e.  NN )
209207, 153, 208sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 2  x.  y
)  e.  NN )
210209nnnn0d 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 2  x.  y
)  e.  NN0 )
211210nn0ge0d 10270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
0  <_  ( 2  x.  y ) )
212 2re 10062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  RR
213212a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
2  e.  RR )
214 2pos 10075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  <  2
215214a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
0  <  2 )
216 lemuldiv2 9883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( P  -  1
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
2  x.  y )  <_  ( P  - 
1 )  <->  y  <_  ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
217156, 167, 213, 215, 216syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  y )  <_  ( P  -  1 )  <-> 
y  <_  ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
218163, 217mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 2  x.  y
)  <_  ( P  -  1 ) )
219 zltlem1 10321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( 2  x.  y
)  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  y )  <  P  <->  ( 2  x.  y )  <_  ( P  - 
1 ) ) )
22032, 105, 219syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  y )  <  P  <->  ( 2  x.  y )  <_  ( P  - 
1 ) ) )
221218, 220mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 2  x.  y
)  <  P )
222 modid 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( 2  x.  y )  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  (
2  x.  y )  /\  ( 2  x.  y )  <  P
) )  ->  (
( 2  x.  y
)  mod  P )  =  ( 2  x.  y ) )
223206, 65, 211, 221, 222syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  y )  mod  P
)  =  ( 2  x.  y ) )
224205, 223eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( 1  x.  ( 2  x.  y
) )  mod  P
)  =  ( 2  x.  y ) )
22549zred 10368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 2  x.  x
)  e.  RR )
226 nnmulcl 10016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  x  e.  NN )  ->  ( 2  x.  x
)  e.  NN )
227207, 151, 226sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 2  x.  x
)  e.  NN )
228227nnnn0d 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 2  x.  x
)  e.  NN0 )
229228nn0ge0d 10270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
0  <_  ( 2  x.  x ) )
230 lemuldiv2 9883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( P  -  1
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
2  x.  x )  <_  ( P  - 
1 )  <->  x  <_  ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
231155, 167, 213, 215, 230syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  x )  <_  ( P  -  1 )  <-> 
x  <_  ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
232161, 231mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 2  x.  x
)  <_  ( P  -  1 ) )
233 zltlem1 10321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 2  x.  x
)  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  x )  <  P  <->  ( 2  x.  x )  <_  ( P  - 
1 ) ) )
23449, 105, 233syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  x )  <  P  <->  ( 2  x.  x )  <_  ( P  - 
1 ) ) )
235232, 234mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 2  x.  x
)  <  P )
236 modid 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( 2  x.  x )  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  (
2  x.  x )  /\  ( 2  x.  x )  <  P
) )  ->  (
( 2  x.  x
)  mod  P )  =  ( 2  x.  x ) )
237225, 65, 229, 235, 236syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  x )  mod  P
)  =  ( 2  x.  x ) )
238224, 237eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( 1  x.  ( 2  x.  y ) )  mod 
P )  =  ( ( 2  x.  x
)  mod  P )  <->  ( 2  x.  y )  =  ( 2  x.  x ) ) )
239238biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( 1  x.  ( 2  x.  y ) )  mod 
P )  =  ( ( 2  x.  x
)  mod  P )  ->  ( 2  x.  y
)  =  ( 2  x.  x ) ) )
240 oveq1 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u 1 ^ ( R  +  S )
)  =  1  -> 
( ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  x.  ( 2  x.  y
) )  =  ( 1  x.  ( 2  x.  y ) ) )
241240oveq1d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u 1 ^ ( R  +  S )
)  =  1  -> 
( ( ( -u
1 ^ ( R  +  S ) )  x.  ( 2  x.  y ) )  mod 
P )  =  ( ( 1  x.  (
2  x.  y ) )  mod  P ) )
242241eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
-u 1 ^ ( R  +  S )
)  =  1  -> 
( ( ( (
-u 1 ^ ( R  +  S )
)  x.  ( 2  x.  y ) )  mod  P )  =  ( ( 2  x.  x )  mod  P
)  <->  ( ( 1  x.  ( 2  x.  y ) )  mod 
P )  =  ( ( 2  x.  x
)  mod  P )
) )
243242imbi1d 309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u 1 ^ ( R  +  S )
)  =  1  -> 
( ( ( ( ( -u 1 ^ ( R  +  S
) )  x.  (
2  x.  y ) )  mod  P )  =  ( ( 2  x.  x )  mod 
P )  ->  (
2  x.  y )  =  ( 2  x.  x ) )  <->  ( (
( 1  x.  (
2  x.  y ) )  mod  P )  =  ( ( 2  x.  x )  mod 
P )  ->  (
2  x.  y )  =  ( 2  x.  x ) ) ) )
244239, 243syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  =  1  ->  ( (
( ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  x.  ( 2  x.  y
) )  mod  P
)  =  ( ( 2  x.  x )  mod  P )  -> 
( 2  x.  y
)  =  ( 2  x.  x ) ) ) )
24552, 39nn0addcld 10271 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( R  +  S
)  e.  NN0 )
246245nn0zd 10366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( R  +  S
)  e.  ZZ )
247 m1expcl2 11396 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  +  S )  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  e.  { -u 1 ,  1 } )
248 elpri 3827 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u 1 ^ ( R  +  S )
)  e.  { -u
1 ,  1 }  ->  ( ( -u
1 ^ ( R  +  S ) )  =  -u 1  \/  ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  =  1 ) )
249246, 247, 2483syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  = 
-u 1  \/  ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  =  1 ) )
250203, 244, 249mpjaod 371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( (
-u 1 ^ ( R  +  S )
)  x.  ( 2  x.  y ) )  mod  P )  =  ( ( 2  x.  x )  mod  P
)  ->  ( 2  x.  y )  =  ( 2  x.  x
) ) )
251 1z 10304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  ZZ
252 znegcl 10306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -u 1  e.  ZZ )
253251, 252ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 1  e.  ZZ
254 zexpcl 11389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
-u 1  e.  ZZ  /\  ( R  +  S
)  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( R  +  S
) )  e.  ZZ )
255253, 245, 254sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( -u 1 ^ ( R  +  S )
)  e.  ZZ )
256255, 32zmulcld 10374 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  x.  ( 2  x.  y
) )  e.  ZZ )
257 moddvds 12852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  x.  ( 2  x.  y
) )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  x
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( -u 1 ^ ( R  +  S
) )  x.  (
2  x.  y ) )  mod  P )  =  ( ( 2  x.  x )  mod 
P )  <->  P  ||  (
( ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  x.  ( 2  x.  y
) )  -  (
2  x.  x ) ) ) )
25837, 256, 49, 257syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( (
-u 1 ^ ( R  +  S )
)  x.  ( 2  x.  y ) )  mod  P )  =  ( ( 2  x.  x )  mod  P
)  <->  P  ||  ( ( ( -u 1 ^ ( R  +  S
) )  x.  (
2  x.  y ) )  -  ( 2  x.  x ) ) ) )
259191, 190, 60, 62mulcand 9648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  y )  =  ( 2  x.  x )  <-> 
y  =  x ) )
260250, 258, 2593imtr3d 259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
( ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  x.  ( 2  x.  y
) )  -  (
2  x.  x ) )  ->  y  =  x ) )
261141, 260sylbid 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
( -u 1 ^ R
)  x.  ( ( ( -u 1 ^ S )  x.  (
2  x.  y ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )  ->  y  =  x ) )
262109, 111, 2613syld 53 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  ( Q  x.  ( (
( -u 1 ^ S
)  x.  ( 2  x.  y ) )  -  ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )  ->  y  =  x ) )
26399, 262sylbird 227 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
( ( -u 1 ^ S )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  y ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )  ->  y  =  x ) )
26484, 263sylbid 207 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( (
-u 1 ^ S
)  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  y ) ) )  mod  P )  =  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x
) ) )  mod 
P )  ->  y  =  x ) )
26580, 264sylbid 207 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( (
-u 1 ^ S
)  x.  S )  mod  P )  =  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  ->  y  =  x ) )
26664, 265sylbid 207 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( ( ( -u 1 ^ S )  x.  S
)  mod  P )  /  2 )  =  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 )  ->  y  =  x ) )
26723, 266sylbid 207 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( M `  y )  =  ( M `  x )  ->  y  =  x ) )
268267ralrimivva 2791 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) A. x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) ( ( M `  y )  =  ( M `  x )  ->  y  =  x ) )
269 nfmpt1 4291 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 ) )
2705, 269nfcxfr 2569 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x M
271 nfcv 2572 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
y
272270, 271nffv 5728 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( M `  y
)
273 nfcv 2572 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
z
274270, 273nffv 5728 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( M `  z
)
275272, 274nfeq 2579 . . . . . . 7  |-  F/ x
( M `  y
)  =  ( M `
 z )
276 nfv 1629 . . . . . . 7  |-  F/ x  y  =  z
277275, 276nfim 1832 . . . . . 6  |-  F/ x
( ( M `  y )  =  ( M `  z )  ->  y  =  z )
278 nfv 1629 . . . . . 6  |-  F/ z ( ( M `  y )  =  ( M `  x )  ->  y  =  x )
279 fveq2 5721 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  ( M `  z )  =  ( M `  x ) )
280279eqeq2d 2447 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
( M `  y
)  =  ( M `
 z )  <->  ( M `  y )  =  ( M `  x ) ) )
281 equequ2 1698 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
y  =  z  <->  y  =  x ) )
282280, 281imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( M `  y )  =  ( M `  z )  ->  y  =  z )  <->  ( ( M `
 y )  =  ( M `  x
)  ->  y  =  x ) ) )
283277, 278, 282cbvral 2921 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) ( ( M `  y
)  =  ( M `
 z )  -> 
y  =  z )  <->  A. x  e.  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) ( ( M `  y
)  =  ( M `
 x )  -> 
y  =  x ) )
284283ralbii 2722 . . . 4  |-  ( A. y  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) A. z  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) ( ( M `  y
)  =  ( M `
 z )  -> 
y  =  z )  <->  A. y  e.  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) A. x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) ( ( M `  y
)  =  ( M `
 x )  -> 
y  =  x ) )
285268, 284sylibr 204 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) A. z  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) ( ( M `  y )  =  ( M `  z )  ->  y  =  z ) )
286 dff13 5997 . . 3  |-  ( M : ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) -1-1-> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  <->  ( M : ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) --> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) A. z  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) ( ( M `  y
)  =  ( M `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
2876, 285, 286sylanbrc 646 . 2  |-  ( ph  ->  M : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
288 ovex 6099 . . . 4  |-  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  e. 
_V
289288enref 7133 . . 3  |-  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  ~~  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )
290 fzfi 11304 . . 3  |-  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  e. 
Fin
291 f1finf1o 7328 . . 3  |-  ( ( ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ~~  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  /\  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  Fin )  ->  ( M : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
-1-1-> ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  <->  M : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
292289, 290, 291mp2an 654 . 2  |-  ( M : ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) -1-1-> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  <->  M :
( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )
293287, 292sylib 189 1  |-  ( ph  ->  M : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2698   _Vcvv 2949    \ cdif 3310   {csn 3807   {cpr 3808   class class class wbr 4205    e. cmpt 4259   -->wf 5443   -1-1->wf1 5444   -1-1-onto->wf1o 5446   ` cfv 5447  (class class class)co 6074    ~~ cen 7099   Fincfn 7102   CCcc 8981   RRcr 8982   0cc0 8983   1c1 8984    + caddc 8986    x. cmul 8988    < clt 9113    <_ cle 9114    - cmin 9284   -ucneg 9285    / cdiv 9670   NNcn 9993   2c2 10042   NN0cn0 10214   ZZcz 10275   RR+crp 10605   ...cfz 11036    mod cmo 11243   ^cexp 11375    || cdivides 12845    gcd cgcd 12999   Primecprime 13072
This theorem is referenced by:  lgseisenlem3  21128
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060  ax-pre-sup 9061
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-2o 6718  df-oadd 6721  df-er 6898  df-map 7013  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-sup 7439  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-div 9671  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-rp 10606  df-fz 11037  df-fl 11195  df-mod 11244  df-seq 11317  df-exp 11376  df-cj 11897  df-re 11898  df-im 11899  df-sqr 12033  df-abs 12034  df-dvds 12846  df-gcd 13000  df-prm 13073
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