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Theorem lgseisenlem2 20605
Description: Lemma for lgseisen 20608. The function  M is an injection (and hence a bijection by the pigeonhole principle). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgseisen.2  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgseisen.3  |-  ( ph  ->  P  =/=  Q )
lgseisen.4  |-  R  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)
lgseisen.5  |-  M  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 ) )
lgseisen.6  |-  S  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  y
) )  mod  P
)
Assertion
Ref Expression
lgseisenlem2  |-  ( ph  ->  M : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, P    ph, x, y    y, M    x, Q, y    x, S
Allowed substitution hints:    R( x, y)    S( y)    M( x)

Proof of Theorem lgseisenlem2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgseisen.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
2 lgseisen.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
3 lgseisen.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  =/=  Q )
4 lgseisen.4 . . . 4  |-  R  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)
5 lgseisen.5 . . . 4  |-  M  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 ) )
61, 2, 3, 4, 5lgseisenlem1 20604 . . 3  |-  ( ph  ->  M : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) --> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
7 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  y ) )
87oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  =  ( Q  x.  ( 2  x.  y
) ) )
98oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( Q  x.  (
2  x.  x ) )  mod  P )  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  y ) )  mod 
P ) )
10 lgseisen.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  y
) )  mod  P
)
119, 4, 103eqtr4g 2353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  R  =  S )
1211oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( -u 1 ^ R )  =  ( -u 1 ^ S ) )
1312, 11oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( -u 1 ^ R
)  x.  R )  =  ( ( -u
1 ^ S )  x.  S ) )
1413oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  =  ( ( (
-u 1 ^ S
)  x.  S )  mod  P ) )
1514oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  /  2
)  =  ( ( ( ( -u 1 ^ S )  x.  S
)  mod  P )  /  2 ) )
16 ovex 5899 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( -u 1 ^ S )  x.  S
)  mod  P )  /  2 )  e. 
_V
1715, 5, 16fvmpt 5618 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  ( M `  y )  =  ( ( ( ( -u 1 ^ S )  x.  S
)  mod  P )  /  2 ) )
1817ad2antrl 708 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( M `  y
)  =  ( ( ( ( -u 1 ^ S )  x.  S
)  mod  P )  /  2 ) )
19 ovex 5899 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 )  e. 
_V
205fvmpt2 5624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  /\  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 )  e.  _V )  ->  ( M `  x )  =  ( ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  /  2
) )
2119, 20mpan2 652 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  ( M `  x )  =  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) )
2221ad2antll 709 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( M `  x
)  =  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) )
2318, 22eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( M `  y )  =  ( M `  x )  <-> 
( ( ( (
-u 1 ^ S
)  x.  S )  mod  P )  / 
2 )  =  ( ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  /  2
) ) )
242adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
25 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Q  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  Q  e.  Prime )
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  Q  e.  Prime )
27 prmz 12778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Q  e.  Prime  ->  Q  e.  ZZ )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  Q  e.  ZZ )
29 2z 10070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  ZZ
30 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  y  e.  ZZ )
3130ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
y  e.  ZZ )
32 zmulcl 10082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  y
)  e.  ZZ )
3329, 31, 32sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 2  x.  y
)  e.  ZZ )
3428, 33zmulcld 10139 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( Q  x.  (
2  x.  y ) )  e.  ZZ )
351adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
36 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  P  e.  Prime )
3735, 36syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  e.  Prime )
38 prmnn 12777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
3937, 38syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  e.  NN )
4034, 39zmodcld 11006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( Q  x.  ( 2  x.  y
) )  mod  P
)  e.  NN0 )
4110, 40syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  S  e.  NN0 )
4241nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  S  e.  ZZ )
43 m1expcl 11142 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ S )  e.  ZZ )
4442, 43syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( -u 1 ^ S
)  e.  ZZ )
4544, 42zmulcld 10139 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ S )  x.  S
)  e.  ZZ )
4645, 39zmodcld 11006 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( -u
1 ^ S )  x.  S )  mod 
P )  e.  NN0 )
4746nn0cnd 10036 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( -u
1 ^ S )  x.  S )  mod 
P )  e.  CC )
48 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  x  e.  ZZ )
4948ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
50 zmulcl 10082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  x
)  e.  ZZ )
5129, 49, 50sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 2  x.  x
)  e.  ZZ )
5228, 51zmulcld 10139 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( Q  x.  (
2  x.  x ) )  e.  ZZ )
5352, 39zmodcld 11006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( Q  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)  e.  NN0 )
544, 53syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  R  e.  NN0 )
5554nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  R  e.  ZZ )
56 m1expcl 11142 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ R )  e.  ZZ )
5755, 56syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( -u 1 ^ R
)  e.  ZZ )
5857, 55zmulcld 10139 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  e.  ZZ )
5958, 39zmodcld 11006 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  e.  NN0 )
6059nn0cnd 10036 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  e.  CC )
61 2cn 9832 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
6261a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
2  e.  CC )
63 2ne0 9845 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
6463a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
2  =/=  0 )
65 div11 9466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( -u
1 ^ S )  x.  S )  mod 
P )  e.  CC  /\  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( (
( ( ( -u
1 ^ S )  x.  S )  mod 
P )  /  2
)  =  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 )  <->  ( (
( -u 1 ^ S
)  x.  S )  mod  P )  =  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P ) ) )
6647, 60, 62, 64, 65syl112anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( ( ( -u 1 ^ S )  x.  S
)  mod  P )  /  2 )  =  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 )  <->  ( (
( -u 1 ^ S
)  x.  S )  mod  P )  =  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P ) ) )
6739nnrpd 10405 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  e.  RR+ )
68 eqidd 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ S )  mod  P
)  =  ( (
-u 1 ^ S
)  mod  P )
)
6910oveq1i 5884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  mod  P )  =  ( ( ( Q  x.  ( 2  x.  y ) )  mod 
P )  mod  P
)
7034zred 10133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( Q  x.  (
2  x.  y ) )  e.  RR )
71 modabs2 11014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Q  x.  (
2  x.  y ) )  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  -> 
( ( ( Q  x.  ( 2  x.  y ) )  mod 
P )  mod  P
)  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  y ) )  mod  P ) )
7270, 67, 71syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( Q  x.  ( 2  x.  y ) )  mod 
P )  mod  P
)  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  y ) )  mod  P ) )
7369, 72syl5eq 2340 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( S  mod  P
)  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  y ) )  mod  P ) )
7444, 44, 42, 34, 67, 68, 73modmul12d 11019 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( -u
1 ^ S )  x.  S )  mod 
P )  =  ( ( ( -u 1 ^ S )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  y ) ) )  mod  P ) )
75 eqidd 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ R )  mod  P
)  =  ( (
-u 1 ^ R
)  mod  P )
)
764oveq1i 5884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  mod  P )  =  ( ( ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  mod 
P )  mod  P
)
7752zred 10133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( Q  x.  (
2  x.  x ) )  e.  RR )
78 modabs2 11014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Q  x.  (
2  x.  x ) )  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  -> 
( ( ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  mod 
P )  mod  P
)  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  mod  P ) )
7977, 67, 78syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  mod 
P )  mod  P
)  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  mod  P ) )
8076, 79syl5eq 2340 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( R  mod  P
)  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  mod  P ) )
8157, 57, 55, 52, 67, 75, 80modmul12d 11019 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  =  ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) ) )  mod  P ) )
8274, 81eqeq12d 2310 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( (
-u 1 ^ S
)  x.  S )  mod  P )  =  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  <->  ( (
( -u 1 ^ S
)  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  y ) ) )  mod  P )  =  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x
) ) )  mod 
P ) ) )
8344, 34zmulcld 10139 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ S )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  y ) ) )  e.  ZZ )
8457, 52zmulcld 10139 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ R )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) ) )  e.  ZZ )
85 moddvds 12554 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( ( -u 1 ^ S )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  y ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( -u 1 ^ R )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( -u 1 ^ S )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  y ) ) )  mod  P )  =  ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) ) )  mod  P )  <->  P  ||  (
( ( -u 1 ^ S )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  y ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) ) )
8639, 83, 84, 85syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( (
-u 1 ^ S
)  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  y ) ) )  mod  P )  =  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x
) ) )  mod 
P )  <->  P  ||  (
( ( -u 1 ^ S )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  y ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) ) )
8728zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  Q  e.  CC )
8844, 33zmulcld 10139 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ S )  x.  (
2  x.  y ) )  e.  ZZ )
8988zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ S )  x.  (
2  x.  y ) )  e.  CC )
9057, 51zmulcld 10139 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ R )  x.  (
2  x.  x ) )  e.  ZZ )
9190zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ R )  x.  (
2  x.  x ) )  e.  CC )
9287, 89, 91subdid 9251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( Q  x.  (
( ( -u 1 ^ S )  x.  (
2  x.  y ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( Q  x.  (
( -u 1 ^ S
)  x.  ( 2  x.  y ) ) )  -  ( Q  x.  ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
9344zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( -u 1 ^ S
)  e.  CC )
9433zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 2  x.  y
)  e.  CC )
9587, 93, 94mul12d 9037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( Q  x.  (
( -u 1 ^ S
)  x.  ( 2  x.  y ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ S
)  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  y ) ) ) )
9657zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( -u 1 ^ R
)  e.  CC )
9751zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 2  x.  x
)  e.  CC )
9887, 96, 97mul12d 9037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( Q  x.  (
( -u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )
9995, 98oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( Q  x.  ( ( -u 1 ^ S )  x.  (
2  x.  y ) ) )  -  ( Q  x.  ( ( -u 1 ^ R )  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ S )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  y ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
10092, 99eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( Q  x.  (
( ( -u 1 ^ S )  x.  (
2  x.  y ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ S )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  y ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
101100breq2d 4051 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  ( Q  x.  ( (
( -u 1 ^ S
)  x.  ( 2  x.  y ) )  -  ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )  <->  P  ||  ( ( ( -u 1 ^ S )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  y ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) ) )
1023adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
103 prmrp 12796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  (
( P  gcd  Q
)  =  1  <->  P  =/=  Q ) )
10437, 26, 103syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( P  gcd  Q )  =  1  <->  P  =/=  Q ) )
105102, 104mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  gcd  Q
)  =  1 )
106 prmz 12778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
10737, 106syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  e.  ZZ )
10888, 90zsubcld 10138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( -u
1 ^ S )  x.  ( 2  x.  y ) )  -  ( ( -u 1 ^ R )  x.  (
2  x.  x ) ) )  e.  ZZ )
109 coprmdvds 12797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ  /\  (
( ( -u 1 ^ S )  x.  (
2  x.  y ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( P 
||  ( Q  x.  ( ( ( -u
1 ^ S )  x.  ( 2  x.  y ) )  -  ( ( -u 1 ^ R )  x.  (
2  x.  x ) ) ) )  /\  ( P  gcd  Q )  =  1 )  ->  P  ||  ( ( (
-u 1 ^ S
)  x.  ( 2  x.  y ) )  -  ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
110107, 28, 108, 109syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( P  ||  ( Q  x.  (
( ( -u 1 ^ S )  x.  (
2  x.  y ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )  /\  ( P  gcd  Q )  =  1 )  ->  P  ||  ( ( ( -u
1 ^ S )  x.  ( 2  x.  y ) )  -  ( ( -u 1 ^ R )  x.  (
2  x.  x ) ) ) ) )
111105, 110mpan2d 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  ( Q  x.  ( (
( -u 1 ^ S
)  x.  ( 2  x.  y ) )  -  ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )  ->  P  ||  (
( ( -u 1 ^ S )  x.  (
2  x.  y ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
112 dvdsmultr2 12580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( -u 1 ^ R
)  e.  ZZ  /\  ( ( ( -u
1 ^ S )  x.  ( 2  x.  y ) )  -  ( ( -u 1 ^ R )  x.  (
2  x.  x ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( ( ( -u
1 ^ S )  x.  ( 2  x.  y ) )  -  ( ( -u 1 ^ R )  x.  (
2  x.  x ) ) )  ->  P  ||  ( ( -u 1 ^ R )  x.  (
( ( -u 1 ^ S )  x.  (
2  x.  y ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) ) )
113107, 57, 108, 112syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
( ( -u 1 ^ S )  x.  (
2  x.  y ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) )  ->  P  ||  (
( -u 1 ^ R
)  x.  ( ( ( -u 1 ^ S )  x.  (
2  x.  y ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) ) )
11496, 89, 91subdid 9251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ R )  x.  (
( ( -u 1 ^ S )  x.  (
2  x.  y ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  (
( -u 1 ^ S
)  x.  ( 2  x.  y ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
115 neg1cn 9829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u 1  e.  CC
116115a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  -u 1  e.  CC )
117116, 41, 54expaddd 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( -u 1 ^ ( R  +  S )
)  =  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( -u
1 ^ S ) ) )
118117oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  x.  ( 2  x.  y
) )  =  ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  ( -u 1 ^ S ) )  x.  ( 2  x.  y ) ) )
11996, 93, 94mulassd 8874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( -u 1 ^ S ) )  x.  ( 2  x.  y
) )  =  ( ( -u 1 ^ R )  x.  (
( -u 1 ^ S
)  x.  ( 2  x.  y ) ) ) )
120118, 119eqtr2d 2329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ R )  x.  (
( -u 1 ^ S
)  x.  ( 2  x.  y ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ ( R  +  S )
)  x.  ( 2  x.  y ) ) )
121 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  CC
122 ax-1ne0 8822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  =/=  0
123 divneg2 9500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  =/=  0 )  ->  -u (
1  /  1 )  =  ( 1  /  -u 1 ) )
124121, 121, 122, 123mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  -u (
1  /  1 )  =  ( 1  /  -u 1 )
125121div1i 9504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  /  1 )  =  1
126125negeqi 9061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  -u (
1  /  1 )  =  -u 1
127124, 126eqtr3i 2318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  /  -u 1 )  = 
-u 1
128127oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  /  -u 1
) ^ R )  =  ( -u 1 ^ R )
129121, 122negne0i 9137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  -u 1  =/=  0
130129a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  -u 1  =/=  0 )
131116, 130, 55exprecd 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( 1  /  -u 1 ) ^ R
)  =  ( 1  /  ( -u 1 ^ R ) ) )
132128, 131syl5eqr 2342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( -u 1 ^ R
)  =  ( 1  /  ( -u 1 ^ R ) ) )
133132oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ R )  x.  ( -u 1 ^ R ) )  =  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( 1  /  ( -u 1 ^ R ) ) ) )
134116, 130, 55expne0d 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( -u 1 ^ R
)  =/=  0 )
13596, 134recidd 9547 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ R )  x.  (
1  /  ( -u
1 ^ R ) ) )  =  1 )
136133, 135eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ R )  x.  ( -u 1 ^ R ) )  =  1 )
137136oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( -u 1 ^ R ) )  x.  ( 2  x.  x
) )  =  ( 1  x.  ( 2  x.  x ) ) )
13896, 96, 97mulassd 8874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( -u 1 ^ R ) )  x.  ( 2  x.  x
) )  =  ( ( -u 1 ^ R )  x.  (
( -u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )
13997mulid2d 8869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 1  x.  (
2  x.  x ) )  =  ( 2  x.  x ) )
140137, 138, 1393eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ R )  x.  (
( -u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) )  =  ( 2  x.  x ) )
141120, 140oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( ( -u
1 ^ S )  x.  ( 2  x.  y ) ) )  -  ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( R  +  S
) )  x.  (
2  x.  y ) )  -  ( 2  x.  x ) ) )
142114, 141eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ R )  x.  (
( ( -u 1 ^ S )  x.  (
2  x.  y ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  x.  ( 2  x.  y
) )  -  (
2  x.  x ) ) )
143142breq2d 4051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
( -u 1 ^ R
)  x.  ( ( ( -u 1 ^ S )  x.  (
2  x.  y ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )  <->  P  ||  (
( ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  x.  ( 2  x.  y
) )  -  (
2  x.  x ) ) ) )
144 eqcom 2298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( -u 1  x.  ( 2  x.  y
) )  mod  P
)  =  ( ( 2  x.  x )  mod  P )  <->  ( (
2  x.  x )  mod  P )  =  ( ( -u 1  x.  ( 2  x.  y
) )  mod  P
) )
14594mulm1d 9247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( -u 1  x.  (
2  x.  y ) )  =  -u (
2  x.  y ) )
146145oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1  x.  ( 2  x.  y
) )  mod  P
)  =  ( -u ( 2  x.  y
)  mod  P )
)
147146eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  x )  mod 
P )  =  ( ( -u 1  x.  ( 2  x.  y
) )  mod  P
)  <->  ( ( 2  x.  x )  mod 
P )  =  (
-u ( 2  x.  y )  mod  P
) ) )
148144, 147syl5bb 248 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( -u
1  x.  ( 2  x.  y ) )  mod  P )  =  ( ( 2  x.  x )  mod  P
)  <->  ( ( 2  x.  x )  mod 
P )  =  (
-u ( 2  x.  y )  mod  P
) ) )
14933znegcld 10135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  -u ( 2  x.  y
)  e.  ZZ )
150 moddvds 12554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( 2  x.  x
)  e.  ZZ  /\  -u ( 2  x.  y
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  mod  P )  =  ( -u ( 2  x.  y )  mod 
P )  <->  P  ||  (
( 2  x.  x
)  -  -u (
2  x.  y ) ) ) )
15139, 51, 149, 150syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  x )  mod 
P )  =  (
-u ( 2  x.  y )  mod  P
)  <->  P  ||  ( ( 2  x.  x )  -  -u ( 2  x.  y ) ) ) )
152 elfznn 10835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  x  e.  NN )
153152ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  x  e.  NN )
154 elfznn 10835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  y  e.  NN )
155154ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
y  e.  NN )
156153, 155nnaddcld 9808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  +  y )  e.  NN )
157153nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
15831zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
y  e.  RR )
159 oddprm 12884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
16035, 159syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
161160nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  RR )
162 elfzle2 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  x  <_  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )
163162ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  x  <_  ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )
164 elfzle2 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  y  <_  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )
165164ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
y  <_  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
166157, 158, 161, 161, 163, 165le2addd 9406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  +  y )  <_  ( (
( P  -  1 )  /  2 )  +  ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )
16739nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  e.  RR )
168 peano2rem 9129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( P  e.  RR  ->  ( P  -  1 )  e.  RR )
169167, 168syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  -  1 )  e.  RR )
170169recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  -  1 )  e.  CC )
1711702halvesd 9973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  +  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  =  ( P  -  1 ) )
172166, 171breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  +  y )  <_  ( P  -  1 ) )
173 peano2zm 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( P  e.  ZZ  ->  ( P  -  1 )  e.  ZZ )
174107, 173syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  -  1 )  e.  ZZ )
175 fznn 10868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
( x  +  y )  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  <->  ( (
x  +  y )  e.  NN  /\  (
x  +  y )  <_  ( P  - 
1 ) ) ) )
176174, 175syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( x  +  y )  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  <-> 
( ( x  +  y )  e.  NN  /\  ( x  +  y )  <_  ( P  -  1 ) ) ) )
177156, 172, 176mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  +  y )  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) ) )
178 fzm1ndvds 12596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( x  +  y
)  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) ) )  ->  -.  P  ||  (
x  +  y ) )
17939, 177, 178syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  -.  P  ||  ( x  +  y ) )
180 eldifsni 3763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  P  =/=  2 )
18135, 180syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  =/=  2 )
182 2prm 12790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  Prime
183 prmrp 12796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  2  e.  Prime )  ->  (
( P  gcd  2
)  =  1  <->  P  =/=  2 ) )
18437, 182, 183sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( P  gcd  2 )  =  1  <-> 
P  =/=  2 ) )
185181, 184mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  gcd  2
)  =  1 )
18629a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
2  e.  ZZ )
187156nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  +  y )  e.  ZZ )
188 coprmdvds 12797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  (
x  +  y )  e.  ZZ )  -> 
( ( P  ||  ( 2  x.  (
x  +  y ) )  /\  ( P  gcd  2 )  =  1 )  ->  P  ||  ( x  +  y ) ) )
189107, 186, 187, 188syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( P  ||  ( 2  x.  (
x  +  y ) )  /\  ( P  gcd  2 )  =  1 )  ->  P  ||  ( x  +  y ) ) )
190185, 189mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
2  x.  ( x  +  y ) )  ->  P  ||  (
x  +  y ) ) )
191179, 190mtod 168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  -.  P  ||  ( 2  x.  ( x  +  y ) ) )
19297, 94subnegd 9180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  x )  -  -u (
2  x.  y ) )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  y ) ) )
19349zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  x  e.  CC )
19431zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
y  e.  CC )
19562, 193, 194adddid 8875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 2  x.  (
x  +  y ) )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  y ) ) )
196192, 195eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  x )  -  -u (
2  x.  y ) )  =  ( 2  x.  ( x  +  y ) ) )
197196breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
( 2  x.  x
)  -  -u (
2  x.  y ) )  <->  P  ||  ( 2  x.  ( x  +  y ) ) ) )
198191, 197mtbird 292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  -.  P  ||  ( ( 2  x.  x )  -  -u ( 2  x.  y ) ) )
199198pm2.21d 98 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
( 2  x.  x
)  -  -u (
2  x.  y ) )  ->  ( 2  x.  y )  =  ( 2  x.  x
) ) )
200151, 199sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  x )  mod 
P )  =  (
-u ( 2  x.  y )  mod  P
)  ->  ( 2  x.  y )  =  ( 2  x.  x
) ) )
201148, 200sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( -u
1  x.  ( 2  x.  y ) )  mod  P )  =  ( ( 2  x.  x )  mod  P
)  ->  ( 2  x.  y )  =  ( 2  x.  x
) ) )
202 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u 1 ^ ( R  +  S )
)  =  -u 1  ->  ( ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  x.  ( 2  x.  y
) )  =  (
-u 1  x.  (
2  x.  y ) ) )
203202oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u 1 ^ ( R  +  S )
)  =  -u 1  ->  ( ( ( -u
1 ^ ( R  +  S ) )  x.  ( 2  x.  y ) )  mod 
P )  =  ( ( -u 1  x.  ( 2  x.  y
) )  mod  P
) )
204203eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
-u 1 ^ ( R  +  S )
)  =  -u 1  ->  ( ( ( (
-u 1 ^ ( R  +  S )
)  x.  ( 2  x.  y ) )  mod  P )  =  ( ( 2  x.  x )  mod  P
)  <->  ( ( -u
1  x.  ( 2  x.  y ) )  mod  P )  =  ( ( 2  x.  x )  mod  P
) ) )
205204imbi1d 308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u 1 ^ ( R  +  S )
)  =  -u 1  ->  ( ( ( ( ( -u 1 ^ ( R  +  S
) )  x.  (
2  x.  y ) )  mod  P )  =  ( ( 2  x.  x )  mod 
P )  ->  (
2  x.  y )  =  ( 2  x.  x ) )  <->  ( (
( -u 1  x.  (
2  x.  y ) )  mod  P )  =  ( ( 2  x.  x )  mod 
P )  ->  (
2  x.  y )  =  ( 2  x.  x ) ) ) )
206201, 205syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  = 
-u 1  ->  (
( ( ( -u
1 ^ ( R  +  S ) )  x.  ( 2  x.  y ) )  mod 
P )  =  ( ( 2  x.  x
)  mod  P )  ->  ( 2  x.  y
)  =  ( 2  x.  x ) ) ) )
20794mulid2d 8869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 1  x.  (
2  x.  y ) )  =  ( 2  x.  y ) )
208207oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( 1  x.  ( 2  x.  y
) )  mod  P
)  =  ( ( 2  x.  y )  mod  P ) )
20933zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 2  x.  y
)  e.  RR )
210 2nn 9893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  NN
211 nnmulcl 9785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( 2  x.  y
)  e.  NN )
212210, 155, 211sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 2  x.  y
)  e.  NN )
213212nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 2  x.  y
)  e.  NN0 )
214213nn0ge0d 10037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
0  <_  ( 2  x.  y ) )
215 2re 9831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  RR
216215a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
2  e.  RR )
217 2pos 9844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  <  2
218217a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
0  <  2 )
219 lemuldiv2 9652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( P  -  1
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
2  x.  y )  <_  ( P  - 
1 )  <->  y  <_  ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
220158, 169, 216, 218, 219syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  y )  <_  ( P  -  1 )  <-> 
y  <_  ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
221165, 220mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 2  x.  y
)  <_  ( P  -  1 ) )
222 zltlem1 10086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( 2  x.  y
)  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  y )  <  P  <->  ( 2  x.  y )  <_  ( P  - 
1 ) ) )
22333, 107, 222syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  y )  <  P  <->  ( 2  x.  y )  <_  ( P  - 
1 ) ) )
224221, 223mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 2  x.  y
)  <  P )
225 modid 11009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( 2  x.  y )  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  (
2  x.  y )  /\  ( 2  x.  y )  <  P
) )  ->  (
( 2  x.  y
)  mod  P )  =  ( 2  x.  y ) )
226209, 67, 214, 224, 225syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  y )  mod  P
)  =  ( 2  x.  y ) )
227208, 226eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( 1  x.  ( 2  x.  y
) )  mod  P
)  =  ( 2  x.  y ) )
22851zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 2  x.  x
)  e.  RR )
229 nnmulcl 9785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  x  e.  NN )  ->  ( 2  x.  x
)  e.  NN )
230210, 153, 229sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 2  x.  x
)  e.  NN )
231230nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 2  x.  x
)  e.  NN0 )
232231nn0ge0d 10037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
0  <_  ( 2  x.  x ) )
233 lemuldiv2 9652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( P  -  1
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
2  x.  x )  <_  ( P  - 
1 )  <->  x  <_  ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
234157, 169, 216, 218, 233syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  x )  <_  ( P  -  1 )  <-> 
x  <_  ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
235163, 234mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 2  x.  x
)  <_  ( P  -  1 ) )
236 zltlem1 10086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 2  x.  x
)  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  x )  <  P  <->  ( 2  x.  x )  <_  ( P  - 
1 ) ) )
23751, 107, 236syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  x )  <  P  <->  ( 2  x.  x )  <_  ( P  - 
1 ) ) )
238235, 237mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( 2  x.  x
)  <  P )
239 modid 11009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( 2  x.  x )  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  (
2  x.  x )  /\  ( 2  x.  x )  <  P
) )  ->  (
( 2  x.  x
)  mod  P )  =  ( 2  x.  x ) )
240228, 67, 232, 238, 239syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  x )  mod  P
)  =  ( 2  x.  x ) )
241227, 240eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( 1  x.  ( 2  x.  y ) )  mod 
P )  =  ( ( 2  x.  x
)  mod  P )  <->  ( 2  x.  y )  =  ( 2  x.  x ) ) )
242241biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( 1  x.  ( 2  x.  y ) )  mod 
P )  =  ( ( 2  x.  x
)  mod  P )  ->  ( 2  x.  y
)  =  ( 2  x.  x ) ) )
243 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u 1 ^ ( R  +  S )
)  =  1  -> 
( ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  x.  ( 2  x.  y
) )  =  ( 1  x.  ( 2  x.  y ) ) )
244243oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u 1 ^ ( R  +  S )
)  =  1  -> 
( ( ( -u
1 ^ ( R  +  S ) )  x.  ( 2  x.  y ) )  mod 
P )  =  ( ( 1  x.  (
2  x.  y ) )  mod  P ) )
245244eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
-u 1 ^ ( R  +  S )
)  =  1  -> 
( ( ( (
-u 1 ^ ( R  +  S )
)  x.  ( 2  x.  y ) )  mod  P )  =  ( ( 2  x.  x )  mod  P
)  <->  ( ( 1  x.  ( 2  x.  y ) )  mod 
P )  =  ( ( 2  x.  x
)  mod  P )
) )
246245imbi1d 308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u 1 ^ ( R  +  S )
)  =  1  -> 
( ( ( ( ( -u 1 ^ ( R  +  S
) )  x.  (
2  x.  y ) )  mod  P )  =  ( ( 2  x.  x )  mod 
P )  ->  (
2  x.  y )  =  ( 2  x.  x ) )  <->  ( (
( 1  x.  (
2  x.  y ) )  mod  P )  =  ( ( 2  x.  x )  mod 
P )  ->  (
2  x.  y )  =  ( 2  x.  x ) ) ) )
247242, 246syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  =  1  ->  ( (
( ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  x.  ( 2  x.  y
) )  mod  P
)  =  ( ( 2  x.  x )  mod  P )  -> 
( 2  x.  y
)  =  ( 2  x.  x ) ) ) )
24854, 41nn0addcld 10038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( R  +  S
)  e.  NN0 )
249248nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( R  +  S
)  e.  ZZ )
250 m1expcl2 11141 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  +  S )  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  e.  { -u 1 ,  1 } )
251249, 250syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( -u 1 ^ ( R  +  S )
)  e.  { -u
1 ,  1 } )
252 elpri 3673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u 1 ^ ( R  +  S )
)  e.  { -u
1 ,  1 }  ->  ( ( -u
1 ^ ( R  +  S ) )  =  -u 1  \/  ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  =  1 ) )
253251, 252syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  = 
-u 1  \/  ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  =  1 ) )
254206, 247, 253mpjaod 370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( (
-u 1 ^ ( R  +  S )
)  x.  ( 2  x.  y ) )  mod  P )  =  ( ( 2  x.  x )  mod  P
)  ->  ( 2  x.  y )  =  ( 2  x.  x
) ) )
255 1z 10069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  ZZ
256 znegcl 10071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -u 1  e.  ZZ )
257255, 256ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 1  e.  ZZ
258 zexpcl 11134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
-u 1  e.  ZZ  /\  ( R  +  S
)  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( R  +  S
) )  e.  ZZ )
259257, 248, 258sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( -u 1 ^ ( R  +  S )
)  e.  ZZ )
260259, 33zmulcld 10139 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  x.  ( 2  x.  y
) )  e.  ZZ )
261 moddvds 12554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  x.  ( 2  x.  y
) )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  x
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( -u 1 ^ ( R  +  S
) )  x.  (
2  x.  y ) )  mod  P )  =  ( ( 2  x.  x )  mod 
P )  <->  P  ||  (
( ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  x.  ( 2  x.  y
) )  -  (
2  x.  x ) ) ) )
26239, 260, 51, 261syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( (
-u 1 ^ ( R  +  S )
)  x.  ( 2  x.  y ) )  mod  P )  =  ( ( 2  x.  x )  mod  P
)  <->  P  ||  ( ( ( -u 1 ^ ( R  +  S
) )  x.  (
2  x.  y ) )  -  ( 2  x.  x ) ) ) )
263194, 193, 62, 64mulcand 9417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  y )  =  ( 2  x.  x )  <-> 
y  =  x ) )
264254, 262, 2633imtr3d 258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
( ( -u 1 ^ ( R  +  S ) )  x.  ( 2  x.  y
) )  -  (
2  x.  x ) )  ->  y  =  x ) )
265143, 264sylbid 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
( -u 1 ^ R
)  x.  ( ( ( -u 1 ^ S )  x.  (
2  x.  y ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )  ->  y  =  x ) )
266111, 113, 2653syld 51 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  ( Q  x.  ( (
( -u 1 ^ S
)  x.  ( 2  x.  y ) )  -  ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )  ->  y  =  x ) )
267101, 266sylbird 226 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
( ( -u 1 ^ S )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  y ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )  ->  y  =  x ) )
26886, 267sylbid 206 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( (
-u 1 ^ S
)  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  y ) ) )  mod  P )  =  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x
) ) )  mod 
P )  ->  y  =  x ) )
26982, 268sylbid 206 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( (
-u 1 ^ S
)  x.  S )  mod  P )  =  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  ->  y  =  x ) )
27066, 269sylbid 206 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( ( ( -u 1 ^ S )  x.  S
)  mod  P )  /  2 )  =  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 )  ->  y  =  x ) )
27123, 270sylbid 206 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( M `  y )  =  ( M `  x )  ->  y  =  x ) )
272271ralrimivva 2648 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) A. x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) ( ( M `  y )  =  ( M `  x )  ->  y  =  x ) )
273 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 ) )
2745, 273nfcxfr 2429 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x M
275 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
y
276274, 275nffv 5548 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( M `  y
)
277 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
z
278274, 277nffv 5548 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( M `  z
)
279276, 278nfeq 2439 . . . . . . 7  |-  F/ x
( M `  y
)  =  ( M `
 z )
280 nfv 1609 . . . . . . 7  |-  F/ x  y  =  z
281279, 280nfim 1781 . . . . . 6  |-  F/ x
( ( M `  y )  =  ( M `  z )  ->  y  =  z )
282 nfv 1609 . . . . . 6  |-  F/ z ( ( M `  y )  =  ( M `  x )  ->  y  =  x )
283 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  ( M `  z )  =  ( M `  x ) )
284283eqeq2d 2307 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
( M `  y
)  =  ( M `
 z )  <->  ( M `  y )  =  ( M `  x ) ) )
285 equequ2 1669 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
y  =  z  <->  y  =  x ) )
286284, 285imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( M `  y )  =  ( M `  z )  ->  y  =  z )  <->  ( ( M `
 y )  =  ( M `  x
)  ->  y  =  x ) ) )
287281, 282, 286cbvral 2773 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) ( ( M `  y
)  =  ( M `
 z )  -> 
y  =  z )  <->  A. x  e.  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) ( ( M `  y
)  =  ( M `
 x )  -> 
y  =  x ) )
288287ralbii 2580 . . . 4  |-  ( A. y  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) A. z  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) ( ( M `  y
)  =  ( M `
 z )  -> 
y  =  z )  <->  A. y  e.  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) A. x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) ( ( M `  y
)  =  ( M `
 x )  -> 
y  =  x ) )
289272, 288sylibr 203 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) A. z  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) ( ( M `  y )  =  ( M `  z )  ->  y  =  z ) )
290 dff13 5799 . . 3  |-  ( M : ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) -1-1-> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  <->  ( M : ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) --> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) A. z  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) ( ( M `  y
)  =  ( M `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
2916, 289, 290sylanbrc 645 . 2  |-  ( ph  ->  M : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
292 ovex 5899 . . . 4  |-  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  e. 
_V
293292enref 6910 . . 3  |-  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  ~~  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )
294 fzfi 11050 . . 3  |-  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  e. 
Fin
295 f1finf1o 7102 . . 3  |-  ( ( ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ~~  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  /\  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  Fin )  ->  ( M : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
-1-1-> ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  <->  M : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
296293, 294, 295mp2an 653 . 2  |-  ( M : ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) -1-1-> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  <->  M :
( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )
297291, 296sylib 188 1  |-  ( ph  ->  M : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801    \ cdif 3162   {csn 3653   {cpr 3654   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ~~ cen 6876   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   RR+crp 10370   ...cfz 10798    mod cmo 10989   ^cexp 11120    || cdivides 12547    gcd cgcd 12701   Primecprime 12774
This theorem is referenced by:  lgseisenlem3  20606
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775
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