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Theorem lgseisenlem3 21135
Description: Lemma for lgseisen 21137. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgseisen.2  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgseisen.3  |-  ( ph  ->  P  =/=  Q )
lgseisen.4  |-  R  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)
lgseisen.5  |-  M  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 ) )
lgseisen.6  |-  S  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  y
) )  mod  P
)
lgseisen.7  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
lgseisen.8  |-  G  =  (mulGrp `  Y )
lgseisen.9  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
Assertion
Ref Expression
lgseisenlem3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) )  =  ( 1r `  Y
) )
Distinct variable groups:    x, G    x, L    x, y, P    ph, x, y    y, M   
x, Q, y    x, Y    x, S
Allowed substitution hints:    R( x, y)    S( y)    G( y)    L( y)    M( x)    Y( y)

Proof of Theorem lgseisenlem3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  x ) )
21fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  ( L `  ( 2  x.  k ) )  =  ( L `  (
2  x.  x ) ) )
32cbvmptv 4300 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  k ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  x
) ) )
43oveq2i 6092 . . . . . 6  |-  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  k ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) )
5 lgseisen.8 . . . . . . . 8  |-  G  =  (mulGrp `  Y )
6 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
75, 6mgpbas 15654 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  G )
8 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
9 lgseisen.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
109eldifad 3332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
11 lgseisen.7 . . . . . . . . . . 11  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
1211znfld 16841 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)
1310, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e. Field )
14 isfld 15844 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e. Field 
<->  ( Y  e.  DivRing  /\  Y  e.  CRing ) )
1514simprbi 451 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e. Field  ->  Y  e.  CRing )
1613, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  CRing )
175crngmgp 15672 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  CRing  ->  G  e. CMnd )
1816, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
19 fzfid 11312 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  Fin )
20 crngrng 15674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
2116, 20syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
22 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  (flds  ZZ )  =  (flds  ZZ )
23 lgseisen.9 . . . . . . . . . . . 12  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
2422, 23zrhrhm 16793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  Ring  ->  L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y ) )
2521, 24syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y ) )
26 zsubrg 16752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
2722subrgbas 15877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) ) )
2826, 27ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) )
2928, 6rhmf 15827 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y )
)
3025, 29syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y ) )
31 2z 10312 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
32 elfzelz 11059 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  k  e.  ZZ )
33 zmulcl 10324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  k
)  e.  ZZ )
3431, 32, 33sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  (
2  x.  k )  e.  ZZ )
35 ffvelrn 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L : ZZ --> ( Base `  Y )  /\  (
2  x.  k )  e.  ZZ )  -> 
( L `  (
2  x.  k ) )  e.  ( Base `  Y ) )
3630, 34, 35syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( 2  x.  k ) )  e.  ( Base `  Y
) )
37 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  k ) ) )  =  ( k  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  k
) ) )
3836, 37fmptd 5893 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  k ) ) ) : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) --> ( Base `  Y
) )
3937mptpreima 5363 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  k ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  G ) } ) )  =  {
k  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |  ( L `  (
2  x.  k ) )  e.  ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) }
40 ssrab2 3428 . . . . . . . . 9  |-  { k  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |  ( L `  ( 2  x.  k ) )  e.  ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) }  C_  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )
4139, 40eqsstri 3378 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  k ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )
42 ssfi 7329 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  Fin  /\  ( `' ( k  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  k
) ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) ) 
C_  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )  -> 
( `' ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  k ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  e.  Fin )
4319, 41, 42sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  k ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  e.  Fin )
44 lgseisen.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
45 lgseisen.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  =/=  Q )
46 lgseisen.4 . . . . . . . 8  |-  R  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)
47 lgseisen.5 . . . . . . . 8  |-  M  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 ) )
48 lgseisen.6 . . . . . . . 8  |-  S  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  y
) )  mod  P
)
499, 44, 45, 46, 47, 48lgseisenlem2 21134 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )
507, 8, 18, 19, 38, 43, 49gsumf1o 15522 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  k ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( k  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  k
) ) )  o.  M ) ) )
514, 50syl5eqr 2482 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( k  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  k
) ) )  o.  M ) ) )
529, 44, 45, 46, 47lgseisenlem1 21133 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) --> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
5347fmpt 5890 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) ( ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  /  2
)  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  <->  M :
( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) --> ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )
5452, 53sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 )  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
5547a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) ) )
56 eqidd 2437 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  k ) ) )  =  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  k ) ) ) )
57 oveq2 6089 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 )  -> 
( 2  x.  k
)  =  ( 2  x.  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) ) )
5857fveq2d 5732 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 )  -> 
( L `  (
2  x.  k ) )  =  ( L `
 ( 2  x.  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 ) ) ) )
5954, 55, 56, 58fmptcof 5902 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  k
) ) )  o.  M )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) ) ) ) )
6059oveq2d 6097 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  k
) ) )  o.  M ) )  =  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) ) ) ) ) )
6144eldifad 3332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  Q  e.  Prime )
6261adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  Q  e.  Prime )
63 prmz 13083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Q  e.  Prime  ->  Q  e.  ZZ )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  Q  e.  ZZ )
65 2nn 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  NN
66 elfznn 11080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  x  e.  NN )
6766adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  x  e.  NN )
68 nnmulcl 10023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  x  e.  NN )  ->  ( 2  x.  x
)  e.  NN )
6965, 67, 68sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  x )  e.  NN )
7069nnzd 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  x )  e.  ZZ )
7164, 70zmulcld 10381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  e.  ZZ )
7210adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  Prime )
73 prmnn 13082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  NN )
7571, 74zmodcld 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( Q  x.  (
2  x.  x ) )  mod  P )  e.  NN0 )
7646, 75syl5eqel 2520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  R  e.  NN0 )
7776nn0zd 10373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  R  e.  ZZ )
78 m1expcl 11404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ R )  e.  ZZ )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( -u 1 ^ R )  e.  ZZ )
8079, 77zmulcld 10381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( -u 1 ^ R
)  x.  R )  e.  ZZ )
8180, 74zmodcld 11267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  e.  NN0 )
8281nn0cnd 10276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  e.  CC )
83 2cn 10070 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
8483a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  2  e.  CC )
85 2ne0 10083 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
8685a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  2  =/=  0 )
8782, 84, 86divcan2d 9792 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P ) )
8887fveq2d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( 2  x.  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 ) ) )  =  ( L `  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P ) ) )
8974nnrpd 10647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  RR+ )
90 eqidd 2437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( -u 1 ^ R
)  mod  P )  =  ( ( -u
1 ^ R )  mod  P ) )
9146oveq1i 6091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  mod  P )  =  ( ( ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  mod 
P )  mod  P
)
9271zred 10375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  e.  RR )
93 modabs2 11275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Q  x.  (
2  x.  x ) )  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  -> 
( ( ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  mod 
P )  mod  P
)  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  mod  P ) )
9492, 89, 93syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( Q  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)  mod  P )  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  mod 
P ) )
9591, 94syl5eq 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( R  mod  P )  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
) )
9679, 79, 77, 71, 89, 90, 95modmul12d 11280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  =  ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) ) )  mod  P ) )
9780zred 10375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( -u 1 ^ R
)  x.  R )  e.  RR )
98 modabs2 11275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  -> 
( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  mod 
P )  =  ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )
)
9997, 89, 98syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  mod  P
)  =  ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )
)
10079zcnd 10376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( -u 1 ^ R )  e.  CC )
10164zcnd 10376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  Q  e.  CC )
10270zcnd 10376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
103100, 101, 102mulassd 9111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
)  x.  ( 2  x.  x ) )  =  ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x
) ) ) )
104103oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)  =  ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) ) )  mod  P ) )
10596, 99, 1043eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  mod  P
)  =  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
)  x.  ( 2  x.  x ) )  mod  P ) )
10610, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
107106adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  NN )
10881nn0zd 10373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  e.  ZZ )
10979, 64zmulcld 10381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q )  e.  ZZ )
110109, 70zmulcld 10381 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
)  x.  ( 2  x.  x ) )  e.  ZZ )
111 moddvds 12859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  e.  ZZ  /\  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  mod  P )  =  ( ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)  <->  P  ||  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  -  ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
112107, 108, 110, 111syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  mod 
P )  =  ( ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)  <->  P  ||  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  -  ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
113105, 112mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  ||  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  -  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) ) ) )
11474nnnn0d 10274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  NN0 )
11511, 23zndvds 16830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  e.  ZZ  /\  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) )  e.  ZZ )  ->  ( ( L `
 ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P ) )  =  ( L `  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) ) )  <->  P  ||  (
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  -  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
)  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
116114, 108, 110, 115syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( L `  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )
)  =  ( L `
 ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x ) ) )  <-> 
P  ||  ( (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  -  ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
117113, 116mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( (
( -u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P ) )  =  ( L `  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) ) ) )
11825adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y ) )
119 cnfldmul 16709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x.  =  ( .r ` fld )
12022, 119ressmulr 13582 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  x.  =  ( .r `  (flds  ZZ ) ) )
12126, 120ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  x.  =  ( .r `  (flds  ZZ ) )
122 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  Y )  =  ( .r `  Y
)
12328, 121, 122rhmmul 15828 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y )  /\  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q )  e.  ZZ  /\  (
2  x.  x )  e.  ZZ )  -> 
( L `  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
)  x.  ( 2  x.  x ) ) )  =  ( ( L `  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ( .r `  Y ) ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) )
124118, 109, 70, 123syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x ) ) )  =  ( ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) ) ( .r `  Y
) ( L `  ( 2  x.  x
) ) ) )
12588, 117, 1243eqtrd 2472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( 2  x.  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 ) ) )  =  ( ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) ) ( .r `  Y
) ( L `  ( 2  x.  x
) ) ) )
126125mpteq2dva 4295 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ( .r `  Y ) ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) ) )
12730adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y
) )
128127, 109ffvelrnd 5871 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q ) )  e.  ( Base `  Y
) )
129127, 70ffvelrnd 5871 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( 2  x.  x ) )  e.  ( Base `  Y
) )
130 eqidd 2437 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) )
131 eqidd 2437 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  x ) ) ) )
13219, 128, 129, 130, 131offval2 6322 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
) ) )  o F ( .r `  Y ) ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( ( L `  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ( .r `  Y ) ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) ) )
133126, 132eqtr4d 2471 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) )  o F ( .r `  Y
) ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  x
) ) ) ) )
134133oveq2d 6097 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
) ) )  o F ( .r `  Y ) ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) ) ) )
13551, 60, 1343eqtrd 2472 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
) ) )  o F ( .r `  Y ) ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) ) ) )
1365, 122mgpplusg 15652 . . . . 5  |-  ( .r
`  Y )  =  ( +g  `  G
)
137 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) ) )
138128, 137fmptd 5893 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) --> ( Base `  Y
) )
139 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  x
) ) )
140129, 139fmptd 5893 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) --> ( Base `  Y
) )
141137mptpreima 5363 . . . . . . 7  |-  ( `' ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  G ) } ) )  =  {
x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) )  e.  ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) }
142 ssrab2 3428 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |  ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) )  e.  ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) }  C_  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )
143141, 142eqsstri 3378 . . . . . 6  |-  ( `' ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )
144 ssfi 7329 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  Fin  /\  ( `' ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
) ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) ) 
C_  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )  -> 
( `' ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin )
14519, 143, 144sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin )
14619, 140fisuppfi 14773 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  x ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  e.  Fin )
1477, 8, 136, 18, 19, 138, 140, 145, 146gsumadd 15528 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
) ) )  o F ( .r `  Y ) ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) ) ( .r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) ) )
148135, 147eqtrd 2468 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) ) ) ) ( .r
`  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) ) )
149148oveq1d 6096 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) ) (/r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) )  =  ( ( ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) ) ( .r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) ) (/r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) ) )
150 eqid 2436 . . . . . 6  |-  (Unit `  Y )  =  (Unit `  Y )
151150, 5unitsubm 15775 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Ring  ->  (Unit `  Y )  e.  (SubMnd `  G ) )
15221, 151syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Unit `  Y )  e.  (SubMnd `  G )
)
153 elfzle2 11061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  x  <_  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )
154153adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  x  <_  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )
15567nnred 10015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  x  e.  RR )
156 prmuz2 13097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
157 uz2m1nn 10550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( P  -  1 )  e.  NN )
15872, 156, 1573syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  -  1 )  e.  NN )
159158nnred 10015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  -  1 )  e.  RR )
160 2re 10069 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
161160a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  2  e.  RR )
162 2pos 10082 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
163162a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  0  <  2 )
164 lemuldiv2 9890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( P  -  1
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
2  x.  x )  <_  ( P  - 
1 )  <->  x  <_  ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
165155, 159, 161, 163, 164syl112anc 1188 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( 2  x.  x
)  <_  ( P  -  1 )  <->  x  <_  ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
166154, 165mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  x )  <_  ( P  - 
1 ) )
167 prmz 13083 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
16872, 167syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  ZZ )
169 peano2zm 10320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ZZ  ->  ( P  -  1 )  e.  ZZ )
170168, 169syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  -  1 )  e.  ZZ )
171 fznn 11115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  x
)  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  <->  ( (
2  x.  x )  e.  NN  /\  (
2  x.  x )  <_  ( P  - 
1 ) ) ) )
172170, 171syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( 2  x.  x
)  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  <->  ( (
2  x.  x )  e.  NN  /\  (
2  x.  x )  <_  ( P  - 
1 ) ) ) )
17369, 166, 172mpbir2and 889 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  x )  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) )
174 fzm1ndvds 12901 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( 2  x.  x
)  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) ) )  ->  -.  P  ||  (
2  x.  x ) )
17574, 173, 174syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  -.  P  ||  ( 2  x.  x ) )
176 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
17711, 23, 176zndvds0 16831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  ( 2  x.  x
)  e.  ZZ )  ->  ( ( L `
 ( 2  x.  x ) )  =  ( 0g `  Y
)  <->  P  ||  ( 2  x.  x ) ) )
178114, 70, 177syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( L `  (
2  x.  x ) )  =  ( 0g
`  Y )  <->  P  ||  (
2  x.  x ) ) )
179178necon3abid 2634 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( L `  (
2  x.  x ) )  =/=  ( 0g
`  Y )  <->  -.  P  ||  ( 2  x.  x
) ) )
180175, 179mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( 2  x.  x ) )  =/=  ( 0g `  Y
) )
18114simplbi 447 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e. Field  ->  Y  e.  DivRing )
18213, 181syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  DivRing )
183182adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  Y  e.  DivRing )
1846, 150, 176drngunit 15840 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  DivRing  ->  ( ( L `
 ( 2  x.  x ) )  e.  (Unit `  Y )  <->  ( ( L `  (
2  x.  x ) )  e.  ( Base `  Y )  /\  ( L `  ( 2  x.  x ) )  =/=  ( 0g `  Y
) ) ) )
185183, 184syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( L `  (
2  x.  x ) )  e.  (Unit `  Y )  <->  ( ( L `  ( 2  x.  x ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( L `  ( 2  x.  x
) )  =/=  ( 0g `  Y ) ) ) )
186129, 180, 185mpbir2and 889 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( 2  x.  x ) )  e.  (Unit `  Y )
)
187186, 139fmptd 5893 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) --> (Unit `  Y )
)
1888, 18, 19, 152, 187, 146gsumsubmcl 15524 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) )  e.  (Unit `  Y )
)
189 eqid 2436 . . . 4  |-  (/r `  Y
)  =  (/r `  Y
)
190 eqid 2436 . . . 4  |-  ( 1r
`  Y )  =  ( 1r `  Y
)
191150, 189, 190dvrid 15793 . . 3  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) )  e.  (Unit `  Y )
)  ->  ( ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) (/r `  Y ) ( G 
gsumg  ( x  e.  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  x ) ) ) ) )  =  ( 1r `  Y
) )
19221, 188, 191syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) ) (/r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) )  =  ( 1r `  Y ) )
1937, 8, 18, 19, 138, 145gsumcl 15521 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
1946, 150, 189, 122dvrcan3 15797 . . 3  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  x ) ) ) )  e.  (Unit `  Y ) )  -> 
( ( ( G 
gsumg  ( x  e.  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) ) ( .r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) ) (/r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) ) ) ) )
19521, 193, 188, 194syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( G 
gsumg  ( x  e.  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) ) ( .r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) ) (/r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) ) ) ) )
196149, 192, 1953eqtr3rd 2477 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) )  =  ( 1r `  Y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   {crab 2709   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    C_ wss 3320   {csn 3814   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   `'ccnv 4877   "cima 4881    o. ccom 4882   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Fcof 6303   Fincfn 7109   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   -ucneg 9292    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   RR+crp 10612   ...cfz 11043    mod cmo 11250   ^cexp 11382    || cdivides 12852   Primecprime 13079   Basecbs 13469   ↾s cress 13470   .rcmulr 13530   0gc0g 13723    gsumg cgsu 13724  SubMndcsubmnd 14737  CMndccmn 15412  mulGrpcmgp 15648   Ringcrg 15660   CRingccrg 15661   1rcur 15662  Unitcui 15744  /rcdvr 15787   RingHom crh 15817   DivRingcdr 15835  Fieldcfield 15836  SubRingcsubrg 15864  ℂfldccnfld 16703   ZRHomczrh 16778  ℤ/nczn 16781
This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  21136
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-imas 13734  df-divs 13735  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-nsg 14942  df-eqg 14943  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-dvr 15788  df-rnghom 15819  df-drng 15837  df-field 15838  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-lidl 16246  df-rsp 16247  df-2idl 16303  df-nzr 16329  df-rlreg 16343  df-domn 16344  df-idom 16345  df-cnfld 16704  df-zrh 16782  df-zn 16785
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