Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgseisenlem3 Structured version   Unicode version

Theorem lgseisenlem3 21135
 Description: Lemma for lgseisen 21137. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1
lgseisen.2
lgseisen.3
lgseisen.4
lgseisen.5
lgseisen.6
lgseisen.7 ℤ/n
lgseisen.8 mulGrp
lgseisen.9 RHom
Assertion
Ref Expression
lgseisenlem3 g
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,   ,,   ,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem lgseisenlem3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6089 . . . . . . . . 9
21fveq2d 5732 . . . . . . . 8
32cbvmptv 4300 . . . . . . 7
43oveq2i 6092 . . . . . 6 g g
5 lgseisen.8 . . . . . . . 8 mulGrp
6 eqid 2436 . . . . . . . 8
75, 6mgpbas 15654 . . . . . . 7
8 eqid 2436 . . . . . . 7
9 lgseisen.1 . . . . . . . . . . 11
109eldifad 3332 . . . . . . . . . 10
11 lgseisen.7 . . . . . . . . . . 11 ℤ/n
1211znfld 16841 . . . . . . . . . 10 Field
1310, 12syl 16 . . . . . . . . 9 Field
14 isfld 15844 . . . . . . . . . 10 Field
1514simprbi 451 . . . . . . . . 9 Field
1613, 15syl 16 . . . . . . . 8
175crngmgp 15672 . . . . . . . 8 CMnd
1816, 17syl 16 . . . . . . 7 CMnd
19 fzfid 11312 . . . . . . 7
20 crngrng 15674 . . . . . . . . . . . 12
2116, 20syl 16 . . . . . . . . . . 11
22 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12 flds flds
23 lgseisen.9 . . . . . . . . . . . 12 RHom
2422, 23zrhrhm 16793 . . . . . . . . . . 11 flds RingHom
2521, 24syl 16 . . . . . . . . . 10 flds RingHom
26 zsubrg 16752 . . . . . . . . . . . 12 SubRingfld
2722subrgbas 15877 . . . . . . . . . . . 12 SubRingfld flds
2826, 27ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11 flds
2928, 6rhmf 15827 . . . . . . . . . 10 flds RingHom
3025, 29syl 16 . . . . . . . . 9
31 2z 10312 . . . . . . . . . 10
32 elfzelz 11059 . . . . . . . . . 10
33 zmulcl 10324 . . . . . . . . . 10
3431, 32, 33sylancr 645 . . . . . . . . 9
35 ffvelrn 5868 . . . . . . . . 9
3630, 34, 35syl2an 464 . . . . . . . 8
37 eqid 2436 . . . . . . . 8
3836, 37fmptd 5893 . . . . . . 7
3937mptpreima 5363 . . . . . . . . 9
40 ssrab2 3428 . . . . . . . . 9
4139, 40eqsstri 3378 . . . . . . . 8
42 ssfi 7329 . . . . . . . 8
4319, 41, 42sylancl 644 . . . . . . 7
44 lgseisen.2 . . . . . . . 8
45 lgseisen.3 . . . . . . . 8
46 lgseisen.4 . . . . . . . 8
47 lgseisen.5 . . . . . . . 8
48 lgseisen.6 . . . . . . . 8
499, 44, 45, 46, 47, 48lgseisenlem2 21134 . . . . . . 7
507, 8, 18, 19, 38, 43, 49gsumf1o 15522 . . . . . 6 g g
514, 50syl5eqr 2482 . . . . 5 g g
529, 44, 45, 46, 47lgseisenlem1 21133 . . . . . . . 8
5347fmpt 5890 . . . . . . . 8
5452, 53sylibr 204 . . . . . . 7
5547a1i 11 . . . . . . 7
56 eqidd 2437 . . . . . . 7
57 oveq2 6089 . . . . . . . 8
5857fveq2d 5732 . . . . . . 7
5954, 55, 56, 58fmptcof 5902 . . . . . 6
6059oveq2d 6097 . . . . 5 g g
6144eldifad 3332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6261adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
63 prmz 13083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
65 2nn 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
66 elfznn 11080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6766adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
68 nnmulcl 10023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6965, 67, 68sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7069nnzd 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7164, 70zmulcld 10381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7210adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
73 prmnn 13082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7571, 74zmodcld 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7646, 75syl5eqel 2520 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7776nn0zd 10373 . . . . . . . . . . . . . . 15
78 m1expcl 11404 . . . . . . . . . . . . . . 15
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
8079, 77zmulcld 10381 . . . . . . . . . . . . 13
8180, 74zmodcld 11267 . . . . . . . . . . . 12
8281nn0cnd 10276 . . . . . . . . . . 11
83 2cn 10070 . . . . . . . . . . . 12
8483a1i 11 . . . . . . . . . . 11
85 2ne0 10083 . . . . . . . . . . . 12
8685a1i 11 . . . . . . . . . . 11
8782, 84, 86divcan2d 9792 . . . . . . . . . 10
8887fveq2d 5732 . . . . . . . . 9
8974nnrpd 10647 . . . . . . . . . . . . 13
90 eqidd 2437 . . . . . . . . . . . . 13
9146oveq1i 6091 . . . . . . . . . . . . . 14
9271zred 10375 . . . . . . . . . . . . . . 15
93 modabs2 11275 . . . . . . . . . . . . . . 15
9492, 89, 93syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14
9591, 94syl5eq 2480 . . . . . . . . . . . . 13
9679, 79, 77, 71, 89, 90, 95modmul12d 11280 . . . . . . . . . . . 12
9780zred 10375 . . . . . . . . . . . . 13
98 modabs2 11275 . . . . . . . . . . . . 13
9997, 89, 98syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
10079zcnd 10376 . . . . . . . . . . . . . 14
10164zcnd 10376 . . . . . . . . . . . . . 14
10270zcnd 10376 . . . . . . . . . . . . . 14
103100, 101, 102mulassd 9111 . . . . . . . . . . . . 13
104103oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . 12
10596, 99, 1043eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . 11
10610, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
107106adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
10881nn0zd 10373 . . . . . . . . . . . 12
10979, 64zmulcld 10381 . . . . . . . . . . . . 13
110109, 70zmulcld 10381 . . . . . . . . . . . 12
111 moddvds 12859 . . . . . . . . . . . 12
112107, 108, 110, 111syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11
113105, 112mpbid 202 . . . . . . . . . 10
11474nnnn0d 10274 . . . . . . . . . . 11
11511, 23zndvds 16830 . . . . . . . . . . 11
116114, 108, 110, 115syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
117113, 116mpbird 224 . . . . . . . . 9
11825adantr 452 . . . . . . . . . 10 flds RingHom
119 cnfldmul 16709 . . . . . . . . . . . . 13 fld
12022, 119ressmulr 13582 . . . . . . . . . . . 12 SubRingfld flds
12126, 120ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11 flds
122 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11
12328, 121, 122rhmmul 15828 . . . . . . . . . 10 flds RingHom
124118, 109, 70, 123syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
12588, 117, 1243eqtrd 2472 . . . . . . . 8
126125mpteq2dva 4295 . . . . . . 7
12730adantr 452 . . . . . . . . 9
128127, 109ffvelrnd 5871 . . . . . . . 8
129127, 70ffvelrnd 5871 . . . . . . . 8
130 eqidd 2437 . . . . . . . 8
131 eqidd 2437 . . . . . . . 8
13219, 128, 129, 130, 131offval2 6322 . . . . . . 7
133126, 132eqtr4d 2471 . . . . . 6
134133oveq2d 6097 . . . . 5 g g
13551, 60, 1343eqtrd 2472 . . . 4 g g
1365, 122mgpplusg 15652 . . . . 5
137 eqid 2436 . . . . . 6
138128, 137fmptd 5893 . . . . 5
139 eqid 2436 . . . . . 6
140129, 139fmptd 5893 . . . . 5
141137mptpreima 5363 . . . . . . 7
142 ssrab2 3428 . . . . . . 7
143141, 142eqsstri 3378 . . . . . 6
144 ssfi 7329 . . . . . 6
14519, 143, 144sylancl 644 . . . . 5
14619, 140fisuppfi 14773 . . . . 5
1477, 8, 136, 18, 19, 138, 140, 145, 146gsumadd 15528 . . . 4 g g g
148135, 147eqtrd 2468 . . 3 g g g
149148oveq1d 6096 . 2 g /r g g g /r g
150 eqid 2436 . . . . . 6 Unit Unit
151150, 5unitsubm 15775 . . . . 5 Unit SubMnd
15221, 151syl 16 . . . 4 Unit SubMnd
153 elfzle2 11061 . . . . . . . . . . 11
154153adantl 453 . . . . . . . . . 10
15567nnred 10015 . . . . . . . . . . 11
156 prmuz2 13097 . . . . . . . . . . . . 13
157 uz2m1nn 10550 . . . . . . . . . . . . 13
15872, 156, 1573syl 19 . . . . . . . . . . . 12
159158nnred 10015 . . . . . . . . . . 11
160 2re 10069 . . . . . . . . . . . 12
161160a1i 11 . . . . . . . . . . 11
162 2pos 10082 . . . . . . . . . . . 12
163162a1i 11 . . . . . . . . . . 11
164 lemuldiv2 9890 . . . . . . . . . . 11
165155, 159, 161, 163, 164syl112anc 1188 . . . . . . . . . 10
166154, 165mpbird 224 . . . . . . . . 9
167 prmz 13083 . . . . . . . . . . . 12
16872, 167syl 16 . . . . . . . . . . 11
169 peano2zm 10320 . . . . . . . . . . 11
170168, 169syl 16 . . . . . . . . . 10
171 fznn 11115 . . . . . . . . . 10
172170, 171syl 16 . . . . . . . . 9
17369, 166, 172mpbir2and 889 . . . . . . . 8
174 fzm1ndvds 12901 . . . . . . . 8
17574, 173, 174syl2anc 643 . . . . . . 7
176 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
17711, 23, 176zndvds0 16831 . . . . . . . . 9
178114, 70, 177syl2anc 643 . . . . . . . 8
179178necon3abid 2634 . . . . . . 7
180175, 179mpbird 224 . . . . . 6
18114simplbi 447 . . . . . . . . 9 Field
18213, 181syl 16 . . . . . . . 8
183182adantr 452 . . . . . . 7
1846, 150, 176drngunit 15840 . . . . . . 7 Unit
185183, 184syl 16 . . . . . 6 Unit
186129, 180, 185mpbir2and 889 . . . . 5 Unit
187186, 139fmptd 5893 . . . 4 Unit
1888, 18, 19, 152, 187, 146gsumsubmcl 15524 . . 3 g Unit
189 eqid 2436 . . . 4 /r /r
190 eqid 2436 . . . 4
191150, 189, 190dvrid 15793 . . 3 g Unit g /r g
19221, 188, 191syl2anc 643 . 2 g /r g
1937, 8, 18, 19, 138, 145gsumcl 15521 . . 3 g
1946, 150, 189, 122dvrcan3 15797 . . 3 g g Unit g g /r g g
19521, 193, 188, 194syl3anc 1184 . 2 g g /r g g
196149, 192, 1953eqtr3rd 2477 1 g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wral 2705  crab 2709  cvv 2956   cdif 3317   wss 3320  csn 3814   class class class wbr 4212   cmpt 4266  ccnv 4877  cima 4881   ccom 4882  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cof 6303  cfn 7109  cc 8988  cr 8989  cc0 8990  c1 8991   cmul 8995   clt 9120   cle 9121   cmin 9291  cneg 9292   cdiv 9677  cn 10000  c2 10049  cn0 10221  cz 10282  cuz 10488  crp 10612  cfz 11043   cmo 11250  cexp 11382   cdivides 12852  cprime 13079  cbs 13469   ↾s cress 13470  cmulr 13530  c0g 13723   g cgsu 13724  SubMndcsubmnd 14737  CMndccmn 15412  mulGrpcmgp 15648  crg 15660  ccrg 15661  cur 15662  Unitcui 15744  /rcdvr 15787   RingHom crh 15817  cdr 15835  Fieldcfield 15836  SubRingcsubrg 15864  ℂfldccnfld 16703  RHomczrh 16778  ℤ/nℤczn 16781 This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  21136 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-imas 13734  df-divs 13735  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-nsg 14942  df-eqg 14943  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-dvr 15788  df-rnghom 15819  df-drng 15837  df-field 15838  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-lidl 16246  df-rsp 16247  df-2idl 16303  df-nzr 16329  df-rlreg 16343  df-domn 16344  df-idom 16345  df-cnfld 16704  df-zrh 16782  df-zn 16785
 Copyright terms: Public domain W3C validator