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Theorem lgseisenlem4 20591
 Description: Lemma for lgseisen 20592. The function is an injection (and hence a bijection by the pigeonhole principle). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1
lgseisen.2
lgseisen.3
lgseisen.4
lgseisen.5
lgseisen.6
lgseisen.7 ℤ/n
lgseisen.8 mulGrp
lgseisen.9 RHom
Assertion
Ref Expression
lgseisenlem4
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,   ,,   ,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem lgseisenlem4
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsubrg 16425 . . . . . 6 SubRingfld
2 eqid 2283 . . . . . . 7 flds flds
32subrgbas 15554 . . . . . 6 SubRingfld flds
41, 3ax-mp 8 . . . . 5 flds
5 cnfld0 16398 . . . . . . 7 fld
62, 5subrg0 15552 . . . . . 6 SubRingfld flds
71, 6ax-mp 8 . . . . 5 flds
82subrgrng 15548 . . . . . . 7 SubRingfld flds
9 rngabl 15370 . . . . . . 7 flds flds
101, 8, 9mp2b 9 . . . . . 6 flds
11 ablcmn 15095 . . . . . 6 flds flds CMnd
1210, 11mp1i 11 . . . . 5 flds CMnd
13 lgseisen.1 . . . . . . . . . 10
14 eldifi 3298 . . . . . . . . . 10
1513, 14syl 15 . . . . . . . . 9
16 lgseisen.7 . . . . . . . . . 10 ℤ/n
1716znfld 16514 . . . . . . . . 9 Field
1815, 17syl 15 . . . . . . . 8 Field
19 isfld 15521 . . . . . . . . 9 Field
2019simprbi 450 . . . . . . . 8 Field
2118, 20syl 15 . . . . . . 7
22 lgseisen.8 . . . . . . . 8 mulGrp
2322crngmgp 15349 . . . . . . 7 CMnd
2421, 23syl 15 . . . . . 6 CMnd
25 cmnmnd 15104 . . . . . 6 CMnd
2624, 25syl 15 . . . . 5
27 fzfid 11035 . . . . 5
28 m1expcl 11126 . . . . . . . 8
2928adantl 452 . . . . . . 7
30 eqidd 2284 . . . . . . 7
31 crngrng 15351 . . . . . . . . . . 11
3221, 31syl 15 . . . . . . . . . 10
33 lgseisen.9 . . . . . . . . . . 11 RHom
342, 33zrhrhm 16466 . . . . . . . . . 10 flds RingHom
3532, 34syl 15 . . . . . . . . 9 flds RingHom
36 eqid 2283 . . . . . . . . . 10
374, 36rhmf 15504 . . . . . . . . 9 flds RingHom
3835, 37syl 15 . . . . . . . 8
3938feqmptd 5575 . . . . . . 7
40 fveq2 5525 . . . . . . 7
4129, 30, 39, 40fmptco 5691 . . . . . 6
42 cnrng 16396 . . . . . . . . . 10 fld
43 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11 mulGrpfld mulGrpfld
442, 43mgpress 15336 . . . . . . . . . 10 fld SubRingfld mulGrpflds mulGrpflds
4542, 1, 44mp2an 653 . . . . . . . . 9 mulGrpflds mulGrpflds
4645, 22rhmmhm 15502 . . . . . . . 8 flds RingHom mulGrpflds MndHom
4735, 46syl 15 . . . . . . 7 mulGrpflds MndHom
48 neg1cn 9813 . . . . . . . . . . 11
49 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . 12
50 ax-1ne0 8806 . . . . . . . . . . . 12
5149, 50negne0i 9121 . . . . . . . . . . 11
52 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12 mulGrpflds mulGrpflds
532, 43, 52expghm 16450 . . . . . . . . . . 11 flds mulGrpflds
5448, 51, 53mp2an 653 . . . . . . . . . 10 flds mulGrpflds
55 ghmmhm 14693 . . . . . . . . . 10 flds mulGrpflds flds MndHom mulGrpflds
5654, 55ax-mp 8 . . . . . . . . 9 flds MndHom mulGrpflds
57 cnfldbas 16383 . . . . . . . . . . . 12 fld
58 cndrng 16403 . . . . . . . . . . . 12 fld
5957, 5, 58drngui 15518 . . . . . . . . . . 11 Unitfld
6059, 43unitsubm 15452 . . . . . . . . . 10 fld SubMndmulGrpfld
6142, 60ax-mp 8 . . . . . . . . 9 SubMndmulGrpfld
6252resmhm2 14437 . . . . . . . . 9 flds MndHom mulGrpflds SubMndmulGrpfld flds MndHom mulGrpfld
6356, 61, 62mp2an 653 . . . . . . . 8 flds MndHom mulGrpfld
6443subrgsubm 15558 . . . . . . . . . 10 SubRingfld SubMndmulGrpfld
651, 64ax-mp 8 . . . . . . . . 9 SubMndmulGrpfld
66 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11
6729, 66fmptd 5684 . . . . . . . . . 10
68 frn 5395 . . . . . . . . . 10
6967, 68syl 15 . . . . . . . . 9
70 eqid 2283 . . . . . . . . . 10 mulGrpflds mulGrpflds
7170resmhm2b 14438 . . . . . . . . 9 SubMndmulGrpfld flds MndHom mulGrpfld flds MndHom mulGrpflds
7265, 69, 71sylancr 644 . . . . . . . 8 flds MndHom mulGrpfld flds MndHom mulGrpflds
7363, 72mpbii 202 . . . . . . 7 flds MndHom mulGrpflds
74 mhmco 14439 . . . . . . 7 mulGrpflds MndHom flds MndHom mulGrpflds flds MndHom
7547, 73, 74syl2anc 642 . . . . . 6 flds MndHom
7641, 75eqeltrrd 2358 . . . . 5 flds MndHom
77 lgseisen.2 . . . . . . . . . . . 12
78 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . 12
7977, 78syl 15 . . . . . . . . . . 11
80 prmnn 12761 . . . . . . . . . . 11
8179, 80syl 15 . . . . . . . . . 10
8281nnred 9761 . . . . . . . . 9
83 prmnn 12761 . . . . . . . . . 10
8415, 83syl 15 . . . . . . . . 9
8582, 84nndivred 9794 . . . . . . . 8
8685adantr 451 . . . . . . 7
87 2nn 9877 . . . . . . . . 9
88 elfznn 10819 . . . . . . . . . 10
8988adantl 452 . . . . . . . . 9
90 nnmulcl 9769 . . . . . . . . 9
9187, 89, 90sylancr 644 . . . . . . . 8
9291nnred 9761 . . . . . . 7
9386, 92remulcld 8863 . . . . . 6
9493flcld 10930 . . . . 5
95 eqid 2283 . . . . . . . 8
9695mptpreima 5166 . . . . . . 7
97 ssrab2 3258 . . . . . . 7
9896, 97eqsstri 3208 . . . . . 6
99 ssfi 7083 . . . . . 6
10027, 98, 99sylancl 643 . . . . 5
101 oveq2 5866 . . . . . 6
102101fveq2d 5529 . . . . 5
103 oveq2 5866 . . . . . 6 flds g flds g
104103fveq2d 5529 . . . . 5 flds g flds g
1054, 7, 12, 26, 27, 76, 94, 100, 102, 104gsummhm2 15212 . . . 4 g flds g
10622, 36mgpbas 15331 . . . . . . 7
107 eqid 2283 . . . . . . 7
108 eqid 2283 . . . . . . . 8
10922, 108mgpplusg 15329 . . . . . . 7
11038adantr 451 . . . . . . . . 9
111 m1expcl 11126 . . . . . . . . . 10
11294, 111syl 15 . . . . . . . . 9
113 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9
114110, 112, 113syl2anc 642 . . . . . . . 8
115 eqid 2283 . . . . . . . 8
116114, 115fmptd 5684 . . . . . . 7
117 1z 10053 . . . . . . . . . . . 12
118 znegcl 10055 . . . . . . . . . . . 12
119117, 118ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11
120 lgseisen.4 . . . . . . . . . . . 12
12179adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
122 prmz 12762 . . . . . . . . . . . . . . 15
123121, 122syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
12491nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . . 14
125123, 124zmulcld 10123 . . . . . . . . . . . . 13
12615adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
127126, 83syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
128125, 127zmodcld 10990 . . . . . . . . . . . 12
129120, 128syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . 11
130 zexpcl 11118 . . . . . . . . . . 11
131119, 129, 130sylancr 644 . . . . . . . . . 10
132131, 123zmulcld 10123 . . . . . . . . 9
133 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9
134110, 132, 133syl2anc 642 . . . . . . . 8
135 eqid 2283 . . . . . . . 8
136134, 135fmptd 5684 . . . . . . 7
137115mptpreima 5166 . . . . . . . . 9
138 ssrab2 3258 . . . . . . . . 9
139137, 138eqsstri 3208 . . . . . . . 8
140 ssfi 7083 . . . . . . . 8
14127, 139, 140sylancl 643 . . . . . . 7
142135mptpreima 5166 . . . . . . . . 9
143 ssrab2 3258 . . . . . . . . 9
144142, 143eqsstri 3208 . . . . . . . 8
145 ssfi 7083 . . . . . . . 8
14627, 144, 145sylancl 643 . . . . . . 7
147106, 107, 109, 24, 27, 116, 136, 141, 146gsumadd 15205 . . . . . 6 g g g
148 eqidd 2284 . . . . . . . . 9
149 eqidd 2284 . . . . . . . . 9
15027, 114, 134, 148, 149offval2 6095 . . . . . . . 8
15135adantr 451 . . . . . . . . . . 11 flds RingHom
152 cnfldmul 16385 . . . . . . . . . . . . . 14 fld
1532, 152ressmulr 13261 . . . . . . . . . . . . 13 SubRingfld flds
1541, 153ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12 flds
1554, 154, 108rhmmul 15505 . . . . . . . . . . 11 flds RingHom
156151, 112, 132, 155syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10
157125zred 10117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
158127nnrpd 10389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
159 modval 10975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
160157, 158, 159syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
161120, 160syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
162123zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
16391nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
164127nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
165127nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
166162, 163, 164, 165div23d 9573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
167166fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
168167oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
169168oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
170161, 169eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
171170oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16
172 prmz 12762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
173126, 172syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
174173, 94zmulcld 10123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
175174zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
176125zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
177175, 176pncan3d 9160 . . . . . . . . . . . . . . . 16
178 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
179178a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
18089nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
181162, 179, 180mul12d 9021 . . . . . . . . . . . . . . . 16
182171, 177, 1813eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . . 15
183182oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14
18448a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
18551a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
186129nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . . . . 16
187 expaddz 11146 . . . . . . . . . . . . . . . 16
188184, 185, 174, 186, 187syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . 15
189 expmulz 11148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
190184, 185, 173, 94, 189syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
19149a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
192 eldifsni 3750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
19313, 192syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
194193necomd 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
195194neneqd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
196195adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
197 2z 10054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
198 uzid 10242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
199197, 198ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
200 dvdsprm 12778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
201199, 126, 200sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
202196, 201mtbird 292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
203 oexpneg 12590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
204191, 127, 202, 203syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
205 1exp 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
206173, 205syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
207206negeqd 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
208204, 207eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
209208oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
210190, 209eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . 16
211210oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15
212188, 211eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14
213 nnmulcl 9769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
21481, 88, 213syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
215214nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . . . . . 16
216 2nn0 9982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
217216a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
218184, 215, 217expmuld 11248 . . . . . . . . . . . . . . 15
219 sqneg 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
22049, 219ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
221 sq1 11198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
222220, 221eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
223222oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . . . 16
224214nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
225 1exp 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
226224, 225syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
227223, 226syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . 15
228218, 227eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14
229183, 212, 2283eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . 13
230229oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12
231112zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . 13
232131zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . 13
233231, 232, 162mulassd 8858 . . . . . . . . . . . 12
234162mulid2d 8853 . . . . . . . . . . . 12
235230, 233, 2343eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . 11
236235fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10
237156, 236eqtr3d 2317 . . . . . . . . 9
238237mpteq2dva 4106 . . . . . . . 8
239150, 238eqtrd 2315 . . . . . . 7
240239oveq2d 5874 . . . . . 6 g g
241 lgseisen.3 . . . . . . . 8
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